第二十四章 圆(单元综合评估)
限时:60分钟 满分:100分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022天津津南期中)下列说法正确的是 ( )
A.平分弦的直径垂直于弦 B.三个点确定一个圆
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.圆内接四边形的对角互补
2.如图,点A、B、C、D在⊙O上,∠AOC=120°,点B是的中点,则∠D的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.(2021广东广州中考)一根钢管放在V形架内,.其截面如图所示,钢管的半径是24cm,若∠ACB=60°,则劣弧AB的长是 ( )
A.8πcm B.16ππ cm C.32π cm D.192π cm
4.(2022天津河东期末)如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,∠CDB=30°,BC=4.5,则AB的长度为 ( )
A.6 B.3 C.9 D.12
5.(2021山东青岛中考)如图,AB是⊙O的直径,点E,C在⊙O上,点A是的中点,过点A画⊙O的切线,交BC的延长线于点D,连接EC.若∠ADB=58.5°,则∠ACE的度数为 ( )
A.29.5° B.31.5° C.58.5° D.63°
6.(2022独家原创)如图,点0为△ABC的内心,过点O作直线DE分别与AB、AC相交于点D、E,连接OB,OC.若AD=AE=10,DE=12,BC=20,则△OBC的面积为 ( )
A.96 B.80 C.48 D.36
7.如图,AB是⊙O的直径,CD为⊙O的弦,AB⊥CD于点E,若CD=6,AE=9,则阴影部分的面积为 ( )
A.6π- B.12π-9 C.3π- D.9
8.(2022独家原创)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O切CD于点E,点M、N分别为BC、CE上的动点,且MN与⊙O相切于F.设AD=x,△CMN的周长为y,若⊙O的半径为3,则y关于x的函数表达式为 ( )
A.y=3x B.y=6x C.y= D.y=
9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-4)2+与直线y=x交于点A、B,若以点B为圆心,8为半径作⊙B,则下列判断正确的个数是 ( )
①点O在⊙B外; ②点A在⊙B内; ③x轴与⊙B相切; ④y轴与⊙B相交.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点,∠ACB=90°,腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D,分别过点D,E作⊙O的切线交于点F,且点F恰好是腰BC上的点,连接OC,OD,OE,若⊙O的半径为4,则OC的最大值为 ( )
A.2+2 B.4+2 C.6 D.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.用反证法证明“圆内不是直径的两条弦,不能互相平分”时,假设____________________。
12.(2021湖南常德中考)如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠BOD=80°,则∠BCD=________
13.(2021青海西宁中考)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙O的半径OC=________
14.(2021广东广州天河期末)Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,将△ABC沿AC所在直线旋转一周,所得几何体的全面积是________(结果保留π).
15.(2021江苏镇江句容期中)如图,⊙O的半径为1,作两条互相垂直的直径AB、CD,弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心,1为半径画弧,交⊙O于点E,F,连接AE、CE,弦EC是该圆内接正n边形的一边,则该正n边形的面积为________。
16.(2022独家原创)如图,已知线段AB=4,动点C满足∠ACB=30°,M、N分别是线段AB、BC的中点,则△BMN的面积的最大值为________。
三、解答题(共46分)
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).
(1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________;
(2)点D坐标为(8,-2),连接CD,判断直线CD与⊙M的位置关系,并说明理由.
18.(2021浙江台州温岭期中)(8分)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,C是的中点,弦CE⊥AB于点H,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.
(1)求证:P是线段AQ的中点;
(2)若⊙O的半径为5,D是的中点,求弦CE的长.
19.(2021山东东营中考)(10分)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画圆,交AC于点D,DF⊥AB于点F,连接OF,且AF=1.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求线段OF的长度.
20.(2022天津和平期末)(10分)已知AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,过点C作⊙O的切线PC交AB延长线于点P,D为上一点,连接BD,BC,DC.
(1)如图①,若∠D=26°,求∠PCB的大小;
(2)如图②,连接AD,若四边形CDBP为平行四边形,求∠PCB,∠ADC的大小.
21.(10分)数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,等边三角形ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60°,试说明:∠NOC=60°.
(2)如图2,正方形ABCD中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、DM,那么∠DON=________度,说明理由.
(3)如图3,正五边形ABCDE中,在AB、BC边上分别取点M、N,使AM=BN,连接AN、EM,那么AN=________,∠EON=________度.
