4.3.3 余角和补角同步练习（含答案）
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4.3 角
4.3.3 余角和补角
【知识梳理】
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为____；
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为____．
2．同角(等角)的余角____，同角(等角)的补角____．
3．方位角就是用角度和方向表示方位的角，一般以________为基准，即以正南或正北方向为角的始边向正东或正西方向转动所形成的角．
【基础强化】
知识点1 余角和补角的概念
1.下列说法正确的是( )
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )
A B C D
3.若∠1与∠2互余，且∠1∶∠2＝3∶2，则∠1＝54°，∠2＝____.
4.【宁都县期末】若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍．那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是____．
5.已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大10°，则这个角的度数为____.
6.如图,将一副三角板按如图所示位置摆放,其中∠α与∠β相等的是 ,∠α与∠β互补的是 .(填序号)
7.已知一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的度数.
知识点2 余角、补角的性质
8.已知∠1＋∠2＝180°,∠3＋∠4＝180°,如果∠1＝∠3,那么∠2＝∠4,依据是( )
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
9.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互余,则∠A与∠C( )
A.互余 B.相等 C.互补 D.差为90°
10.如图，已知∠α＋∠β＝180°，∠α＋∠γ＝180°，则∠β与∠γ的关系是 ，依据是 .
知识点3 方位角
11.如图,下列说法错误的是( )
A.①的方向角是南偏西20° B.②的方向角是北偏西30°
C.③的方向角是东北方向 D.④的方向角是南偏西45°
12.如图，下面说法中不正确的是( )
A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
13.如图,A处有一艘轮船,B处有一盏灯塔,则在轮船A处看灯塔B的方向是 .
【知能提升】
一、选择题
1.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的关系是( )
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，OC平分∠BOD，则∠AOB的度数是( )
A.20° B．22.5° C．25° D．30°
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，下列结论中，正确的是( )
A．∠AON与∠BOD互余 B．ON平分∠AOD
C．∠AOD与∠BOM互补 D．OD平分∠MON
4.【2021厦门期末】下列推理错误的是( )
A.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3
B.因为∠1=∠2,∠1+∠2=∠3,所以∠3=2∠1
C.因为∠1+∠2=2∠3,所以∠1=∠3,∠2=∠3
D.因为∠1与∠2互补,∠1=∠3,所以∠2与∠3互补
5.已知∠α和∠β互补,且∠α＞∠β,有下列表示∠β余角的式子:①90°－∠β;②∠α－90°;③(∠α＋∠β);④(∠α－∠β).以上式子正确的有( )
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②④
6.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B两码头同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
二、填空题
7.如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°.若∠AOC＝∠AOB,则OC的方向是 .
第7题图 第8题图 第10题图
8.在同一平面内,已知∠AOB＝30°,∠BOC与∠AOB互余,且OE平分∠AOC,则∠AOE＝ .
9.如图,O为直线AB上一点,OC平分∠AOE,∠DOE＝90°,则以下结论正确的有 .(只填序号)
①∠AOD与∠BOE互为余角;
②OD平分∠COA;
③若∠BOE＝56°40',则∠COE＝61°40';
④∠BOE＝2∠COD.
10.已知∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,OD是∠BOC的平分线,则∠AOD的度数为 .
三、解答题
11.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1)分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角;
(2)求∠DOE的度数.
12.一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬行了3 cm到点B,再从点B出发向北偏东60°方向爬行了3 cm到点C.
(1)试画图确定点A,B,C的位置;
(2)从图上量出点C到点A的距离.(精确到0.1 cm)
13.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
14.如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE.
(1)求∠3的度数；
(2)若以点O为观察中心，OA为正东方向，射线OD在什么方向？
(3)若以OA为钟面上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此时的时刻吗？
15.如图,以O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC＝60°,求∠AOB和∠DOC的度数.
(2)若∠BOD＝100°,∠AOC＝110°,且∠AOD＝∠BOC＋70°,求∠COD的度数.
(3)若∠AOC＝∠BOD＝α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余 并说明理由.
16.如图1所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系 说明理由.
(2)若将等腰三角尺绕点O旋转到如图2的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在(1)中的关系还成立吗 说明理由.
17.【2021唐山期中】如图1,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= °;
②若∠ACB=150°,则∠DCE= °.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图2,若将两个同样的三角板的60°角的顶点A重合在一起,请你猜想∠DAB与∠EAC有何关系,并说明理由.
