10.2复数的运算 必修第四册同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 10.2复数的运算 必修第四册同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-21 10:57:43 | ||
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文档简介
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10.2复数的运算人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合其中为虚数单位，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为 ( )
A. B. C. D.
3. 设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则复平面内与对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
6. 若复数，则的虚部为
A. B. C. D.
7. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
10. 已知复数满足，则 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知复数，是方程的两根，则
A. B.
C. D.
12. 下列关于复数的命题中为虚数单位，说法正确的是 ( )
A. 若关于的方程有实根，则
B. 复数满足，则在复平面对应的点位于第二象限
C. 是关于的方程的一个根，其中、为实数，则
D. ，为虚数单位，，若，则www-2-1-cnjy-com
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 表示虚数单位，则 ．
14. 为虚数单位，则复数的虚部为 ．
15. 是虚数单位， ．
16. 若复数为纯虚数，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．21*cnjy*com
18. 本小题分
已知复数，．
求和的值；
若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值．
19. 本小题分
已知复数，是实数．
求复数；
若复数是关于的方程的根，求实数和的值．
20. 本小题分
计算：；
．
21. 本小题分
已知，解关于的方程；
已知是方程在复数集内的一个根，求实数，的值．
22. 本小题是实数，复数是虚数单位在复平面内对应的点在第三象限．
求的取值范围
若取整数，且关于的二次方程有实数根，求的值．
23. 21·cn·jy·com
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的子集，考查复数的运算，属于中档 ( http: / / www.21cnjy.com )题．
运用复数的周期性运算求出集合中的元素，再根据子集的关系求出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】
解：由题意，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
运用复数的运算的周期性，可得：
集合，
因为集合，
所以满足条件的集合的个数为．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，复数的概念及共轭复数的求法，属于基础题．
由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．
【解答】
解：，，
，，
，
的共轭复数的虚部为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和基本 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
先利用复数的运算法则，化简复数，然后利用复数的基本概念以及充分条件和必要条件的定义判断即可．21教育网
【解答】
解：复数是纯虚数，
则，，
是的必要不充分条件，
“复数是纯虚数”是“”的必要而不充分条件，
故选B．www.21-cn-jy.com
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，复数的几何意义， ( http: / / www.21cnjy.com )共轭复数，考查了运算求解能力，属于基础题．
先运用复数的运算求出复数，进而求得复数，即可得到答案．
【解答】
解：依题意，
所以．
所以，在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，虚数单位 ( http: / / www.21cnjy.com )的幂运算周期性的应用，涉及错位相减法求和的问题，属于中档题．
由虚数单位的周期性可得，其中为自然数，等式两边同乘以，利用错位相减法可求解．21教育名师原创作品
【解答】
解：由虚数的性质可得，，其中为自然数，
设，
两边同乘以可得，，
可得，
，
解得．
故选C．21*cnjy*com
6.【答案】
【解析】
【分析】
利用虚数单位的性质及复数 ( http: / / www.21cnjy.com )代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：
，
．
复数的虚部为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，虚数单位 ( http: / / www.21cnjy.com )的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
根据虚数单位的幂运算性质和复数的运算法则化简式子，求得，再根据复数与复平面内对应点之间的关系就求得结果．
【解答】
解：由，得，，
在复平面内的对应点的坐标为，
显然位于第三象限，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的周期性，考查共轭复数的概念，考查复数的四则运算以及几何意义，属于基础题．
，由复数的除法计算，再由的周期性得的结果，进而得其对应点的象限．
【解答】
解：，
由的幂的周期性可知，
则复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查复数的基本运算，涉及复 ( http: / / www.21cnjy.com )数的乘方和乘法除法运算，元素与集合的关系，属中档题．
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项．
【解答】
解：根据题意，中，
时，；
时，
时，；
时，，
所以．
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，
故选：．21世纪教育网版权所有
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算以及 ( http: / / www.21cnjy.com )复数模，共轭复数，虚数单位的幂运算等知识，属于基础题．
立足题设条件结合各选项运用复数的四则运算以及复数模，共轭复数，虚数单位的幂运算等知识逐一展开运算即可．2·1·c·n·j·y
【解答】
解：复数
，，选项A错误
，所以，选项B正确
，，选项C正确
，，选项D正确．
故选：．【来源：21·世纪·教育·网】
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数范围内方程的根与分解因式 ( http: / / www.21cnjy.com )，共轭复数，复数的模，复数的四则运算，属于基础题．
解方程可得与，进而判断各选项．
【版权所有：21教育】
【解答】
解：由，，
故，选项错误
，，选项正确
，选项错误
，选项正确．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义与复数集内解方程问题，是基础题．