【参考答案及解析】
第二十四章·单元综合检测
1.D 被平分的弦只有不是直径时,原结论才成立,故A错误;不在同一直线上的三个点才能确定一个圆,故B错误;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故C错误;选项D中说法正确.
2.A 如图,连接OB,∵点B是的中点,∴∠AOB=∠AOC=×120°=60°,∴∠D=∠AOB=30°.
3.B 由题意得,CA和CB与⊙O分别相切于点A和点B,∴OA⊥CA,OB⊥CB,∴∠OAC=∠OBC=90°.∵∠ACB=60°,∴∠AOB=120°,∴劣弧AB的长==16π(cm).
4.C 如图,连接AC.AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=4.5,∴AB=2BC=9.
5.B ∵AD是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴BA⊥AD.∵∠ADB=58.5°,∴∠B=90°-∠ADB=31.5°.∵点A是的中点,∴=,∴∠ACE=∠B=31.5
6.C 如图,连接AO,作OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,∵点O为△ABC的内心,∴OM=ON,∠DAO=∠EAO.∵AD=AE=10,DE=12,∴OD=OE=6,∠AOD=90°.在Rt△AOD中,AO===8.S△AOD=AO·OD=AD·OM,∴OM=ON==4.8.∵BC=20,∴S△OBC=BC·ON=×20×4.8=48.
7.A 如图,连接BD,∵AB是⊙O的直径,CD为⊙O的弦,AB⊥CD于点E,∴CE=DE=CD=3.设⊙O的半径为r,在Rt△OED中,OD2=OE2+DE2,即r2=(9-r)2+(3)2,解得r=6,∴OE=BE=3,则CD垂直平分OB,∴OD=BD=OB,∴△OBD是等边三角形,∴∠EOD=60°,∴S扇形BOD=π×36=6π,又SRt△OED=×3×3=9,∴根据对称性可知S阴影=6π-.
8.D 如图,作DH⊥BC于点H,∵四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,∴AB⊥BC,AB⊥AD,∴四边形ABHD为矩形,BH=AD,DH=AB.∵AB为直径,∴AD和BC为⊙O的切线.∵CD和MN为⊙O的切线,∴DE=DA,CE=CB,NE=NF,MB=MF,∴△CMN的周长=CN+MN+CM=CE+CB=2CB,即y=2CB,∴CB=CE=。∵⊙O的半径为3,AB=6.A ∵AD=x,∴CH=-x,CD=+x.在Rt△CDH中,∵CD2-CH2=DH2,∴-=36,整理得y=
9.D 如图,过点B作BC⊥x轴于点C,作BD⊥y轴于点D.解方程组,得,∴A(3,4),B(6,8),∴BC=8,BD=6.由勾股定理可得OB==10,同理可得OA=5,∴AB=5.∵⊙B的半径为8,∴点O在⊙B外,点A在⊙B内,x轴与⊙B相切,y轴与⊙B相交,故正确的有4个.故选D.
10.A ∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°,∴∠DOE=2∠A=90.∵EF与FD为⊙O的切线,∴OD⊥DF,OE⊥EF,∴四边形ODFE是矩形.∵OD=OE=4,∴四边形ODFE是正方形,∴EF=4.∵点F恰好是腰BC上的点,∴∠ECF=90°,∴点C在以EF为直径的半圆上运动,设EF的中点为G,连接CG、OG,则EG=FG=CG=EF=2,易知当OC经过半圆圆心G时,OC的值最大,∵在Rt△OEG中,OG===2,∴OC最大=OG+CG=2+2.
11.【答案】圆内不是直径的两条弦,能互相平分
【解析】利用反证法证明时,先假设命题的结论不成立,即本题假设“圆内不是直径的两条弦,能互相平分”.
12.【答案】140°
【解析】∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD=80°,∴∠BAD=∠BOD=40.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-40°=140°.
13.【答案】
【解析】∵CD⊥AB于点E,CD=10,∴CE=CD=5,∠OEC=90°.设OB=OC=x,则OE=x-2,在Rt△OCE中,∵CE2+OE2=OC2,∴52+(x-2)2=x2,解得x=,即OC=
14.【答案】π
【解析】如图,过B点作BO⊥AC于O点,∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC==5.∵BO·AC=AB·BC,∴OB==∴所得几何体的全面积=×2π××4+×2π××3=π.
