9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 必修第四册同步练习（含解析）

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9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，，两处相距，，，，，，则点到的距离为( )
A.
B.
C.
D.
如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口，，若部分为直线段，且要求市中心与的距离为千米，则的最短距离为( )
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
江岸边有一炮台高，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距( )
A. B. C. D.
甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方向航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶分钟时，两船的距离是( )
A. B.
C. D.
某船在处测得灯塔在其南偏东方向上，该船继续向正南方向行驶海里到处，测得灯塔在其北偏东方向上，然后该船向东偏南方向行驶海里到处，此时船到灯塔的距离为多少海里( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
一台风中心在港口南偏东方向上，距离港口千米处的海面上形成，并以每小时千米的速度向正北方向移动，距台风中心千米以内的范围将受到台风的影响，则港口受到台风影响的时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为( )
A. B. C. D.
台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球中国粤港澳地区的叫法、撞球中国台湾地区的叫法控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术．一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，，，则该正方形的边长为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
一艘轮船航行到处时看灯塔在的北偏东，距离海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该轮船由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向．下面结论正确的有( )
A. B.
C. 或 D.
如图，要测量河对岸，两点间的距离，在河边一侧选定两点，，测出，间的距离为，，，，，则( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图所示，为了测量河对岸，两点间的距离，在这一岸定一基线，现已测出和，，，，则的长为 ．
一船自西向东航行，上午时到达灯塔的南偏西，距塔海里的处，上午时到达这座灯塔的东偏南方向的处，则该船航行的速度为 海里小时．
如图，从高的电视塔塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，，则两点间的距离为 俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角
已知轮船和轮船同时从岛出发，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行如图若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距 ．
四、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽，已知点在边上，，，矩形的周长为．
设，试用表示出图中的长度，并求出的取值范围；
计划在区域涂上蓝色代表星空，如果要使的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．
本小题分
一艘轮船从地向北偏西的方向航行到达地，然后向地航行，行驶速度为千米小时，设地恰好在地的南偏西方向上，并且，两地相距，试问该轮船从地到地是沿何方向行驶并航行了多少小时？
本小题分
某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：、、三地位于同一水平面上，在处进行该仪器的垂直弹射，观测点、两地相距米，，在地听到弹射声音的时间比在地晚秒地测得该仪器弹至最高点时的仰角为．
求、两地的距离；
求该仪器的垂直弹射高度声音的传播速度为米秒
本小题分
某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路，走向是南偏东，在处测得公路上处有一人，距为，正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时、间的距离为问：这个人还要走多少路才能到达城？
本小题分
隔河可以看见对岸两目标、，但不能到达，在岸边选择相距的、两点，并测得，，，、、、在同一平面内，求两目标、之间的距离．
本小题分
某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，，，，，，为学校的主要道路不考虑宽度．，．
求道路的长度；
求生活区面积的最大值．
本小题分
某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线所有路线均不考虑宽度，经测量得：，，，，，且．
求的长度；
景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．
本小题分
如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在，，大道上嬉戏，所在位置分别记为点，，．
若甲、乙都以每分钟的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；
设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了解三角形的实际应用，利用了正弦定理和勾股定理，完成了边角的问题的互化，是中档题．
在中，利用正弦定理求得的长，同理求得，进而在中，利用勾股定理求得．
【解答】解：在中，，，，
根据正弦定理有，．
同理，在中，，，，
根据正弦定理有，，
又在中，，
根据勾股定理有，
故A、的距离为
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属中档题．
作垂直，垂足为，则，由题意，在中，利用正弦定理表示出，在中，表示出，最后利用正弦定理求得根据的范围确定的最小值．
【解答】
解：如图，作垂直，垂足为，则，
由题意，设，
则，．
在中，由正弦定理得，即．
在中，，
．
因为，所以当时有的最小值．
此时，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题
由题设作图，可得，，在两个直角三角形中求得，，再在中运用余弦定理可得的长，可得结果．
【解答】
解：如图，过炮台顶部作水平面的垂线，垂足为，
设处观测小船的俯角为，
设处观测小船的俯角为，连接、，
中，，可得，
中，，可得，
在中，，，，
由余弦定理可得：，
负值合去，
故两条船相距，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用余弦定理解三角形、行程问题，属于中档题．
分别计算出，，在中，利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：如图所示．
设甲、乙两船行驶分别到、点．
，．
，
．
，
，
在中，由余弦定理可得：
．
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
根据题意，画出图形，根据已知的边角关系，根据余弦定理求解．
【解答】
解：根据题意可画图形如图，
因为在处测得灯塔在其南偏东方向，即，
船继续向正南方向行驶海里到处，即，
在处测得灯塔在其北偏东方向上，即，
所以为一个等边三角形，即，
船向东偏南方向行驶海里到处，
根据图形可得：且，
在中，由余弦定理可得：
，
解得：．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解三角形的实际应用，考查运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题．
将港口视为点，台风中心视为点，可知的长度，过作垂直正东线于点，解得，，在上取点，使得千米，根据勾股定理求得，乘以，再除以速度即可得答案．
【解答】
解：如图，将港口视为点，台风中心视为点，则，
过作垂直正东线于点，则，，
台风中心千米的范围都会受到台风影响，
在线上取点使得千米，
千米，千米，是直角，
根据勾股定理得千米，
影响距离是千米，
又台风速度为每小时千米，
港口受到台风影响的时间小时．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解三角形、直角三角形的边角关系、余弦定理，属于一般题．
如图所示，平面，，，设，在，可得，同理可得：，在中，利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：如图所示，为泉高，平面，．
，，．
设，
在，则．
同理可得：
在中，．
，
化为：，
解得，
因此水柱的高度是．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理在解三角形的实际应用，属于基础题．
由题意，连接与交于点，点为的中点，在中，利用余弦定理求得，从而可得该正方形的边长．
【解答】
解：如图，连接与交于点，
由题意，点为的中点，
，，又，，
在中，由余弦定理得，，
，则，
设正方形的边长为，则，解得．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．属于中档题．
利用方位角求出的大小，利用正弦定理直接求解，直接利用余弦定理求出，然后求解即可选出答案．
【解答】
解：如图，
．
灯塔在的北偏西，距离为海里，，
轮船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东方向上，
所以，
由正弦定理 ，
所以海里；
在中，，，，
由余弦定理可得：
，
所以海里；
．
．
故选ABD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正、余弦定理，直角三角形的边角关系，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
在中，根据已知的边角可求出，；在中，根据正弦定理可求出；在中，根据余弦定理可求出；在中，根据正弦定理可求出的长度，从而可得出正确的选项．
【解答】
解：，
，
在中，，，，
，，
在中，，，，，
根据正弦定理得：，即，解得，
，，
，
在中，，根据余弦定理得：，，
在中，，，，且，
根据正弦定理得：，即，解得．
故选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解三角形的实际应用，属于基础题．
根据正弦定理和余弦定理解三角形可得结果．
【解答】
解：在中，，，，
所以为正三角形，
所以，
在中，，
解得，
在中，由余弦定理得
，
所以．
故答案为．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查方位角及三角形的正弦定理的应用，属于基础题．
由题意如图所示，在三角形中由正弦定理可得的值，进而求出速度．
【解答】
解：如图所示：且，，，
所以，，
由正弦定理可得即，
所以，
所以速度，
故答案为：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由题意，，，中，利用余弦定理，即可得出结论．
【解答】
解：从高的电视塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，
，，
，，
中，，
由余弦定理得：
．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解三角形的实际应用 ，属于基础题．
解本题时，由题意，中，，，，依据正弦定理的概念可得．
【解答】
解：依题意，，，
由正弦定理，即，解得．
故答案为：．

