24.2.2 直线和圆的位置关系精准自测卷（含解析）

第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 直线和圆的位置关系
夯基知识梳理
知识点1 直线和圆的位置关系全解
1.⊙0的半径r为4，圆心0到直线l的距离d为5,则直线l与⊙0的位置关系用图形表示正确的是 ( )
2.(2021浙江嘉兴中考)已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O的半径为2cm,线段OA＝3cm,OB＝2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
3.(2022北京西城期中)如图，∠AOB＝30°，OM＝6,那么以M为圆心，3为半径的圆与直线OA的位置关系是________
知识点2 切线的判定
4.(2022独家原创)如图，点A在⊙O上，点B在⊙O外，以下条件能判定AB是⊙O切线的有 ( )
①∠0+∠B＝90°； ②∠A－∠B＝∠0； ③OB＝AB＝OA； ④OA:AB:OB＝3:4:5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(教材P101变式题)如图，OA＝OB＝13cm,AB＝24cm,⊙O的直径为10cm.求证：AB是⊙O的切线.
6.(2022黑龙江虎林期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D,若E是AC的中点，连接DE.求证：DE为⊙O的切线.
知识点3 切线的性质
7.(2021江苏镇江中考)如图，∠BAC＝36°，点0在边AB上，⊙O与边AC相切于点D,交边AB于点E,F,连接FD,则∠AFD等于 ( )
A.27° B.29° C.35° D.37°
8.如图，已知⊙O上三点A,B,C,半径OC＝1,∠ABC＝30°，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P,则PA的长为 ( )
A.2 B. C. D.
知识点4 切线长及切线长定理全解
9.如图，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交⊙O于点D,下列结论不一定成立的是 ( )
A.PA＝PB B.∠BPD＝∠APD C.AB⊥PD D.AB平分PD
10.(2021河南周口西华期中)如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，若AB＝8,AC＝5,则BD的长为________。
知识点5 三角形的内切圆与内心
11.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若∠DEF＝55°，则∠A的度数是 ( )
A.35° B.55° C.70° D.125°
12.(2021山东德州夏津期末)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是________
提优强化练习
13.(2021山西中考，7，)如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A,连接OB交⊙O于点C,过点A作AD∥OB交⊙O于点D,连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为 ( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
14.如图，△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的大小关系是 ( )
A.DI＝DB B.DI>DB C.DI15.(2022四川绵阳游仙月考，7，)如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则AB的取值范围是 ( )
A.8≤AB≤10 B.816.(2021山东聊城东昌府期中，12，)如图，PA、PB分别切⊙O于A、B,PA＝10cm,C是劣弧上的点(不与点A、B重合)，过点C的切线分别交PA、PB于点E、F,则△PEF的周长为 ( )
A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm
17.(2022江苏泰兴期中，13，)已知⊙O的圆心到直线l的距离为2，且圆的半径是方程x2－5x+6＝0的根，则直线l与⊙O的位置关系是____________________。
18.如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC,AB分别相切于C,D两点，与边AC交于点E,弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M.若点E是的中点，BC＝2,则OC的长为________。
19.如图，直线ab,垂足为H,点P在直线b上，PH＝4cm,O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________。
20.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若直径AB＝6,求AD的长.
素养能力培优
21.[直观想象]如图，P是抛物线y＝x2－4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为____________________
22.[逻辑推理]如图，已知半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x+t,若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是____________________。
【参考答案及解析】
24.2.2直线和圆的位置关系
夯基知识梳理
1.A 因为圆心0到直线l的距离d为5，⊙O的半径r为4，所以直线1与⊙O相离，选项A中的图形符合题意.故选A.
2.D 设圆心O到直线AB的距离为dcm,∵线段OA＝3cm,OB＝2cm,∴d≤2，又⊙O的半径为2cm,∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切.
3.【答案】相切
【解析】如图，过点M作MD⊥AO于点D,∵∠AOB＝30°，OM＝6,∴MD＝OM＝3,∴以点M为圆心，3为半径的圆与OA的位置关系是相切.
4.D ①∠0+∠B＝90°，∴∠A＝90°，∴AB是⊙O的切线：②∵∠A－∠B＝∠0，∴∠A＝∠0+∠B＝×180°＝90°，∴AB是⊙O的切线；③∵OB＝AB＝OA,OA2+AB2＝OB2,∴∠A＝90°，∴AB是⊙O的切线；④∵OA:AB:OB＝3:4:5,设OA＝3x,则AB＝4x,OB＝5x,∴OA2+AB2＝9x2+16x2＝25x2,OB2＝25x2,∴OA2+AB2＝OB2,∴∠A＝90°，∴AB是⊙O的切线.综上所述，①②③④都能判定AB是⊙O的切线.
5.证明如图，过点0作OC⊥AB于点C,∵OA＝OB＝13cm,AB＝24cm,∴AC＝AB＝12(cm).在Rt△OAC中，根据勾股定理，得OC＝＝5(cm).∵⊙O的直径为10cm∴⊙O的半径r为5cm,∴OC＝r,即OC为⊙O的半径，∵OC⊥AB,∴AB是⊙O的切线.
6.证明如图，连接OD、OE,∵BC是⊙O的直径，E是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AB,∴∠EOD＝∠ODB,∠EOC＝∠B.又∵OB＝OD,∴∠B＝∠ODB,∴∠EOD＝∠EOC.又∵OC＝OD,OE＝OE,∴△EOD≌△EOC,∴∠EDO＝∠ECO.又∵∠ACB＝90°，∴∠EDO＝90°.,又∵点D在⊙O上，∴DE为⊙O的切线.