15.【答案】3
【解析】如图,连接OE,由题意可知:AB⊥CD,AE=AO=EO,∴∠AOC=90°,∠AOE=60°,∴∠EOC=30°,∵360°÷30°=12,∴EC是该圆内接正十二边形的一边.作EG⊥OC于点G,则EG=OE=,∴正十二边形的面积为12S△COE=12×OC·EG=12××1×=3.
16.【答案】2+
【解析】以AB为一边作等边△OAB,以点O为圆心,OA的长为半径作⊙O,∵动点C满足∠ACB=30°=∠AOB,∴点C为⊙O上的动点.连接CM,如图,当CM经过圆心O时,CM最大,且CM⊥AB,此时△ABC的面积最大.连接AN,∵M、N分别是线段AB、BC的中点,∴S△BMN=S△ABN=S△ABC,∴当△ABC的面积最大时,△BMN的面积最大.∵AB=4,∴OA=OC=4,AM=2,∴OM=2,∴CM=4+2.S△BMN=S△ABC=××4×(4+2)=2+,∴△BMN的面积的最大值为2+.
17.【解析】
(1)(2,0).
(2)直线CD与⊙M相切.理由:如图,连接MC,MD,∵MC2=42+22=20,CD2=42+22=20,MD2=62+22=40,∴MD2=MC2+CD2,∴∠MCD=90°.又∵MC为半径,∴直线CD是⊙M的切线.
18.【解析】
(1)证明:∵CE⊥AB,AB是直径,∴=.又∵=,∴=,∴∠CAD=∠ACE,∴AP=CP.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCP=90°,∠CAD+∠CQA=90°,∴∠BCP=∠CQA,∴CP=PQ,∴AP=PO,即P是线段AQ的中点.
(2)∵==,AB是直径,∴∠ACB=90°,∠ABC=30°又∵AB=5×2=10,∴AC=5,BC=5,∴CH=BC=.又∵CE⊥AB,∴CH=EH,∴CE=2CH=2×=5.
19.【解析】
(1)证明:如图,连接OD,∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠A=60∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴∠CDO=∠A=60°,∴OD∥AB.∵DF⊥AB,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线.
(2)如图,连接BD,∵BC是⊙O的直径,∴BD⊥CD,∵△ABC是等边三角形,∴CD=AD.∵∠AFD=90°,∠A=60°,∴∠ADF=30°∵AF=1,∴CD=OD=AD=2AF=2.由勾股定理得DF2=3,在Rt△ODF中,OF===,∴线段OF的长为.
20.【解析】
(1)如图,连接OC,则∠COP=2∠D=52°∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=×(180°-52°)=64°∵CP为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∴∠PCB=90°-64°=26°.
(2)如图,连接AC,OC,
∵四边形CDBP为平行四边形.∴∠CDB=∠CPB.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,∵PC与⊙O相切,∴∠PCO=90°,即∠BCP+∠OCB=90°,∴∠ACO=∠BCP,∵∠OAC=∠ACO,∠OAC=∠BDC,∴∠OAC=∠OCA=∠BCP=∠BDC=∠CPB,在△ACP中,∠CAB+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°,∴∠CAB+∠BCP+∠CPB=90°,∴∠PCB=∠CAB=∠CPB=30°,∴∠OBC=60.∵四边形ABCD为⊙O内接四边形,.∴∠ADC=180°-∠ABC=120°.
21.【解析】
(1)证明:∵△ABC是正三角形,∴∠A=∠ABC=60°,AB=BC,在△ABN和△BCM中,,∴△ABN≌△BCM(SAS),∴∠ABN=∠BCM.又∵∠ABN+∠OBC=60°,∴∠BCM+∠OBC=60°,∴∠NOC=60.(2)∠DON=90°.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAM=∠ABN=90°,AD=AB,又∵AM=BN,∴△ABN≌△DAM(SAS),∴∠ADM=∠BAN,又∵∠ADM+∠AMD=90°,∴∠BAN+∠AMD=90°,∴∠AOM=90°,则∠DON=90°.
(3)AN=EM;∠EON=108°.详解:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=∠B=108°,AB=AE,又∵AM=BN,∴△ABN≌△EAM(SAS),∴AN=ME,∠AEM=∠BAN,∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°.
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