(4)如图3,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系.
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参考答案
【知识梳理】
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为__余角__；
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为__补角 __．
2．同角(等角)的余角__相等__，同角(等角)的补角__相等__．
3．方位角就是用角度和方向表示方位的角，一般以正南或正北为基准，即以正南或正北方向为角的始边向正东或正西方向转动所形成的角．
【基础强化】
知识点1 余角和补角的概念
1.下列说法正确的是( A )
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )
A B C D
3.若∠1与∠2互余，且∠1∶∠2＝3∶2，则∠1＝54°，∠2＝36°.
4.【宁都县期末】若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍．那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是平角．
5.已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大10°，则这个角的度数为10°.
6.如图,将一副三角板按如图所示位置摆放,其中∠α与∠β相等的是 ②③ ,∠α与∠β互补的是 ④ .(填序号)
7.已知一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,
则90－x＝(180－x)－20,解得x＝75,
所以这个角的度数为75°.
知识点2 余角、补角的性质
8.已知∠1＋∠2＝180°,∠3＋∠4＝180°,如果∠1＝∠3,那么∠2＝∠4,依据是( D )
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
9.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互余,则∠A与∠C( B )
A.互余 B.相等 C.互补 D.差为90°
10.如图，已知∠α＋∠β＝180°，∠α＋∠γ＝180°，则∠β与∠γ的关系是 ，依据是 .
【答案】相等 同角的补角相等
知识点3 方位角
11.如图,下列说法错误的是( B )
A.①的方向角是南偏西20° B.②的方向角是北偏西30°
C.③的方向角是东北方向 D.④的方向角是南偏西45°
12.如图，下面说法中不正确的是( C )
A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
13.如图,A处有一艘轮船,B处有一盏灯塔,则在轮船A处看灯塔B的方向是 南偏东60° .
【知能提升】
一、选择题
1.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的关系是( C )
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，OC平分∠BOD，则∠AOB的度数是( B )
A.20° B．22.5° C．25° D．30°
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，下列结论中，正确的是( B )
A．∠AON与∠BOD互余 B．ON平分∠AOD
C．∠AOD与∠BOM互补 D．OD平分∠MON
4.【2021厦门期末】下列推理错误的是( C )
A.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3
B.因为∠1=∠2,∠1+∠2=∠3,所以∠3=2∠1
C.因为∠1+∠2=2∠3,所以∠1=∠3,∠2=∠3
D.因为∠1与∠2互补,∠1=∠3,所以∠2与∠3互补
5.已知∠α和∠β互补,且∠α＞∠β,有下列表示∠β余角的式子:①90°－∠β;②∠α－90°;③(∠α＋∠β);④(∠α－∠β).以上式子正确的有( D )
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②④
6.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B两码头同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( D )
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
二、填空题
7.如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°.若∠AOC＝∠AOB,则OC的方向是 北偏东70° .
第7题图 第8题图 第10题图
8.在同一平面内,已知∠AOB＝30°,∠BOC与∠AOB互余,且OE平分∠AOC,则∠AOE＝ 15°或45° .
9.如图,O为直线AB上一点,OC平分∠AOE,∠DOE＝90°,则以下结论正确的有 ①③④ .(只填序号)
①∠AOD与∠BOE互为余角;
②OD平分∠COA;
③若∠BOE＝56°40',则∠COE＝61°40';
④∠BOE＝2∠COD.
10.已知∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,OD是∠BOC的平分线,则∠AOD的度数为 .
【答案】110°或30°
【解析】①当OA在∠BOC外部时,如图1,因为∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,所以∠BOC=140°,因为
OD是∠BOC的平分线,所以∠DOB=70°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°.②当OA在∠BOC内部时,如图2,因为∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,所以∠BOC=140°,又OD是∠BOC的平分线,所以∠DOB=70°,所以∠AOD=
∠BOD-∠AOB=30°.综上,∠AOD的度数为110°或30°.
三、解答题
11.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1)分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角;
(2)求∠DOE的度数.
解:(1)∠AOD的补角是∠BOD;∠AOC的补角是∠BOC.
(2)因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
所以∠COD＝∠BOC,
所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°.
12.一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬行了3 cm到点B,再从点B出发向北偏东60°方向爬行了3 cm到点C.
