24.1.3 弧、弦、圆心角精准自测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 24.1.3 弧、弦、圆心角精准自测卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 892.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-14 17:59:36 | ||
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文档简介
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
夯基知识梳理
知识点1 弧、弦、圆心角之间的关系
1.(2022独家原创)如图，点A、B、Q在⊙O上，点P在⊙O外，点M在⊙O内，则图中标记的四个角中，是圆心角的是 ( )
A.∠APB B.∠AQB C.∠AOB D.∠AMB
2.观察下列图形及相应的推理，其中正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.如图所示，在⊙0中，AB＝AC,∠A＝30°，则∠B＝ ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
4.如图，A、B、C、D是⊙0上的点，∠1＝∠2，则下列
结论：①＝；②＝；③＝； ④∠BOD＝∠AOC.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，AB是⊙0的直径，直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是 ( )
A.＝＝ B.＝< C.＝> D.<<
6.(2022独家原创)如图，AB是⊙0的直径，＝＝,BE＝,则∠COE＝________
7.如图，⊙0中，弦AB与CD相交于点E,AB＝CD,连接AD、BC.
求证：(1)＝；(2)AE＝CE.
提优强化练习
8.(2022吉林长春南关期末，6，★)如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
9.(2022四川绵阳江油期末，10，)如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AE＝3,⊙0的直径为15，则AC的长为 ( )
A.10 B.13 C.12 D.11
10.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为________.
11.(2022辽宁鞍山立山期中，10，)如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD,已知DE＝6,∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于________。
12.(2021陕西西安雁塔期中，23，)如图，AB为⊙O的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F,且＝.
(1)求证：AE＝BF；
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB＝12,MN＝3,求OM的长.
素养能力培优
13.[逻辑推理]如图，C、D三等分以0为圆心的,连MN、CD、OC、OD、OM,下列结论错误的是 ( )
A.∠COM＝∠COD B.若OM＝MN,则∠COD＝20°
C.MN//CD D.MN＝3CD
14.[逻辑推理]如图所示，MN为⊙0的直径，点A是上靠近点N的三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2,则AP+BP的最小值是____________________。
【参考答案及解析】
24.1.3弧、弦、圆心角
夯基知识梳理
1.C 顶点在圆心的角叫做圆心角，所以∠AOB是圆心角，其他3个角都不是圆心角.
2.C ①中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么相应的其余各组量都分别相等，故①正确；③中，∵＝,∴+＝+,即＝,∴AB＝CD,故③正确；②和④中，不是在同圆或等圆中，故②④不正确.
3.B ∵在⊙O中，＝,∴AB＝AC,∴∠B＝∠C,又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°.
4.D ∵∠1＝∠2，∴＝,∠BOD＝∠AOC,∴＝,∴AC＝BD,∴①②③④正确，故选D.
5.A 如图，连接AC,OC,OD,BD,∵直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，∴AC＝OC,BD＝OD.∵OC＝OD＝OA＝OB,∴△AOC,△BOD都是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60.∵AB是⊙0的直径，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD,∴＝＝.故选A.
6.【答案】84°
【解析】∵AB是⊙O的直径，＝＝,∴∠AOC＝×180°＝60°，∵BE＝÷AB,∴∠BOE＝×180°＝36°，∴∠COE＝180°－60°－36°＝84°
7.证明
(1)∵AB＝CD,∴＝,即+＝+,∴＝
(2)如图，连接AC,＝,∴AD＝BC.又∵CD＝AB,AC＝AC,∴△ADC≌△CBA(SSS),∴∠ACD＝∠CAB.∴AE＝CE.
提优强化练习
8.C ∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°－∠AOE＝120°∵点C、D是BE的三等分点，∴∠BOD＝×120°＝80°
9.C 如图，连接OF,∵DE⊥AB,AB为⊙O的直径，∴DE＝EF,＝,∵D为的中点，∴＝DC,∴＝,∴AC＝DF.∵⊙0的直径为15，∴OF＝OA＝∵AE＝3,∴OE＝OA－AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF＝＝＝6,∴DE＝EF＝6,∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12.
