24.3 正多边形和圆精准自测卷（含解析）

第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
夯基知识梳理
知识点1 正多边形的有关概念及计算全解
1.(2021内蒙古兴安盟中考)一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是 ( )
A.3 B.6 C.8 D.12
2.(2022江苏南京秦淮期末)如图，正八边形ABC－DEFGH中，∠EAG大小为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
3.(2022独家原创)如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A、B在x轴上，顶点F在y轴上，若AB＝2,则中心P的坐标为 ( )
A.(2,) B.(1,) C.(2,2) D.(3,2)
4.(2022独家原创)如图，A、B、C、D、E为一个正九边形的顶点，O为正九边形的中心，点P为动点，从点C出发，沿CD向点D运动，在运动的过程中，下列关于∠APB大小的说法，正确的是 ( )
A.始终为20° B.由大变小 C.由小变大 D.由小变大再变小
5.(2021江苏常州武进期中)如图，⊙O的半径为，以⊙O的内接正八边形的一边为边在⊙O内作正方形ABCD,则正方形ABCD的面积为________。
知识点2 正多边形的画法
6.作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A,请完成下列任务：
(1)用尺规作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状并加以证明.
提优强化练习
7.(2021湖南株洲中考，8，)如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI＝ ( )
A.10° B.12° C.14° D.15°
8.(2022福建福州鼓楼月考，9，★)如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M,N,F分别是边AE,AB,CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为 ( )
A.25° B.36° C.35° D.40°
9.(2021江苏盐城亭湖期中，7，)如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm,则螺帽边长a等于 ( )
A. cm B.2cm C.2cm D. cm
10.(2021广东广州荔湾期末，8，)如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G,H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP,BP,当AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
11.(2021河北中考，10，)如图，点0为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8,S△CDO＝2,则S正六边形ABCDEFE的值是 ( )
A.20 B.30 C.40 D.随点O位置而变化
12.(2022天津滨海新区期末，16，★)如图，△POR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR,则∠BOQ＝________
13.(2020江苏南京中考，14，)如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为
________cm2
素养能力培优
14.[逻辑推理]如图，取正六边形ABCDEF的各边中点并依次连接，得到正六边形A1B1C1D1E1F1,再取正六边形A1B1C1D1E1F1的各边中点并依次连接，得到正六边形A2B2C2D2E2F2,则正六边形A2B2C2D2E2F2与正六边形ABCDEF的边长之比为 ( )
A. B. C. D.
15.[数学建模]如图，正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2T,MN＝1,则△AMN周长的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【参考答案及解析】
24.3 正多边形和圆
夯基知识梳理
1.D 这个正多边形的边数＝＝12.
2.C 如图，连接AC、GE、EC,∵正八边形ABCDEFGH的各顶点是其外接圆的八等分点，∴四边形ACEG为正方形，∴∠EAG＝45°
3.A 如图，连接PA、PF,作P⊥AB于O,由正六边形的性质可得PF＝PA＝AF＝AB＝2,∠APQ＝30°在Rt△APQ中，AQ＝AP＝1,∴PQ＝＝.易证四边形OFPQ是矩形，∴OQ＝PF＝2,∴点P的坐标为(2,).
4.D 如图，作正九边形的外接圆⊙O,连接OA、OB、AC.由题意得∠AOB＝＝40°，则∠ACB＝∠AOB＝20°.当点P与点C、D重合时，∠APB＝∠ACB＝20°，当点P在边CD上且不与C、D重合时，∵点P在圆内，∴∠APB>20°，∴在运动过程中，∠APB由小变大再变小
5.【答案】4－2
【解析】如图，连接OA、OD,过A作AE⊥OD于E,则∠AEO＝∠AED＝90°，∵∠AOD是正八边形的中心角，∴∠AOD＝＝45°，△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OE＝OA＝1,∴DE＝OD－OE＝－1，∴AD2＝AE2+DE2＝1+(－1)2＝4－2，∴正方形ABCD的面积＝AD2＝4－2.
6.【解析】
(1)如图，首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点B,F,C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为所求.
