11.2平面的基本事实与推论 必修第四册同步练习（含解析）

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11.2平面的基本事实与推论人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知分别为四面体的棱上的点，且，，，，则下列说法错误的是( )
A. 平面 B.
C. 直线相交于同一点 D. 平面
设是空间的三条直线，给出以下五个命题：
若，，则；
若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；
若和相交，和相交，则和也相交；
若和共面，和共面，则和也共面；
若，，则；
其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
下列命题为真命题的是
A. 若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
B. 若直线与直线是异面直线，直线与直线是异面直线，则与共面
C. 空间中有一组对边平行的四边形必在一平面内
D. 空间中相等的两个角的两边分别对应平行
下列命题一定正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 依次首尾相接的四条线段必共面
C. 直线与直线外一点确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面
下列说法中正确的个数是( )
若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行
三个平面最多将空间分为个部分
一平面截一正方体，则截面不可能为五边形
过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A. B. C. D.
在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
下列命题中正确命题的个数是( )
不在同一条直线上的三点确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；四边形是平面图形；三条平行线确定三个平面
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列命题中，不是公理的是( )
A. 平行于同一条直线的两条直线平行
B. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
D. 如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则( )
A. 四点共面 B. 四点共面
C. 四点共面 D. 四点共面
如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，则．( )
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 直线，，交于一点
在四面体中，，，，，分别为，，，，的中点，则下列说法中正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. ∽
D. 四边形为梯形
如图，在四棱锥中，，，点分别为的中点，若，，则下述正确的是( )
A.
B. 直线与异面
C.
D. 三点共线
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
空间的个平面最多能将空间分成 个区域．
如图，已知在四棱锥中，底面是正方形，边长为，为上的点，且，为内的一动点，若平面，则点的轨迹的长度为 ．
如图，已知在四棱锥中，底面是正方形，边长为，为上的点，且，为内的一动点，若平面，则点的轨迹的长度为 ．
已知，，，分别为四面体的棱，，，上的点，且，，，，则下列说法中所有正确的序号是________．
平面；；直线，，相交于同一点；平面．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，上的点，且求证：
，，，四点共面；
直线共点．
本小题分
在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且求证：
点，，，四点共面；
直线，，相交于一点．
本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
在图中作出平面和底面的交线，并说明理由；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比．
本小题分
如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且．