(1)试画图确定点A,B,C的位置;
(2)从图上量出点C到点A的距离.(精确到0.1 cm)
解:(1)如图,由方位角的概念可知∠BAE＝30°,∠NBC＝60°.
(2)用直尺测量得CA≈4.2 cm.
13.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
解：∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°.
其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
解：∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠AOE＝∠AOC＝×50°＝25°.
∠DOE与∠AOB互补．
理由：因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°.
所以∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°.
故∠DOE与∠AOB互补．
14.如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE.
(1)求∠3的度数；
(2)若以点O为观察中心，OA为正东方向，射线OD在什么方向？
(3)若以OA为钟面上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此时的时刻吗？
解：(1)因为∠1＝20°，OB平分∠AOC，所以∠2＝20°，∠COE＝86°－∠1－∠2＝46°，又因为OD平分∠COE，所以∠3＝∠COE＝23° (2)因为∠AOD＝63°，90°－63°＝27°，所以射线OD在北偏东27°方向
(3)设此时时刻为3时x分，则有90＋0.5x－6x＝63，解得x＝4，所以此时时刻为3时4分
15.如图,以O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC＝60°,求∠AOB和∠DOC的度数.
(2)若∠BOD＝100°,∠AOC＝110°,且∠AOD＝∠BOC＋70°,求∠COD的度数.
(3)若∠AOC＝∠BOD＝α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余 并说明理由.
解:(1)因为∠AOC＝90°,∠BOD＝90°,∠BOC＝60°,
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝30°,∠DOC＝∠BOD－∠BOC＝30°.
(2)设∠COD＝x°,则∠BOC＝100°－x°.
因为∠AOC＝110°,所以∠AOB＝x°＋10°.
因为∠AOD＝∠BOC＋70°,所以100°＋10°＋x°＝100°－x°＋70°,解得x＝30,即∠COD＝30°.
(3)当α＝45°时,∠AOD与∠BOC互余.
理由:因为∠AOD与∠BOC互余,所以∠AOD＋∠BOC＝90°,
所以∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠BOC＝90°,
即∠AOC＋∠BOD＝90°.
因为∠AOC＝∠BOD＝α,所以α＝45°,
所以当α＝45°时,∠AOD与∠BOC互余.
16.如图1所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系 说明理由.
(2)若将等腰三角尺绕点O旋转到如图2的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在(1)中的关系还成立吗 说明理由.
解:(1)①∠AOD＝∠BOC,理由略.
②∠AOC与∠BOD互补,理由略.
(2)①∠AOD＝∠BOC,理由略.
②∠AOC与∠BOD互补,理由略.
17.【2021唐山期中】如图1,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= °;
②若∠ACB=150°,则∠DCE= °.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图2,若将两个同样的三角板的60°角的顶点A重合在一起,请你猜想∠DAB与∠EAC有何关系,并说明理由.
(4)如图3,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系.
解:(1)①145;②30
①因为∠ACD=90°,∠DCE=35°,
所以∠ACE=90°-35°=55°,
又∠BCE=90°,
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°.
②因为∠BCE=90°,所以∠ACE=150°-90°=60°,
又∠ACD=90°,所以∠DCE=90°-60°=30°.
(2)∠ACB与∠DCE互补.理由如下:
因为∠ACE+∠DCE=90°,∠DCE+∠DCB=90°,
所以∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCB=180°,
因为∠ACE+∠DCE+∠DCB=∠ACB,
所以∠ACB+∠DCE=180°,
即∠ACB与∠DCE互补.
(3)∠DAB+∠EAC=120°.理由如下:
因为∠DAE+∠EAC=60°,∠EAC+∠CAB=60°,
所以∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°,
因为∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB,
所以∠DAB+∠EAC=120°.
(4)∠AOD+∠BOC=α+β.
因为∠AOD=∠DOC+∠COA=β+∠COA,
所以∠AOD+∠BOC=β+∠COA+∠BOC=β+∠AOB=α+β.
4.3.3 余角和补角
【知识梳理】
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为____；
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为____．
2．同角(等角)的余角____，同角(等角)的补角____．
3．方位角就是用角度和方向表示方位的角，一般以________为基准，即以正南或正北方向为角的始边向正东或正西方向转动所形成的角．
【基础强化】
知识点1 余角和补角的概念
1.下列说法正确的是( )
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )
A B C D
3.若∠1与∠2互余，且∠1∶∠2＝3∶2，则∠1＝54°，∠2＝____.
