24.4 弧长和扇形面积精准自测卷（含解析）

第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
夯基知识梳理
知识点1 弧长公式及其应用
1.(2022四川江油期末)已知扇形的圆心角度数为60°，半径为30，则这个扇形的弧长为 ( )
A.20π B.15π C.10π D.5π
2.(2021黑龙江牡丹江中考)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为 ( )
A.45 cm B.40 cm C.35 cm D.30 cm
3.挂钟分针的长为10cm,经过20分钟，它的针尖转过的路程是________cm.
4.如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m(米)，某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100米到达点B,则线段AB＝________米.
知识点2 扇形面积公式及其应用
5.(2022辽宁鞍山期末)圆心角度数为45°，半径为10的扇形面积为 ( )
A.π B.5π C.10π D.π
6.(2021广东高州期末)已知一个半径为3cm的扇形的面积为3cm2,则这个扇形的圆心角为 ( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
7.如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着小羊M(羊只能在草地上活动)，那么小羊M在草地上的最大活动区域的面积是 ( )
A.9πm2 B.πm2 C.15π㎡ D.πm2
8.(2022上海闵行期末)如图，一把折扇的骨架长是30cm,扇面宽为20cm,完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为________cm.
9.(2022四川绵阳游仙月考)如图，在正方形ABCD中，AB＝2,连接AC,以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为________。
10.(2021上海浦东新区期末)如图，正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧；以C为圆心，6为半径作圆弧；若图中阴影部分的面积分别为S1、S2,则S1－S2＝________.(结果保留π)
知识点3 与圆锥有关的计算
11.(2022黑龙江佳木斯期末)一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是 ( )
A.81π B.54π C.27π D.18π
12.一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是 ( )
A.48 B.45π C.36π D.32π
13.(2021湖南长沙雨花月考)已知圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 ( )
A.216° B.270° C.288° D.300°
14.(2021湖南永州中考)某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型(如图所示)，则此圆锥的母线长为________。
15.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6,圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥的高OC＝________
提优强化练习
16.(2021四川广安中考，9，)如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB).已知A、B是圆上的点，0为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B,走便民路比走观赏路少走 ( )
A.(6π－6)米 B.(6π－9)米 C.(12π－9)米 D.(12π－18)米
17.(2021内蒙古包头中考，5，)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2,以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D,以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.8－π B.4－π C.2－ D.1－
18.(2021云南昆明模拟，14，)如图，点A、B、C是⊙0上的点，已知⊙0的半径r＝10,∠1＝108°，欢欢利用图中阴影部分围成一个圆锥，则这个圆锥的高为 ( )
A.2 B.6 C.8 D.4
19.(2021上海徐汇期末，14，)有A、B两个大小相同的正方形纸板，在A中剪一个最大的圆，在B中剪一个最大的圆心角为90°的扇形，那么剪剩下的纸板的面积相比 ( )
A.A剩下的面积大 B.B剩下的面积大
C.一样大 D.不能确定哪个大，和正方形纸板的边长有关
20.(2021山东青岛莱西一模，13，)如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上，若AB＝，BC＝,则长为________
21.(教材P116变式题)如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为________m.
22.如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm,则图中阴影部分的面积为________.
23.如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，OM的长为半径画弧得到扇形MON,点N在BC上；以点E为圆心，DE的长为半径画弧得到扇形DEF,把扇形MON的两条半径OM,ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2,则r1:r2＝________
素养能力培优
24.[数学运算]如图，扇形OAB中，OB＝6,∠AOB＝90°，点C在OA上，连接BC,将△OBC沿BC折叠，点O恰好落在上的D处，若沿CD将虚线部分减掉，则图中CD、BC和BD围成的图形的周长是________。
25.[逻辑推理]如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D.点E为半径OB上一动点.若OB＝2,则阴影部分周长的最小值为________。
26.[逻辑推理]如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1,将OA绕点0顺时针旋转45°到OA1,扫过的面积记为S1,A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3,扫过的面积记为S2,A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点0顺时针旋转45°到OA5,扫过的面积记为S3,……,按此规律，则S2022＝________
【参考答案及解析】
24.4弧长和扇形面积
夯基知识梳理
1.C 圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是＝10π.
2.B 设弧所在圆的半径为rcm,由题意得＝2π×3×5,解得r＝40.
3.【答案】
【解析】分针20分钟转20×6°＝120°，所以分针的针尖转过的路程＝＝(cm).
4.【答案】300
【解析】设圆心为O,线段AB所对的圆心角度数为n°，100π＝＝,∴n＝60,即∠AOB＝60°.又AO＝BO,∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300(米).
5.D 扇形的面积为＝π
6.B 设扇形的圆心角为n°，则有3π＝,解得n＝120.