由复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：若关于的方程有实根，
则，则，则，则A正确；
，解得，
故在复平面对应的点位于第四象限，故B错；
是关于的方程的一个根，故得另外一个根为，
故得，故C正确；
若，例如时，，，还是虚数，故不能比较大小，故D错．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是看出这些复数的和具有周期性，属于基础题．
由，再结合周期性，可得答案．21·世纪*教育网
【解答】解：因为，
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算以及复数 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念，属于基础题．
由题意可得，则，由此即可得到所求虚部．
【解答】
解：，
，
复数的虚部为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和虚数单位的幂运算的周期性，属于中档题．
利用虚数单位的幂运算的周期性和复数的运算法则即可求解．
【解答】
解：
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，复数的四则运算， ( http: / / www.21cnjy.com )虚数单位的幂运算的周期性，属于中档题．
由纯虚数的定义解得，且，再由复数的运算法则化简即可．
【解答】
解：因为复数为纯虚数，
所以，解得，
而，
所以．
故答案为．
17.【答案】解：
；
由题得，
因为，
所以，解得
所以．
【解析】本题考查复数相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
21cnjy.com
18.【答案】解：因为复数，．
求
因为是关于的实系数方程的一个根，
故，得，
故，解得，
【解析】本题考查复数的运算法则及其 ( http: / / www.21cnjy.com )相等、解有虚根的实系数的一元二次方程，属于中档题．
利用复数的运算法则即可得出；
把代入方程，根据复数相等即可得出．
2-1-c-n-j-y
19.【答案】解：，
可得，
又由是实数，可得，解得，
所以．
因为是方程的根，
所以，即，
可得
解得，． 【出处：21教育名师】
【解析】本题考查复数代数形式的乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是中档题．
把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为求得值，则可求；
把，代入方程整理后利用复数相等的条件列式求解，的值．
20.【答案】解：；
．
【解析】本题考查复数的四 ( http: / / www.21cnjy.com )则运算，以及虚数单位的周期性，属一般题．
先求，再求解即可，
先求的周期性化简，再求解即可．
21.【答案】解：设，则，
即，
，得，
或；
在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为，
故，即，．
故实数，的值分别为，．
【解析】本题主要考查复数范围内方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的根，利用待定系数法以及根与系数之间的关系，结合复数相等是解决本题的关键，属于中档题．
利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．
根据实系数方程虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．
22.【答案】解：，
则，且，解得，
故的取值范围是．
因为，且取整数，所以，
代入上述方程就是．
设实数根为，则，即，
根据复数相等的充要条件得，，消去得，．
解得，或．
【解析】本题考查复数的几 ( http: / / www.21cnjy.com )何意义，复数的运算，复数集内解方程或分解因式，属于基础题，
化简复数，再列出不等式，求出的取值范围，
求出的值，代入方程，根据复数的相等列出方程组，求出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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10.2复数的运算人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合其中为虚数单位，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为 ( )
A. B. C. D.
3. 设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的 ( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则复平面内与对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
6. 若复数，则的虚部为
A. B. C. D.
7. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
10. 已知复数满足，则 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知复数，是方程的两根，则
A. B.
C. D.
12. 下列关于复数的命题中为虚数单位，说法正确的是 ( )
A. 若关于的方程有实根，则
B. 复数满足，则在复平面对应的点位于第二象限
C. 是关于的方程的一个根，其中、为实数，则
D. ，为虚数单位，，若，则www-2-1-cnjy-com
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 表示虚数单位，则 ．
14. 为虚数单位，则复数的虚部为 ．
15. 是虚数单位， ．
16. 若复数为纯虚数，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．21*cnjy*com
18. 本小题分
已知复数，．
求和的值；
若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值．
19. 本小题分
已知复数，是实数．
求复数；
若复数是关于的方程的根，求实数和的值．
20. 本小题分
计算：；
．
21. 本小题分
已知，解关于的方程；
已知是方程在复数集内的一个根，求实数，的值．
22. 本小题是实数，复数是虚数单位在复平面内对应的点在第三象限．
求的取值范围
若取整数，且关于的二次方程有实数根，求的值．
23. 21·cn·jy·com
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的子集，考查复数的运算，属于中档 ( http: / / www.21cnjy.com )题．
运用复数的周期性运算求出集合中的元素，再根据子集的关系求出结果．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】
解：由题意，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
运用复数的运算的周期性，可得：
集合，
因为集合，
所以满足条件的集合的个数为．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，复数的概念及共轭复数的求法，属于基础题．
由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．
【解答】
解：，，
，，
，
的共轭复数的虚部为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和基本 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
先利用复数的运算法则，化简复数，然后利用复数的基本概念以及充分条件和必要条件的定义判断即可．21教育网