4.【宁都县期末】若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍．那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是____．
5.已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大10°，则这个角的度数为____.
6.如图,将一副三角板按如图所示位置摆放,其中∠α与∠β相等的是 ,∠α与∠β互补的是 .(填序号)
7.已知一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的度数.
知识点2 余角、补角的性质
8.已知∠1＋∠2＝180°,∠3＋∠4＝180°,如果∠1＝∠3,那么∠2＝∠4,依据是( )
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
9.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互余,则∠A与∠C( )
A.互余 B.相等 C.互补 D.差为90°
10.如图，已知∠α＋∠β＝180°，∠α＋∠γ＝180°，则∠β与∠γ的关系是 ，依据是 .
知识点3 方位角
11.如图,下列说法错误的是( )
A.①的方向角是南偏西20° B.②的方向角是北偏西30°
C.③的方向角是东北方向 D.④的方向角是南偏西45°
12.如图，下面说法中不正确的是( )
A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
13.如图,A处有一艘轮船,B处有一盏灯塔,则在轮船A处看灯塔B的方向是 .
【知能提升】
一、选择题
1.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的关系是( )
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，OC平分∠BOD，则∠AOB的度数是( )
A.20° B．22.5° C．25° D．30°
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，下列结论中，正确的是( )
A．∠AON与∠BOD互余 B．ON平分∠AOD
C．∠AOD与∠BOM互补 D．OD平分∠MON
4.【2021厦门期末】下列推理错误的是( )
A.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3
B.因为∠1=∠2,∠1+∠2=∠3,所以∠3=2∠1
C.因为∠1+∠2=2∠3,所以∠1=∠3,∠2=∠3
D.因为∠1与∠2互补,∠1=∠3,所以∠2与∠3互补
5.已知∠α和∠β互补,且∠α＞∠β,有下列表示∠β余角的式子:①90°－∠β;②∠α－90°;③(∠α＋∠β);④(∠α－∠β).以上式子正确的有( )
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②④
6.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B两码头同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
二、填空题
7.如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°.若∠AOC＝∠AOB,则OC的方向是 .
第7题图 第8题图 第10题图
8.在同一平面内,已知∠AOB＝30°,∠BOC与∠AOB互余,且OE平分∠AOC,则∠AOE＝ .
9.如图,O为直线AB上一点,OC平分∠AOE,∠DOE＝90°,则以下结论正确的有 .(只填序号)
①∠AOD与∠BOE互为余角;
②OD平分∠COA;
③若∠BOE＝56°40',则∠COE＝61°40';
④∠BOE＝2∠COD.
10.已知∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,OD是∠BOC的平分线,则∠AOD的度数为 .
三、解答题
11.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1)分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角;
(2)求∠DOE的度数.
12.一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬行了3 cm到点B,再从点B出发向北偏东60°方向爬行了3 cm到点C.
(1)试画图确定点A,B,C的位置;
(2)从图上量出点C到点A的距离.(精确到0.1 cm)
13.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
14.如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE.
(1)求∠3的度数；
(2)若以点O为观察中心，OA为正东方向，射线OD在什么方向？
(3)若以OA为钟面上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此时的时刻吗？
15.如图,以O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC＝60°,求∠AOB和∠DOC的度数.
(2)若∠BOD＝100°,∠AOC＝110°,且∠AOD＝∠BOC＋70°,求∠COD的度数.
(3)若∠AOC＝∠BOD＝α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余 并说明理由.
16.如图1所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系 说明理由.
(2)若将等腰三角尺绕点O旋转到如图2的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在(1)中的关系还成立吗 说明理由.
17.【2021唐山期中】如图1,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= °;
②若∠ACB=150°,则∠DCE= °.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图2,若将两个同样的三角板的60°角的顶点A重合在一起,请你猜想∠DAB与∠EAC有何关系,并说明理由.
(4)如图3,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系.
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参考答案
【知识梳理】
1．如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为__余角__；
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为__补角 __．
2．同角(等角)的余角__相等__，同角(等角)的补角__相等__．
3．方位角就是用角度和方向表示方位的角，一般以正南或正北为基准，即以正南或正北方向为角的始边向正东或正西方向转动所形成的角．
【基础强化】
知识点1 余角和补角的概念
1.下列说法正确的是( A )
A.锐角的补角一定是钝角
B.一个角的补角一定大于这个角
C.锐角和钝角一定互补
D.两个锐角一定互为余角
2.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )
A B C D
3.若∠1与∠2互余，且∠1∶∠2＝3∶2，则∠1＝54°，∠2＝36°.
