24.1.2 垂直于弦的直径精准自测卷（含解析）

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
夯基知识梳理
知识点1 圆的轴对称性
1.下列说法中，不正确的是 ( )
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴
知识点2 垂径定理及其推论
2.(2022广东广州荔湾期中)如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是 ( )
A.= B.= C.OE=BE D.CE=DE
3.下列说法：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.其中正确的是 ( )
A.②③ B.①③ C.②④ D.①④
4.如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,若MN=，则BC等于 ( )
A.5 B. C.2 D.
5.如图，在半径为5的⊙0中，弦AB=6,0H⊥AB于点H,则OH= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(2021贵州黔东南中考)小明很喜欢钻研问题，数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接AB,量得弧AB的中点C到AB的距离CD=1.6cm,AB=6.4cm,很快求得圆形瓦片的半径为________cm.
7.已知⊙0的直径是50cm,⊙0的两条平行弦AB=40cm,CD=48cm,求弦AB与CD之间的距离.
提优强化练习
8.(2021山东淄博中考，7，)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为点E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 ( )
A.12寸 B.24寸 C.13寸 D.26寸
9.(2022广东广州越秀期中，9，☆)如图，⊙0的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP的长的取值范围是 ( )
A.3<0P<5 B.3≤0P≤5 C.4<0P<5 D.4≤0P≤5
10.(2021湖南长沙天心月考，12，)如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙0上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点.若⊙O的半径为3，OP=，则BC的最大值为 ( )
A.2 B.3 C. D.3
11.(2021青海中考，6，)如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为 ( )
A.1.0厘米/分 B.0.8厘米/分 C.1.2厘米/分 D.1.4厘米/分
12.(2022江苏盐城东台期中，17，)已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P,且AB=10cm,PB=4cm,PC=2cm,则圆心0到AB的距离为________cm.
13.(2022浙江杭州萧山月考，14，★)如图，在半径为13的⊙0中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=24,则OP的长是________。
14.(2019浙江嘉兴中考，14，)如图，在⊙0中，弦AB=1,点C在AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为________。
15.(2021江苏泰州靖江期中，22，)如图，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)证明：E是OB的中点；
(2)若AB=6,求CD的长.
素养能力培优
16.[数学运算]如图，在平面直角坐标系中，以原点0为圆心的圆过点A(0,3),直线y=kx－3k+4(k≠0)与⊙0交于B,C两点，则弦BC的长的最小值为________。
17.[逻辑推理]如图，已知⊙0的半径为2.弦AB的长度为2，点C是⊙0上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2=____________________
【参考答案及解析】
24.1.2垂直于弦的直径
夯基知识梳理
1.D 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以A说法正确；圆是一个特殊的中心对称图形，它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以B说法正确；圆的对称轴是过圆心的直线，这样的直线有无数条，对称中心只有一个，是圆心，所以说法正确；直径是线段而不是直线，不能说直径是圆的对称轴，所以D说法错误.
2.C ∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,∴=,=,CE=DE,但OE不一定等于BE,故选项A、B、D成立，选项C不一定成立.
3.D 平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧，故②错误.垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，故③错误①④正确.故选D.
4.C ·∵OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,∴M、N分别是AB、AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC=2MN=2.故选C.
5.B 如图，连接0A,∵AB=6,OH⊥AB,∴AH=BH=AB=3,∠OHA=90°，在Rt△OHA中，由勾股定理得0H===4.故选B.
6.【答案】4
【解析】如图，设圆心为O,连接OA、OC,∵C为的中点，∴OC⊥AB,又CD⊥AB,∴C、D、O三点共线，∴AD=BD=AB=×6.4=3.2(cm).设⊙0的半径为rcm22则0D=(r－1.6)cm,在Rt△OAD中，(r－1.6)2+3.22=r2,解得r=4,所以圆形瓦片的半径为4cm.
7.【解析】本题有两种情况：
(1)当AB,CD在圆心0的同侧时，如图1所示，作OF⊥AB于F,交CD于E,连接OA,OC,则0A=0C=25cm.∵AB∥CD,∴OE⊥CD,由垂径定理知AF=AB=20(cm),CE=CD=24(cm),∴0E==7(cm),0F==15(cm),∴弦AB与CD之间的距离EF=15－7=8(cm).
(2)当AB,CD在圆心0的异侧时，如图2所示，同(1)可知0E=7cm,0F=15cm,∴弦AB与CD之间的距离EF=15+7=22(cm).综上，弦AB与CD之间的距离为8cm或22cm.