10.【答案】30°
【解析】如图，连接OC.∵AB是直径，＝＝,∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60.O A＝OC,∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA,∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°
11.【答案】3
【解析】如图，作AH⊥BC于H,作直径CF,连接BF.∵∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE,∴BF＝DE,∴＝＝6.A H⊥BC,∴CH＝BH,CA＝AF,∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3.∴点A到弦BC的距离为3.
12.
【解析】
(1)证明：如图1，连接OA、OB,∵OA＝OB,∴∠A＝∠B.∵＝,∴∠AOE＝∠BOF在△AOE和△BOF中，,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴AE＝BF.
(2)如图2，连接OA,∵OM⊥AB,∴AM＝AB＝6,设OM＝x,则OA＝ON＝x+3,在Rt△AOM中，由勾股定理得62+x2＝(x+3)2,解得x＝4.5,∴OM＝4.5.
素养能力培优
13.D 如图，连接ON、MC、DN,过点O作OE⊥CD交于点E,∵＝,∴∠COM＝∠COD,故A正确；当OM＝MN时，∵OM＝ON,∴OM＝ON＝MN,∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵＝＝,∴∠COM＝∠COD＝∠DON,∴∠COD＝20°，故B正确：OE⊥CD,∴＝,∴＝,∴OE⊥MN,∴MN∥CD,故C正确；∵＝＝,∴MC＝CD＝DN,∵MC+CD+DN>MN,∴MN<3CD,故D错误.
14.【答案】
【解析】如图，作点B关于直线MN的对称点B′,连接AB′交MN于点P′,连接BP′,OB′,OB.∵点B和点B′关于直线MN对称，∴P′B＝P′B′,＝,AP′+BP′＝AP′+B′P′＝AB′,易知点P位于点P′处时，AP+BP的值最小.∵点A是上靠近点N的三等分点，点B是的中点，＝,∴∠AON＝180°÷3＝60°，∠B′ON＝∠BON＝∠AON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝90.O A＝OB′＝1,∴AB′＝，故AP+BP的最小值为.
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24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
夯基知识梳理
知识点1 弧、弦、圆心角之间的关系
1.(2022独家原创)如图，点A、B、Q在⊙O上，点P在⊙O外，点M在⊙O内，则图中标记的四个角中，是圆心角的是 ( )
A.∠APB B.∠AQB C.∠AOB D.∠AMB
2.观察下列图形及相应的推理，其中正确的是 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.如图所示，在⊙0中，AB＝AC,∠A＝30°，则∠B＝ ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
4.如图，A、B、C、D是⊙0上的点，∠1＝∠2，则下列
结论：①＝；②＝；③＝； ④∠BOD＝∠AOC.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，AB是⊙0的直径，直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是 ( )
A.＝＝ B.＝< C.＝> D.<<
6.(2022独家原创)如图，AB是⊙0的直径，＝＝,BE＝,则∠COE＝________
7.如图，⊙0中，弦AB与CD相交于点E,AB＝CD,连接AD、BC.
求证：(1)＝；(2)AE＝CE.
提优强化练习
8.(2022吉林长春南关期末，6，★)如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
9.(2022四川绵阳江油期末，10，)如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F,若AE＝3,⊙0的直径为15，则AC的长为 ( )
A.10 B.13 C.12 D.11
10.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为________.
11.(2022辽宁鞍山立山期中，10，)如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD,已知DE＝6,∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于________。
12.(2021陕西西安雁塔期中，23，)如图，AB为⊙O的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F,且＝.
(1)求证：AE＝BF；
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB＝12,MN＝3,求OM的长.
素养能力培优
13.[逻辑推理]如图，C、D三等分以0为圆心的,连MN、CD、OC、OD、OM,下列结论错误的是 ( )
A.∠COM＝∠COD B.若OM＝MN,则∠COD＝20°
C.MN//CD D.MN＝3CD
14.[逻辑推理]如图所示，MN为⊙0的直径，点A是上靠近点N的三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2,则AP+BP的最小值是____________________。
【参考答案及解析】
24.1.3弧、弦、圆心角
夯基知识梳理
1.C 顶点在圆心的角叫做圆心角，所以∠AOB是圆心角，其他3个角都不是圆心角.