4.【宁都县期末】若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍．那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是平角．
5.已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大10°，则这个角的度数为10°.
6.如图,将一副三角板按如图所示位置摆放,其中∠α与∠β相等的是 ②③ ,∠α与∠β互补的是 ④ .(填序号)
7.已知一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的度数.
解:设这个角为x°,
则90－x＝(180－x)－20,解得x＝75,
所以这个角的度数为75°.
知识点2 余角、补角的性质
8.已知∠1＋∠2＝180°,∠3＋∠4＝180°,如果∠1＝∠3,那么∠2＝∠4,依据是( D )
A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
9.已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互余,则∠A与∠C( B )
A.互余 B.相等 C.互补 D.差为90°
10.如图，已知∠α＋∠β＝180°，∠α＋∠γ＝180°，则∠β与∠γ的关系是 ，依据是 .
【答案】相等 同角的补角相等
知识点3 方位角
11.如图,下列说法错误的是( B )
A.①的方向角是南偏西20° B.②的方向角是北偏西30°
C.③的方向角是东北方向 D.④的方向角是南偏西45°
12.如图，下面说法中不正确的是( C )
A．射线OA表示北偏东30° B．射线OB表示西北方向
C．射线OC表示西偏南80° D．射线OD表示南偏东70°
13.如图,A处有一艘轮船,B处有一盏灯塔,则在轮船A处看灯塔B的方向是 南偏东60° .
【知能提升】
一、选择题
1.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的关系是( C )
A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，OC平分∠BOD，则∠AOB的度数是( B )
A.20° B．22.5° C．25° D．30°
3.如图，直线AB，CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，下列结论中，正确的是( B )
A．∠AON与∠BOD互余 B．ON平分∠AOD
C．∠AOD与∠BOM互补 D．OD平分∠MON
4.【2021厦门期末】下列推理错误的是( C )
A.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3
B.因为∠1=∠2,∠1+∠2=∠3,所以∠3=2∠1
C.因为∠1+∠2=2∠3,所以∠1=∠3,∠2=∠3
D.因为∠1与∠2互补,∠1=∠3,所以∠2与∠3互补
5.已知∠α和∠β互补,且∠α＞∠β,有下列表示∠β余角的式子:①90°－∠β;②∠α－90°;③(∠α＋∠β);④(∠α－∠β).以上式子正确的有( D )
A.①②③ B.①③ C.①④ D.①②④
6.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B两码头同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( D )
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
二、填空题
7.如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°.若∠AOC＝∠AOB,则OC的方向是 北偏东70° .
第7题图 第8题图 第10题图
8.在同一平面内,已知∠AOB＝30°,∠BOC与∠AOB互余,且OE平分∠AOC,则∠AOE＝ 15°或45° .
9.如图,O为直线AB上一点,OC平分∠AOE,∠DOE＝90°,则以下结论正确的有 ①③④ .(只填序号)
①∠AOD与∠BOE互为余角;
②OD平分∠COA;
③若∠BOE＝56°40',则∠COE＝61°40';
④∠BOE＝2∠COD.
10.已知∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,OD是∠BOC的平分线,则∠AOD的度数为 .
【答案】110°或30°
【解析】①当OA在∠BOC外部时,如图1,因为∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,所以∠BOC=140°,因为
OD是∠BOC的平分线,所以∠DOB=70°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°.②当OA在∠BOC内部时,如图2,因为∠AOB=40°,∠BOC与∠AOB互为补角,所以∠BOC=140°,又OD是∠BOC的平分线,所以∠DOB=70°,所以∠AOD=
∠BOD-∠AOB=30°.综上,∠AOD的度数为110°或30°.
三、解答题
11.如图,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1)分别写出图中∠AOD和∠AOC的补角;
(2)求∠DOE的度数.
解:(1)∠AOD的补角是∠BOD;∠AOC的补角是∠BOC.
(2)因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
所以∠COD＝∠BOC,
所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝90°.
12.一只小虫从点A出发向北偏西30°方向爬行了3 cm到点B,再从点B出发向北偏东60°方向爬行了3 cm到点C.
(1)试画图确定点A,B,C的位置;
(2)从图上量出点C到点A的距离.(精确到0.1 cm)
解:(1)如图,由方位角的概念可知∠BAE＝30°,∠NBC＝60°.
