1.2子集、全集、补集 教案

1.2子集、全集、补集
教学目标：
（1）理解集合之间的包含关系，能判断给定集合之间的关系；
（2）理解全集与补集的概念，会求给定集合的子集，以及子集的个数问题；
（3）借助Venn图理解集合之间的关系，并能明确表示出来.
教学重难点：
重点：理解集合间的包含关系，理解全集、子集、真子集、补集的概念，并会求一个集合在全集中的补集.
难点：子集、真子集、补集、全集等集合间的关系及应用．
课 型：新授课
教学方法：讲练结合
教学过程
一、问题引入
观察下列每组两个集合，说出集合A、B中的元素有什么关系？
问题1：集合A中的元素与集合B中的元素有什么关系？
答：集合A中的元素都是集合B中的元素
问题2：如何表示上述集合A与集合B之间的关系？
问题3：若，则集合A、B是否有上述关系成立？
答：没有，因为集合A中的元素不都在集合B中.
说明：通过问题引发学生的思考，并且让学生从具体实例中感悟出共性，引出子集的概念.
二、新课讲授
1. 子集的概念与性质
（1）子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
注：子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系
(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
子集的性质：
①任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
②如果A B，B C，则A C，即子集具有传递性。
③空集是任意一个集合的子集， A
例1. 下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合与集合的关系及元素与集合的关系判断即可；
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
练习1：①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.
【详解】正确；
正确；
不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
练习：集合，，若，则的值为__________.
【答案】0
【分析】根据集合的包含关系求解，即由求解．
【详解】因为，所以，
显然，
若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；
若，则或（舍去），
综上，．
故答案为：0．
真子集的概念
（1）真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)
（2）真子集的性质
①如果AB，BC，则AC.
②空集是任何非空集合的真子集
（3）有限集子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
①A的子集的个数有2n个；
②A的非空子集的个数有2n－1个；
③A的真子集的个数有2n－1个；
④A的非空真子集的个数有2n－2个．
（4）集合相等
如果且，则，反之，如果，则且
若是集合的真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可知方程有实数解，则，即可求解
【详解】由“是集合的真子集”得
，
即方程有实数解，
，解得或．
故选：D．
已知集合则集合的子集的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由已知，使用列举法写出集合A中的元素，然后根据元素的个数是用公式即可求解出其子集个数.
【详解】集合用列举法书写为，则子集个数为．
故选：A．
练习：已知集合，，则满足的集合C的个数为（　　）
A．4 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.
【详解】解：由题知，,
所以满足的集合有，
故集合C的个数为7个.
故选：B
全集与补集
（1）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.
（2）补集
①文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.
②符号语言：
③符号语言：
④性质：A∪ UA＝U；A∩ UA＝ ； U( UA)＝A.
注：并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要根据题目具体问题具体分析.
已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出和．
【详解】解：因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，
所以，4，，
又，2，4，，则，2，4，5，，
故选：C．
练习：已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，根据集合，先求解出，然后结合集合，即可求解.
【详解】由已知，集合，所以，而集合，
所以.
故选：A.
拓展巩固
已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，即可判断集合的关系.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：C．
2．已知则集合的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可得为的正约数，又，从而即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，所以，
所以集合，所以集合的子集个数为个．
故选：B．
3．设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据子集、真子集的定义即可求解.
【详解】解：对于①，不一定，比如，故①错误；
②若，不一定，比如，故②错误；
③若，则，但不成立，故③错误；
④若，则一定存在，有，故④正确．
所以正确结论的个数为个，
故选：D.
满足的集合 M 共有（ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
【答案】C
【分析】根据子集的关系，一一列举即可.
【详解】由题可知集合 M 中必含元素a，且为的子集，
可按元素个数分类依次写出集合 M 为，，，，，，，共8个.
故选：C.
下列表述正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由两个集合的包含关系判断选项A；由集合元素的无序性判断选项B；由空集的特点判断选项C和D．
【详解】A中，两个集合之间是包含关系，故A错误；
B中，，是相等的集合，所以，故B正确；
C中，空集是任何集合的子集，故C正确；
D中，空集与一个非空集合不相等，故D错误．故选：BC．
判断下列表述是否正确：
（1）；( )
（2）；( )
（3）；( )
（4）；( )
（5）；( )
（6）；( )
（7）；( )
（8）．( )
【答案】 不正确 不正确 正确 正确 不正确 不正确 正确 正确
【分析】（1）由判断；（2）由可判断；（3）由可判断；（4）由可判断；（5）由可判断；（6）由可判断；（7）由空集是任何集合的子集可判断；（8）由空集是任何非空集合的真子集可判断．
【详解】（1）因为，所以错误，故（1）不正确；
（2）因为，所以错误，故（2）不正确；
（3）因为，所以正确，故（3）正确；
（4）因为，所以（4）正确；
（5）因为，所以错误，故（5）不正确；
（6）因为，所以错误，故（6）不正确；
（7）因为空集是任何集合的子集，所以正确，所以（7）正确；
（8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以正确，故（8）正确．
故答案为：（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）正确．
含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____.
【答案】
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
8．已知全集，集合，则____________.
【答案】
【分析】由补集的定义即可求解.
【详解】解:因为全集，集合，所以.
故答案为:
9．设A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，写出集合A的所有子集．
【答案】 ，{1}，{2}，{1，2}．
【分析】根据子集的定义得解.
【详解】解：∵A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
∴集合A的所有子集是： ，{1}，{2}，{1，2}．
10．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若M N，求实数a的取值范围；
(2)若M N，求实数a的取值范围．
【答案】(1)a∈ (2)a≤3
【分析】（1）利用M N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M N，建立不等关系即可求解，注意当N＝ 时，也成立
(1)∵M N，∴，∴a∈ ；
(2)①若N＝ ，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M N．
②若N≠ ，即a≥2时，要使M N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
11．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
(1)∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
(2)∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
课堂小结