2.C ①中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么相应的其余各组量都分别相等，故①正确；③中，∵＝,∴+＝+,即＝,∴AB＝CD,故③正确；②和④中，不是在同圆或等圆中，故②④不正确.
3.B ∵在⊙O中，＝,∴AB＝AC,∴∠B＝∠C,又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°.
4.D ∵∠1＝∠2，∴＝,∠BOD＝∠AOC,∴＝,∴AC＝BD,∴①②③④正确，故选D.
5.A 如图，连接AC,OC,OD,BD,∵直线CM是AO的垂直平分线，直线DN是OB的垂直平分线，∴AC＝OC,BD＝OD.∵OC＝OD＝OA＝OB,∴△AOC,△BOD都是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60.∵AB是⊙0的直径，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD,∴＝＝.故选A.
6.【答案】84°
【解析】∵AB是⊙O的直径，＝＝,∴∠AOC＝×180°＝60°，∵BE＝÷AB,∴∠BOE＝×180°＝36°，∴∠COE＝180°－60°－36°＝84°
7.证明
(1)∵AB＝CD,∴＝,即+＝+,∴＝
(2)如图，连接AC,＝,∴AD＝BC.又∵CD＝AB,AC＝AC,∴△ADC≌△CBA(SSS),∴∠ACD＝∠CAB.∴AE＝CE.
提优强化练习
8.C ∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°－∠AOE＝120°∵点C、D是BE的三等分点，∴∠BOD＝×120°＝80°
9.C 如图，连接OF,∵DE⊥AB,AB为⊙O的直径，∴DE＝EF,＝,∵D为的中点，∴＝DC,∴＝,∴AC＝DF.∵⊙0的直径为15，∴OF＝OA＝∵AE＝3,∴OE＝OA－AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得EF＝＝＝6,∴DE＝EF＝6,∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12.
10.【答案】30°
【解析】如图，连接OC.∵AB是直径，＝＝,∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60.O A＝OC,∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA,∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°
11.【答案】3
【解析】如图，作AH⊥BC于H,作直径CF,连接BF.∵∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE,∴BF＝DE,∴＝＝6.A H⊥BC,∴CH＝BH,CA＝AF,∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3.∴点A到弦BC的距离为3.
12.
【解析】
(1)证明：如图1，连接OA、OB,∵OA＝OB,∴∠A＝∠B.∵＝,∴∠AOE＝∠BOF在△AOE和△BOF中，,∴△AOE≌△BOF(ASA),∴AE＝BF.
(2)如图2，连接OA,∵OM⊥AB,∴AM＝AB＝6,设OM＝x,则OA＝ON＝x+3,在Rt△AOM中，由勾股定理得62+x2＝(x+3)2,解得x＝4.5,∴OM＝4.5.
素养能力培优
13.D 如图，连接ON、MC、DN,过点O作OE⊥CD交于点E,∵＝,∴∠COM＝∠COD,故A正确；当OM＝MN时，∵OM＝ON,∴OM＝ON＝MN,∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，∵＝＝,∴∠COM＝∠COD＝∠DON,∴∠COD＝20°，故B正确：OE⊥CD,∴＝,∴＝,∴OE⊥MN,∴MN∥CD,故C正确；∵＝＝,∴MC＝CD＝DN,∵MC+CD+DN>MN,∴MN<3CD,故D错误.
14.【答案】
【解析】如图，作点B关于直线MN的对称点B′,连接AB′交MN于点P′,连接BP′,OB′,OB.∵点B和点B′关于直线MN对称，∴P′B＝P′B′,＝,AP′+BP′＝AP′+B′P′＝AB′,易知点P位于点P′处时，AP+BP的值最小.∵点A是上靠近点N的三等分点，点B是的中点，＝,∴∠AON＝180°÷3＝60°，∠B′ON＝∠BON＝∠AON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝90.O A＝OB′＝1,∴AB′＝，故AP+BP的最小值为.
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