【解答】
解：复数是纯虚数，
则，，
是的必要不充分条件，
“复数是纯虚数”是“”的必要而不充分条件，
故选B．www.21-cn-jy.com
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，复数的几何意义， ( http: / / www.21cnjy.com )共轭复数，考查了运算求解能力，属于基础题．
先运用复数的运算求出复数，进而求得复数，即可得到答案．
【解答】
解：依题意，
所以．
所以，在复平面内对应的点为，位于第三象限．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，虚数单位 ( http: / / www.21cnjy.com )的幂运算周期性的应用，涉及错位相减法求和的问题，属于中档题．
由虚数单位的周期性可得，其中为自然数，等式两边同乘以，利用错位相减法可求解．21教育名师原创作品
【解答】
解：由虚数的性质可得，，其中为自然数，
设，
两边同乘以可得，，
可得，
，
解得．
故选C．21*cnjy*com
6.【答案】
【解析】
【分析】
利用虚数单位的性质及复数 ( http: / / www.21cnjy.com )代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
【解答】
解：
，
．
复数的虚部为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，虚数单位 ( http: / / www.21cnjy.com )的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
根据虚数单位的幂运算性质和复数的运算法则化简式子，求得，再根据复数与复平面内对应点之间的关系就求得结果．
【解答】
解：由，得，，
在复平面内的对应点的坐标为，
显然位于第三象限，
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的周期性，考查共轭复数的概念，考查复数的四则运算以及几何意义，属于基础题．
，由复数的除法计算，再由的周期性得的结果，进而得其对应点的象限．
【解答】
解：，
由的幂的周期性可知，
则复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查复数的基本运算，涉及复 ( http: / / www.21cnjy.com )数的乘方和乘法除法运算，元素与集合的关系，属中档题．
根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项．
【解答】
解：根据题意，中，
时，；
时，
时，；
时，，
所以．
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，
故选：．21世纪教育网版权所有
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算以及 ( http: / / www.21cnjy.com )复数模，共轭复数，虚数单位的幂运算等知识，属于基础题．
立足题设条件结合各选项运用复数的四则运算以及复数模，共轭复数，虚数单位的幂运算等知识逐一展开运算即可．2·1·c·n·j·y
【解答】
解：复数
，，选项A错误
，所以，选项B正确
，，选项C正确
，，选项D正确．
故选：．【来源：21·世纪·教育·网】
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数范围内方程的根与分解因式 ( http: / / www.21cnjy.com )，共轭复数，复数的模，复数的四则运算，属于基础题．
解方程可得与，进而判断各选项．
【版权所有：21教育】
【解答】
解：由，，
故，选项错误
，，选项正确
，选项错误
，选项正确．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义与复数集内解方程问题，是基础题．
由复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：若关于的方程有实根，
则，则，则，则A正确；
，解得，
故在复平面对应的点位于第四象限，故B错；
是关于的方程的一个根，故得另外一个根为，
故得，故C正确；
若，例如时，，，还是虚数，故不能比较大小，故D错．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是看出这些复数的和具有周期性，属于基础题．
由，再结合周期性，可得答案．21·世纪*教育网
【解答】解：因为，
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了复数的四则运算以及复数 ( http: / / www.21cnjy.com )的概念，属于基础题．
由题意可得，则，由此即可得到所求虚部．
【解答】
解：，
，
复数的虚部为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算和虚数单位的幂运算的周期性，属于中档题．
利用虚数单位的幂运算的周期性和复数的运算法则即可求解．
【解答】
解：
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，复数的四则运算， ( http: / / www.21cnjy.com )虚数单位的幂运算的周期性，属于中档题．
由纯虚数的定义解得，且，再由复数的运算法则化简即可．
【解答】
解：因为复数为纯虚数，
所以，解得，
而，
所以．
故答案为．
17.【答案】解：
；
由题得，
因为，
所以，解得
所以．
【解析】本题考查复数相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
21cnjy.com
18.【答案】解：因为复数，．
求
因为是关于的实系数方程的一个根，
故，得，
故，解得，
【解析】本题考查复数的运算法则及其 ( http: / / www.21cnjy.com )相等、解有虚根的实系数的一元二次方程，属于中档题．
利用复数的运算法则即可得出；
把代入方程，根据复数相等即可得出．
2-1-c-n-j-y
19.【答案】解：，
可得，
又由是实数，可得，解得，
所以．
因为是方程的根，
所以，即，
可得
解得，． 【出处：21教育名师】
【解析】本题考查复数代数形式的乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是中档题．
把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为求得值，则可求；
把，代入方程整理后利用复数相等的条件列式求解，的值．
20.【答案】解：；
．
【解析】本题考查复数的四 ( http: / / www.21cnjy.com )则运算，以及虚数单位的周期性，属一般题．
先求，再求解即可，
先求的周期性化简，再求解即可．
21.【答案】解：设，则，
即，
，得，
或；
在实系数方程中，虚根必为共轭复数根，则方程在复数集内另一根为，
故，即，．
故实数，的值分别为，．
【解析】本题主要考查复数范围内方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的根，利用待定系数法以及根与系数之间的关系，结合复数相等是解决本题的关键，属于中档题．
利用待定系数法，代入结合复数相等进行求解即可．
根据实系数方程虚根必共轭，然后利用根与系数之间的关系进行求解即可．
22.【答案】解：，
则，且，解得，
故的取值范围是．
因为，且取整数，所以，
代入上述方程就是．
设实数根为，则，即，
根据复数相等的充要条件得，，消去得，．
解得，或．
【解析】本题考查复数的几 ( http: / / www.21cnjy.com )何意义，复数的运算，复数集内解方程或分解因式，属于基础题，
化简复数，再列出不等式，求出的取值范围，
求出的值，代入方程，根据复数的相等列出方程组，求出的值．
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