(2)用直尺测量得CA≈4.2 cm.
13.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
解：∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°.
其补角为180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.
(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
解：∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，
∠AOE＝∠AOC＝×50°＝25°.
∠DOE与∠AOB互补．
理由：因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°.
所以∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°.
故∠DOE与∠AOB互补．
14.如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE.
(1)求∠3的度数；
(2)若以点O为观察中心，OA为正东方向，射线OD在什么方向？
(3)若以OA为钟面上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方不远，你知道此时的时刻吗？
解：(1)因为∠1＝20°，OB平分∠AOC，所以∠2＝20°，∠COE＝86°－∠1－∠2＝46°，又因为OD平分∠COE，所以∠3＝∠COE＝23° (2)因为∠AOD＝63°，90°－63°＝27°，所以射线OD在北偏东27°方向
(3)设此时时刻为3时x分，则有90＋0.5x－6x＝63，解得x＝4，所以此时时刻为3时4分
15.如图,以O为端点按顺时针方向依次作射线OA,OB,OC,OD.
(1)若∠AOC,∠BOD都是直角,∠BOC＝60°,求∠AOB和∠DOC的度数.
(2)若∠BOD＝100°,∠AOC＝110°,且∠AOD＝∠BOC＋70°,求∠COD的度数.
(3)若∠AOC＝∠BOD＝α,当α为多少度时,∠AOD和∠BOC互余 并说明理由.
解:(1)因为∠AOC＝90°,∠BOD＝90°,∠BOC＝60°,
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝30°,∠DOC＝∠BOD－∠BOC＝30°.
(2)设∠COD＝x°,则∠BOC＝100°－x°.
因为∠AOC＝110°,所以∠AOB＝x°＋10°.
因为∠AOD＝∠BOC＋70°,所以100°＋10°＋x°＝100°－x°＋70°,解得x＝30,即∠COD＝30°.
(3)当α＝45°时,∠AOD与∠BOC互余.
理由:因为∠AOD与∠BOC互余,所以∠AOD＋∠BOC＝90°,
所以∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠BOC＝90°,
即∠AOC＋∠BOD＝90°.
因为∠AOC＝∠BOD＝α,所以α＝45°,
所以当α＝45°时,∠AOD与∠BOC互余.
16.如图1所示,将一副三角尺的直角顶点重合在点O处.
(1)①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系 说明理由.
(2)若将等腰三角尺绕点O旋转到如图2的位置.
①∠AOD和∠BOC相等吗 说明理由.
②∠AOC和∠BOD在(1)中的关系还成立吗 说明理由.
解:(1)①∠AOD＝∠BOC,理由略.
②∠AOC与∠BOD互补,理由略.
(2)①∠AOD＝∠BOC,理由略.
②∠AOC与∠BOD互补,理由略.
17.【2021唐山期中】如图1,将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= °;
②若∠ACB=150°,则∠DCE= °.
【猜想探究】
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图2,若将两个同样的三角板的60°角的顶点A重合在一起,请你猜想∠DAB与∠EAC有何关系,并说明理由.
(4)如图3,如果把任意两个锐角∠AOB,∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β(α,β都是锐角),请你直接写出∠AOD与∠BOC的关系.
解:(1)①145;②30
①因为∠ACD=90°,∠DCE=35°,
所以∠ACE=90°-35°=55°,
又∠BCE=90°,
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°.
②因为∠BCE=90°,所以∠ACE=150°-90°=60°,
又∠ACD=90°,所以∠DCE=90°-60°=30°.
(2)∠ACB与∠DCE互补.理由如下:
因为∠ACE+∠DCE=90°,∠DCE+∠DCB=90°,
所以∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCB=180°,
因为∠ACE+∠DCE+∠DCB=∠ACB,
所以∠ACB+∠DCE=180°,
即∠ACB与∠DCE互补.
(3)∠DAB+∠EAC=120°.理由如下:
因为∠DAE+∠EAC=60°,∠EAC+∠CAB=60°,
所以∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°,
因为∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB,
所以∠DAB+∠EAC=120°.
(4)∠AOD+∠BOC=α+β.
因为∠AOD=∠DOC+∠COA=β+∠COA,
所以∠AOD+∠BOC=β+∠COA+∠BOC=β+∠AOB=α+β.