(2)四边形BCEF是矩形.理由：如图，连接OE,∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC,∴＝＝＝,∴＝,BF＝CE,∴四边形BCEF是平行四边形∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠EDC＝∠FED＝＝120°∵DE＝DC,∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠CEF＝∠DEF－∠CED＝90°，∴四边形BCEF是矩形.
提优强化练习
7.B 在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠FAI＝∠FAB－∠IAB＝120°－108°＝12°
8.B 如图，连接OM,ON.∵M,N分别是AE,AB与⊙O的切点，∴OM⊥AE,ON⊥AB,∴∠OMA＝∠ONA＝90°.∵∠A＝108°，∴∠MON＝180°－108°＝72°，∴∠MFN＝∠MON＝36°
9.A 如图，连接AC,过点B作BD⊥AC于D,由题意得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a,∴∠BCD＝∠BAC＝30°，由AC＝3,得AD＝CD＝1.5,∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝a,∴AD＝
＝a,即a＝1.5,∴a＝(cm).故选A.
10.C 如图，连接PF,BF,BF交GH于点P′,连接AP′∵正六边形ABCDEF中，G,H分别是AF和CD的中点，∴直线GH是正六边形的对称轴，∴PA＝PF,∴PA+PB＝PF+PB.∵PB+PF≥BF,∴当点P与点P′重合时，PA+PB的值最小.∵∠BAF＝120°，AB＝AF,∴∠ABF＝∠AFB＝30°.∠FGP′＝90°，∴∠FP′G＝60°，即∠BP′H＝60°.故选C.
11.B 如图，设正六边形ABCDEF的中心为G,连接GC,GD,GE,GF,AC.易得△EFG,△DEG和△CDG都是等边三角形，且大小相同，点C,G,F在同一条直线上，则S△CDG＝S△DFG＝S正六边形ABCDEF,易得四边形ACDF是矩形，∵S△AFO＝8,S△CDO＝2,∴S矩形ACDF＝2×(8+2)＝20,∴S△CDG＝S矩形ACDF＝5,S正六边形ABCDEF＝6S△CDG＝30.
12.【答案】15°
【解析】如图，连接OA,OD,OP,∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ＝PR＝QR,∴∠POQ＝×360°＝120°.∵BC∥QR,OP⊥QR,∴OP⊥BC.∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD,∠AOD＝90°，∴＝,∴∠AOP＝∠DOP,∴∠AOP＝×90°＝45°，∴∠AOQ＝∠POQ－∠AOP＝75°.∵∠AOB＝90°，∴∠0OB＝15°
13.【答案】2
【解析】如图，连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,六边形ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF,AB＝AF,∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF∵AT⊥BF,AB＝AF,∴BT＝FT,∠BAT＝∠FAT＝60°，∴∠ABT＝30°，∴AT＝AB＝1cm,∴BT＝cm.∴BF＝2BT＝2cm,∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PFF＝S△BEF＝EF·BF＝×2×2＝2(cm2).
素养能力培优
14.C 如图，连接AF2,设AF1＝FF1＝a,∵∠BAF＝120°AA1＝AF1＝a,∴∠AF1F2＝30°，∠AF2F1＝90°，AF2＝a,由勾股定理得A1F2＝F2F1＝a∴A1F1＝a.同理可得F2E2＝F2F1＝a,∴正六边形A2B2C2D2E,F2与正六边形ABCDEF的边长之比a:2a＝
15.B 由正方形的性质知，点C和点A关于直线BD对称，如图，过点C作CA′∥BD,且使CA′＝1,连接AA′交BD于点N′,截取N′M′＝1,连接AM′、CM′,易知A′N′＝CM′＝AM′,△AMN的周长的最小值等于△AM′N′的周长.连接AC,∵⊙O的面积为2π，∴圆的半径为，则BD＝2＝AC.∵AC⊥BD,CA′∥BD,∴∠A′CA＝90°.在Rt△A′AC中，A′A＝＝＝3.∴△AM′N′的周长＝AM′+AN′+M′N′＝AA′+M′N′＝3+1＝4,∴△AMN周长的最小值是4.
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