7.B 如图，扇形AOE的圆心角是90°，半径是6m,所以扇形AOE的面积＝＝9π(m2)；扇形BCE的圆心角是180°－120°＝60°，半径是6－4＝2(m),所以扇形BCE的面积＝＝π(m2),则小羊M在草地上的最大活动区域的面积是9π+π＝π(m2).故选B.
8.【答案】300π
【解析】扇面面积为－＝300π(cm2).
9.【答案】6π－4
【解析】在正方形ABCD中，AB＝2,∴AC＝2×＝4,∠ACD＝45.∵点E在BC的延长线上，∴∠ACE＝45°+90°＝135°，∴S阴影＝S扇形ACE－S△ACD＝－×2×2＝6π－4.
10.【答案】13π－36
【解析】如图，S1+S2＝π×42×＝4π,S2+S3＝6×6－π×62×＝36－9π,∴(S1+S3)－(S2+S3)＝4π－(36－9π),即S1－S2＝13π－36.
11.B S侧＝×9×2π×6＝54π.
12.A S侧＝×π×82＝32π,底面圆半径r＝÷2π＝4,S底＝π×42＝16π,故S全＝32π+16π＝48π.
13.A 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，∵圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,∴＝2π×3,解得n＝216,∴圆锥侧面展开图的圆心角为216°.故选A.
14.【答案】10
【解析】设此圆锥的母线长为l,根据题意得×2π×6×l＝60π,解得l＝10,所以此圆锥的母线长为10.
15.【答案】4
【解析】设圆锥底面圆的半径为r,∵AC＝6,∠ACB＝120°，∴l＝＝2πr,∴r＝2,即OA＝2,在Rt△AOC中，OA＝2,AC＝6,根据勾股定理得OC＝＝4
提优强化练习
16.D 如图.作OC⊥AB于C,则AC＝BC.∵OA＝OB,∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)＝30°在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，AC＝＝9米，∴AB＝2AC＝18米，又∵的长＝＝12π米，∴走便民路比走观赏路少走(12π－18)米.
17.D 由题意得AC＝＝＝1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1.∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴S阴影部分＝S△ABC－(S扇形EBF+S扇形DAC)＝×2×1－＝1－
18.C ∵圆周角∠1＝108°，∴阴影部分的圆心角的度数是2×108°＝216°，∴阴影部分的弧的长度是＝12π.设圆锥的底面圆的半径是r,则2πr＝12π，解得r＝6,∴圆锥的高是＝8.
19.C 设正方形纸板的边长为2a.如图，最大的圆的面积＝π2a,最大的圆心角为90°的扇形的面积＝·π·(2a)2＝πa2,∴圆的面积与扇形面积相等，∴剪剩下的纸板的面积一样大.
20.【答案】
【解析】连接AC、AF,过点E作EM⊥AB于M,则EM＝CB＝，由旋转的性质可知，AB＝AE＝，AC＝AF,在Rt△ABC中，AC＝＝3，在Rt△AEM中，AM＝＝，∴AM＝EM,∴∠EAM＝45°，由旋转可得，∠FAC＝∠EAM＝45°，∴的长为＝
21.【答案】
【解析】如图，连接AO,∵圆形铁皮的半径为1m,∴AO＝1m,即阴影扇形的半径为1m,又其圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为m,而扇形的弧长等于围成圆锥的底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为rm,则有2r＝，解得r＝
22.【答案】32πcm2
【解析】由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD,则阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形BAB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形BAB′的面积＝＝32πcm2.
23.【答案】：2
【解析】如图，连接OA,OF,∵M为AF中点，∴OM⊥AF.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOM＝∠AOF＝30°,设AM＝a,则AB＝AO＝2a,OM＝a.易知∠MON＝120°，∴扇形MON的弧长为＝πa,∴r2＝＝a,∴r1:r2＝:2.
素养能力培优
24.【答案】6+2π
【解析】如图，连接OD,由折叠可知，OC＝CD,BD＝OB,又OB＝OD,∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝∠OBD＝60°，∴∠OBC＝∠DBC＝30°.在Rt△OBC中，∠AOB＝90°，∠OBC＝30°，∴BC＝2OC,又∵OC2+OB2＝BC2,OB＝6,∴OC2+62＝(2OC)2,∴OC＝CD＝2,∴BC＝4.∵OB＝6,∠BOD＝60°，∴的长＝＝2π,∴所求周长＝2+4+2π＝6+2π.
25.【答案】2+
【解析】如图，作点D关于直线OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′,易知点E与点E′重合时，EC+ED的值最小，此时最小值为CD′的长，由题意得∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，又的长＝＝,∴阴影部分周长的最小值为2+
26.【答案】22018π
【解析】由题意，△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、…都是等腰直角三角形，∴OA2＝,OA4＝2,OA6＝2,…∵S1＝＝π,S2＝＝π,S3＝＝π,S4＝＝π,……,∴Sn＝2n－4π(n为正整数)，∴S2022＝22018π.
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