9.1正弦定理与余弦定理 必修第四册同步练习（含解析）

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9.1正弦定理与余弦定理人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且若点是外一点，，，则下列说法中错误的是( )
A. 的内角
B. 的内角
C. 四边形面积无最大值
D. 四边形面积的最大值为
在中，角、、的对边分别是、、，且，，，则的外接圆直径为．( )
A. B. C. D.
的内角，，的对边分别为，，已知，，则( )
A. B. C. D.
在中，若，，，则．( )
A. B. C. D.
已知内角，，所对的边分别为，，，面积为若，，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
在中，角、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则一定为等腰三角形
C. 若，则一定为直角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
在中，，，，为边上的一点，且到，距离相等，则下列结论正确的为( )
A. B.
C. 外接圆的面积为 D.
下列结论正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 在锐角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，则是直角三角形
D. 在中，若，，，则的外接圆半径为
在中，角，，的对边分别为，，下列四个结论中正确的是( )
A. 若，，则的外接圆的半径为
B. 若，则
C. 若，则一定是钝角三角形
D. 若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为 ．
在中，内角，，所对的边分别为，，已知三角形的面积是，且，则的面积是 ．
已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．
如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，，求的周长．
本小题分
在中，，，是角，，所对的边，，有三个条件：；；，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在．
两个条件中能有吗？说明理由；
请指出这两个条件，并求的面积．
本小题分
已知函数
求函数的单调递减区间；
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求的取值范围
本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小
若，的面积为，求的周长．
本小题分
内角，，的对边分别为，，，，．
证明：：：：：；
若，求的周长．
本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足．
求角的大小；
若边长，求的周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
利用三角形的面积公式得到，再利用基本不等式定理即可求解最值．
【解答】
解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，正弦型函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
利用正弦定理，两角和与差的正弦公式化简已知等式可得，结合条件可求范围，可得，即可判断，；利用三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦公式可解得四边形面积等于，根据正弦型函数的性质即可判断、，从而得解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
因此，B正确；
四边形面积为
．
．
因此D正确，C错误．
故答案选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由已知及三角形面积公式可求的值，利用余弦定理可求的值，进而利用正弦定理即可计算得解．
【解答】
解：，，，．
，可得：．
外接圆的直径．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
【解答】
解：的内角，，的对边分别为，，，
设该三角形外接圆的半径为，
根据正弦定理有：
又，
即，
又，
解得，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理与平面向量数量积的性质及应用，属于中档题．
首先由正弦定理求得，根据三角形边角的大小关系确定，进而可得，
由三角形中可得，最后代入数量积公式进行计算．
【解答】
解：在中，若，，，
由正弦定理可得，，即，故，
因为，所以，所以，
所以，
所以．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二倍角正弦公式、三角形面积公式、利用正弦定理判断三角形的形状、诱导公式型、向量数量积的概念及其运算、利用同角三角函数基本关系化简，属于中档题．
由诱导公式、正弦定理、二倍角正弦公式，结合求出的值，利用三角形面积公式、向量数量积的运算、同角三角函数基本关系，结合求出的值，根据三角形内角和定理求出的值，由此即可判断的形状．
【解答】
解：因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
又，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的形状是正三角形．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
由已知，利用余弦定理可得，可得，由，利用正弦定理可得，代入，可得由此可以确定三角形形状．
【解答】
解：因为，所以，
利用余弦定理可得，
因为，
故，
因为，利用正弦定理可得，
代入可得，故，
所以为等边三角形．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
根据题意求出，得到，利用正弦定理求解即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，，
，
，，
，
．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于中档题．
由题意和三角形的基本知识，逐个选项验证即可．
【解答】
解：若，则由正弦定理可得，A正确；
B.由正弦定理可化成，则或，可得为等腰三角形或直角三角形，B错误；
C.若，则由正弦定理得，即，
即，即，
因为，所以，所以，因为，所以，C正确；
D.若，所以，为锐角，但不能保证、也为锐角，故不一定是锐角三角形，D错误．
故选AC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
根据余弦定理求出，再由正弦定理求可判断；过点作的垂线，利用直角三角形可求出可判断；由正弦定理求三角形外接圆的半径可判断；根据面积公式可判断．
【解答】
解：在中，，，，
由余弦定理可得，
，
由正弦定理可得，
，
由角为锐角知，故A错误；
过点作的垂线，如图，
由得，，
，，
，故B正确；
由正弦定理可知，外接圆的直径，，
外接圆的面积为，故C正确；
由三角形面积公式可得，故D错误．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式判断、、、的结论．
【解答】
解：对于：在中，若，故，利用正弦定理：，故A正确；
对于：在锐角中，，所以，
故，所以恒成立，故B正确；
对于：在中，若，整理得：，
又，所以，即，
由于，，故，，所以，则是直角三角形，故C正确；
对于：在中，若，，三角形面积，
所以 ，解得，
所以，所以，则，故D错误；
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，意在考查推理证明，属于中档题型．
由正弦定理可以判断选项A和，由余弦定理求得可判断，由余弦函数的单调性可以判断．
【解答】
解：对于因为，，所以的外接圆的半径为，故A错误：
对于由正弦定理可得，因为，所以，则，故B正确
对于，因为，所以，所以，则一定是钝角三角形，故C正确
对于因为，所以，故D错误．
故选BC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形的面积公式与基本不等式的应用．
根据面积关系建立条件等式，结合基本不等式利用的代换的方法进行求解即可．
【解答】
解：由题意得，
即，
得，
得，
当且仅当，即，亦即，时，取等号，
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理和三角形面积公式可求，进而可求，再由余弦定理得，然后代入三角形的面积公式可求．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，所以．
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
由，得到，利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理即可求出的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
【解答】
解：中，，，，
由正弦定理得：，
是的内角，，整理得：，
由余弦定理，得，
解得：或，
当时，，，
此时，，不满足，舍去；
当时，，，此时，，，满足题意，则．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
取的中点，连接，结合直角三角形的性质和重心的性质，可得，由，将其两边平方，并利用余弦定理，即可得解．
【解答】
解：取的中点，连接，
因为为的重心，所以点在上，
又，所以，，
由，得，
所以，即，
由余弦定理知，，
由可得，，
因为，即，
所以，
因为，所以．
故答案为．