提优强化练习
8.D 如图，连接OA,∵AB⊥CD,且AB=10寸，∴AE=BE=5寸.设⊙0的半径OA的长为x寸，则OC=OD=x寸.∵CE=1寸，∴OE=(x－1)寸.在Rt△AOE中，由勾股定理得x2－(x－1)2=52,化简得x2－x2+2x－1=25,即2x=26,∴CD=26寸，即直径CD的长为26寸.
9.D 如图，连接OA,过点O作OH⊥AB于H,则AH=HB＝AB=3.⊙0的直径为10，0A=5,由勾股定理得，0H===4，当点P与点A(或点B)重合时，OP的长度最大，当点P与点H重合时，OP的长度最小，∴线段0P的长的取值范围是4≤0P≤5.
10.A 如图，过点0作0E⊥AB于E,∵0为圆心，∴AE=BE,∵OA=OC,∴OE为△ABC的中位线，∴OE=BC.∵OE≤OP,∴BC≤2OP,∴当E、P重合，即OP⊥AB时，BC取得最大值，∴BC的最大值为2OP=2.故选A.
11.A 设“图上”圆的圆心为0，连接0A,作0D⊥AB于D,延长DO交圆于点C,如图所示：
∵AB=16厘米，∴AD=AB=8(厘米)，∵0A=10厘米，∴0D===6(厘米)，∴DC=0C+0D=10+6=16(厘米)，∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度=16÷16=1.0(厘米/分)，故选A.
12.【答案】2
【解析】如图，连接OA,作OD⊥AB于D,则AD=BD=AB=5(cm),DP=BD－PB=1(cm).设0A=0C=rcm,在Rt△AOD和Rt△OPD中，由勾股定理得OD2=0A2－AD2=0P2－DP2,即r2－52=(r－2)2－12,解得r=7,即0A=7cm,∴0D==2(cm),即圆心0到AB的距离为2cm.
13.【答案】5
【解析】如图，作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OB,OD,∴DN=CD,BM=AB,∵AB=CD=24,∴DN=BM=12,∴0M=0N==5.∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°.∵0M⊥AB于M,ON⊥CD于N,∴∠OMP=∠ONP=90°，∴四边形MONP是矩形.∵OM=ON,∴四边形MONP是正方形，∴OP=5.
14.【答案】
【解析】如图，连接0D,∵CD⊥0C,∴∠DCO=90°，∴CD==(r为圆0的半径)，当OC的长最小时，CD的长最大，而OC⊥AB时，OC的长最小，此时D、B两点重合，CD=CB=AB=×1=,∴CD的最大值为
15.【解析】
(1)证明：如图，连接AC,∵直径AB垂直弦CD于点E,∴CE=DE,∴AC=AD.∵CF⊥AD,且CF经过圆心O,∴AF=DF,∴CF所在直线是AD的垂直平分线，∴AC=CD,∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30∴在R△COE中，OE=OC,OE=OB,∴点E为OB的中点.
(2)∵AB=6,∴0B=0C=AB=3.∵点E为OB的中点，∴BE=OE,∴OE=∴CE=＝∴CD=2CE=3.
素养能力培优
16.【答案】4
【解析】如图，连接OB,过点O作OD⊥BC于点D,∴BC=2BD=20B2－0D2,∵以原点0为圆心的圆过点A(0,3),∴圆的半径为3，∴0B=3，∴BC=2,∵直线y=kx－3k+4必过点(3，4),∴点D的坐标为(3,4)时，0D的长度最大，弦BC的长度最小，此时0D=5,BC=2=2=4，∴弦BC的长的最小值为4.
17.【答案】8±4或12或4
【解析】分以下两种情况：①如图1，以AB为底边时，存在△ABC1与△ABC2,连接C1C2、AO,C1C2与AB交于点D,则C1C2垂直平分AB,∴C1C2过圆心O,AD=AB=1.∵0A=2,∴0D==，∴C1D=2+,C2D=2－，∴BC12=(2+)2+12=8+4，BC22=(2－)2+12=8－4.②如图2，以AB为腰时，存在△ABC3与△ABC4,则AC3=BC4=AB=2,连接OC3、BO、AO,AO交BC3于E,则BC42=4,∵OC3=OB,AC3=AB,∴OA垂直平分BC3,∴BE=C3E,OA⊥BC3,∵OC3=AO=AC3=2,∴△AC3O是等边三角形，∴∠EOC3=60°，∵0A⊥BC3,∴∠OC3E=30°，∴0E=1,C3E=，∴BC3=2,∴BC32=(2)2=12.综上，BC2=8±4或12或4.
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