15.【答案】解：由题意可得，且，可得，
由，在直角三角形中，
可得，即，
化简可得；
，
当且仅当，时取等号，
即有队徽的长和宽分别为，，可得的面积取得最大值．
【解析】本题考查学生的阅读能力及建模能力，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题．
由题意可得，且，可得，由，在直角三角形中，由勾股定理可求，
利用基本不等式即可三角形面积的最值．
16.【答案】解：如图所示，
由题意知，中，，，，
由余弦定理得，，
所以，
因为，所以，
所以，
即南偏西方向；
又，
所以该轮船从地到地是沿南偏西方向行驶，并航行了小时．
【解析】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．
根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理求得的值，再求出，即可判断该轮船从地到地是沿什么方向行驶，并航行了多长时间．
17.【答案】解：由题意，设，则．
在中，由余弦定理，得，
即，
解得．
答：、两地间的距离为．
在中，，，
所以．
答：该仪器的垂直弹射高度为米．
【解析】本题考查了解三角形的实际应用，涉及余弦定理知识点，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设，则，从而在中，利用余弦定理求出即可；
中，由，，则，从而可求得该仪器的垂直弹射高度．
18.【答案】解：如图：
在中，由余弦定理得，
，
．
在中，由正弦定理得：，
即，解得，
千米．
这人还要走千米才能到达城．
【解析】本题考查了正余弦定理解三角形，属于中档题．
在中，利用余弦定理计算，从而得出，再在中利用正弦定理计算，从而得出的长．
19.【答案】解：在中，因为，，
所以，
又，
由正弦定理得，
在中，，，
可求得，
在中，由余弦定理得，．
【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
利用边角关系得出、，在中利用余弦定理即可得出．
20.【答案】解：如图所示
，
连接，在中，由余弦定理得：
，
．
，
，
又，
．
．
设，
，
，在中，
由正弦定理，得
，
，．

，
，．
当，即时，取得最大值，
即生活区面积的最大值为．
【解析】本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
连接，由余弦定理可得，由已知可求，
，，，利用勾股定理即可得解的值．
设，由正弦定理，可得， ，结合范围，利用正弦函数的性质可求面积的最大值，从而得解．
21.【答案】解：在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得或舍．
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
此时面积最大值，
所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为．

【解析】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，由基本不等式求最值，属于中档题．
在中，根据正弦定理，可得的长，在中，根据余弦定理，即可得答案．
在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案．
22.【答案】解：由题意，，，
中，，，
中，由余弦定理可得；
由题意，，．
中，
中，由正弦定理可得，
，，
，
【解析】由题意，，，中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；
中，由正弦定理可得，可将甲乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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