7.A 如图，连接OD,∵⊙O与边AC相切于点D,∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°－36°＝54°，∵OD＝OF,∴∠AFD＝∠ODF,∴∠AFD＝∠AOD＝×54°＝27°.
8.B 如图，连接OA,∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC:＝60°.∵AP为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝30°∵OA＝OC＝1,∴OP＝2,∴AP＝.故选B.
9.D ∵PA,PB是⊙O的切线，∴PA＝PB,A成立；∠BPD＝∠APD,B成立，∴AB⊥PD,C成立.故选D.
10.【答案】3
【解析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AP＝AC＝5.∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD,∴BD＝PB＝AB－AP＝8－5＝3.
11.C 如图，连接OD,OF,∵△ABC的内切圆⊙O与AB、AC分别相切于点D、F,∴∠ODA＝∠OFA＝90∵∠DEF＝55°，∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°，∴∠A＝360°－90°－90°－110°＝70°.故选C.
12.【答案】135
【解析】∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB,∠IBA＝∠CBA∴∠IAB+∠IBA＝(∠CAB+∠CBA)＝45°，∴∠AIB＝180°－(∠IAB+∠IBA)＝180°－45°＝135°.
提优强化练习
13.B 如图，连接OA,∵AB切⊙O于点A,∴∠OAB＝90°.∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°－50°＝40°，∴∠ADC＝∠AOB＝20°∵AD∥OB,∴∠OCD＝∠ADC＝20°
14.A 如图，连接BI,∵△ABC的内心为I,∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，即∠4＝∠DBI,∴DI＝DB.故选A.
15.A 如图，过0点作OC⊥AB于C,连接OA,则AC＝BC.当AB与小圆相切时，大圆的弦AB与小圆有唯一公共点，OC取最大值3，此时AC取最小值，为＝4，∴AB的最小值为8：当点C与点0重合时，AB最大，AB为大圆的直径，即AB的最大值为10，∴AB的取值范围是8≤AB≤10.
16.C ∵PA、PB分别切⊙O于A、B,PA＝10cm,∴PB＝PA＝10cm.∵EA与EC为⊙O的切线，∴EA＝EC,同理得到FC＝FB,∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝PA+PB＝10+10＝20(cm).故选C.
17.【答案】相切或相交
【解析】方程x2－5x+6＝0整理得(x－2)(x－3)＝0,解得x1＝2,x2＝3,即圆的半径为2或3，∴当半径为2时，直线l与⊙O的位置关系是相切；当半径为3时，直线l与⊙O的位置关系是相交.综上所述，直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.
18.【答案】
【解析】如图，连接DC,DF,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB于D.∴∠ODB＝90.∵CF∥AB,∴∠OMF＝∠ODB＝90.∴OM⊥CF,∴点M是CF的中点.∴DM垂直平分CF,∴DC＝DF∵E是的中点，∴CE垂直平分DF,∴CD＝CF,∴△DCF是等边三角形，∴∠1＝3OBC,AB分别是⊙O的切线，∴BD＝BC＝2,∠ACB＝90°，∴∠2＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝4,AC＝＝2.在Rt△AOD中，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD.∵OD＝OC,∴OC＝AC＝
19.【答案】3cm或5cm
【解析】∵直线a上b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时，切点为H,∴OH＝1cm.如图1，当点O在点H的左侧时，OP＝PH－OH＝4－1＝3(cm).如图2，当点0在点H的右侧时，OP＝PH+OH＝4+1＝5(cm),∴⊙O与直线a相切时，OP的长为3cm或5cm.
20.【解析】
(1)证明：如图，连接OD,∵＝＝,∴∠BOD＝×180°＝60°.∵＝,∴∠EAD＝∠DAB＝∠BOD＝30°∵OA＝OD,∴∠ADO＝∠DAB＝30°.∵DE⊥AC,∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.
(2)如图，连接BD,∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∵∠DAB＝30°，AB＝6,∴BD＝AB＝3,∴AD＝＝3.
素养能力培优
21.【答案】(2+,1)或(2－,1)或(2，－1)
【解析】如图，⊙P与x轴相切有三种情形，当⊙P在x轴上方时，点P的纵坐标为1，当y＝1时，x2－4x+3＝1,解得x＝2±，∴P(2+,1)或P(2－,1)；当⊙P在x轴下方时，点P的纵坐标为－1，当y＝－1时，x2－4x+3＝－1,解得x1＝x2＝2,∴P(2,－1).综上，点P的坐标为(2+,1)或(2－,1)或(2，－1).
22.【答案】t＝或－1≤t<1
【解析】分两种情况：①如图1，直线和半圆相切于点C,此时直线y＝x+t与半圆只有一个公共点.连接OC,设直线y＝x+t与y轴交于点D,易知∠ODC＝45°，∠OCD＝90°，由勾股定理得OD＝，即t＝.②如图2,从直线过点A开始到直线过点B结束的过程中(不包括直线过点A的情况，包括直线过点B的情况)，直线y＝x+t与半圆只有一个公共点.当直线过点A时，把点A(－1,0)代入直线解析式，得t＝1；当直线过点B时，把点B(1,0)代入直线解析式，得＝－1，∴t的取值范围是－1≤t<1.综上所述，当直线和半圆只有一个公共点时，t＝2或－1≤<1.
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