17.【答案】解：由三角形的面积公式可得，
，
由正弦定理可得，
，
；
，
，
，
，，
，，
，其中为的外接圆半径，
，
，
，
，
，
，
的周长．
【解析】本题考查了三角形的面积公式，两角和的余弦公式，诱导公式，正余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．
根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；
根据两角和的余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
因为，
可得，
所以．
假设两个条件中有，则会推出矛盾，过程如下：
因为，
所以，由于此时，所以不能有；
只能选择，
因为，所以由余弦定理可得，即，
由于，所以，
此时，解得，或，所以存在，
所以．
【解析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可得，由于，可得，由三角形的内角和定理可推出矛盾，可得条件不能有；
只能选择，由已知利用余弦定理可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
19.【答案】解：，
令，，
则，
所以，单调减区间是，，
，
由得：，
即，于是；
在中，得：
于是，则
所以．
所以的取值范围为．
【解析】本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数的二倍角公式和辅助角公式，属中档题．
先由三角恒等变换得出，令，，化简可得的单调递减区间；
由可得，再利用的取值范围，可得出的取值范围
20.【答案】解：由题意和正弦定理得，
因为，所以，
得，
因为，
得，
因为，
即．
，
，
由余弦定理得，
，
，，
的周长为
【解析】本题考查了正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．
由题意及正弦定理化简即可得；
，可得，由余弦定理得，可得，即可得的周长．
21.【答案】解：证明：，
，为锐角，，
，
由正弦定理可得，得证．
由知，
，
，
设，，，则，解得，
的周长为．
【解析】利用同角三角函数基本关系式可求，，利用两角和的正弦公式可求的值，进而根据正弦定理即可证明．
由利用两角和的余弦公式可求的值，将已知等式平方，设，，，利用平面向量数量积的运算即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理，两角和的余弦公式，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：的面积满足，
由面积公式和余弦定理得，
则，即，
又，所以．
因为，，
所以由正弦定理得，
则的周长，
由得，
则，所以，
故的周长的取值范围是．

【解析】本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理、余弦定理等知识的综合应用，三角函数最值在求解最大值中的应用，属于中档题．
由题意可得，可求，进而可求；
由，由正弦定理得到，，进一步分析求解即可得解．
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