求证：，，，四点共面；
设与交于点，求证：，，三点共线．
本小题分
在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且求证：
四边形是梯形；
，，三条直线相交于同一点．
本小题分
已知空间四边形中，分别是的中点，分别是上的点，且．
求证：四点共面；
三条直线交于一点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理与等角定理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对进行判定，再利用平行公理对进行判定，再利用平面的基本性质对进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
，，是的中位，
因此且．
又平面，平面，
平面，故A正确．
，，
且，而，
所以，故B正确．
由，，，得四边形是梯形，
因此直线，相交，设交点为，
则，平面，，平面，
则是平面和平面的公共点，则，
即直线，，相交于同一点，故C正确．
因为，，所以直线与必相交，因此错误的是．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间中线面、线线位置关系的判断力．由线线的位置关系可判断；由平行的传递性判断．
【解答】
解：若，，则，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；
若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的，即异面关系不具有传递性，故命题不正确；
若和相交，和相交，则和也相交，相交关系不具有传递性，故命题不正确；
若和共面，和共面，则和也共面，线线间共面关系不具有传递性，，与相交，则，可以是异面关系，故命题不正确；
若，，则，此是空间两直线平行公理，是正确命题；
综上，仅有正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质、空间线线、线面、面面位置关系的判断，属于中档题．
根据平面的基本性质和公理以及推论判定，；在正方体中举例可判定，．
【解答】
解：当两个平面相交时，也满足一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，所以为假命题；
在正方体中，取所在直线为，所在直线为，所在直线为，则与是异面直线，所以为假命题；
根据公理的推论可知，两条平行直线确定一个平面，所以为真命题；
在正方体中，，但他们的两条边不对应平行，为假命题
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了确定平面的条件与应用问题，属于基础题．
根据确定一个平面的条件，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，A错误；
对于，依次首尾相接的四条线段不一定共面，如空间四边形，B错误；
对于，由不在同一直线上的三点确定一个平面的推理知，直线与直线外一点确定一个平面，C正确；
对于，两条相交或平行直线确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面以及直线与直线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题．
利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断；画出反例图形判断；由异面直线的公垂线判断．
【解答】
解：若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行或相交于一点，故不正确；
三个平面最多将空间分为个部分，故正确；
一平面截一正方体，则截面不可能为五边形，如图，截面图形是五边形，
故不正确；
与两条异面直线都垂直的直线是公垂线，过空间中的任意一点有且只有一条公垂线，故正确．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，涉及正方体的结构特征，平面的基本性质和平行公理，属基础题．
利用平面的基本性质和平行公理得到和共面，进而作出判定．
【解答】
解：在正方体中，，
，
与可以确定平面，
平面，平面，
又，，平面，
和共面，
又，四边形为平行四边形，
，
又，
直线与直线相交，
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的公理与性质的应用问题，是基础题．
根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：对于，不在同一直线上的三点确定一个平面，正确；
对于，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，错误；
四边形可以为空间四边形，故错误；
对于，三条平行直线可以确定一个或三个平面，错误；
综上，其中正确的命题序号是，
故选A．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的性质、平行公理、以及等角定理，属于基础题．
对各选项逐一判定是否为公理，即可得到答案．
【解答】
解：平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理，故A是公理；
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，这是平面性质的公理，故B是公理；
C.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，这是平面性质的公理，故C是公理；
D.如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，这是等角定理，不是公理，故D不是公理．
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质及应用，平行公理，属于中档题．
由平面的基本性质结合平行公理依次判定即可．
【解答】
对于，因为正方体中，，，分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面内，故A正确；
对于，因为，，在平面内，且，，三点不共线，不在平面内，所以，，，四点不共面，故B错误；
对于，由，分别为棱，的中点，可得，由正方体可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，由平行关系的传递性可得，所以，，，四点共面，故C正确；
对于，连接并延长，交于，则为的中点，连接并延长，交于，则为的中点，所以，又因为，分别为棱，的中点，所以，又由正方体可得，由平行关系的传递性则，所以，，，四点共面．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性，证三点共线常用的方法，属于中档题．
根据已知线段的比例关系以及线面平行的判定，判断，，，根据直线与平面、点与平面的位置关系判断的正误．
【解答】
解：因为，所以又，分别为，的中点，所以，且，则，，又，即平面，与为相交直线，即A正确，，C错误．
因为，，所以四边形为梯形，所以与必相交，设交点为，所以平面，平面，则是平面与平面的一个交点，由平面平面，所以，即直线，，交于一点，即D正确．
故本题选：．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间四点共面的判断，空间等角定理，空间三角形的相似问题，
利用空间点，线，面的位置关系，及等角定理逐项判断
【解答】
解：由于，为，的中点，所以，且
由于，是，的中点，所以，
所以，平行且相等，故为平行四边形，故A对，错
由，，，，分别为，，，，的中点，
可得：，
，
，．
由平行关系，及等角定理可判断对
由长度关系可判断对
故选ABC

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，平面的基本性质及应用，平行公理，异面直线的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．
根据题意，利用相关的性质定理对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，点为的中点，由向量的平行四边形法则可得，故A错误；
对于，假设直线与共面，则点在平面上，与四棱锥矛盾，故直线与异面，故B正确；
对于，点分别为的中点，，
又，由平行公理可得，故C正确；
对于，，，
，在平面与平面的交线上，
又点也在平面与平面的交线上，故三点共线，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间平面的位置关系，属于中档题．
个平面将空间分成部分，个平面将空间分成个部分，进而求出结果．
【解答】
解：个平面将空间分成部分，个平面将空间分成个部分，个平面最多将空间分成个部分，再增加一个平面分割空间，最多将空间分成个部分．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得所在平面与平面平行，过在平面内作交于，利用线面平行的判定得平面，过在平面内作交于，利用平行公理得，再利用线面平行的判定得平面，再利用面面平行的判定得平面平面，从而得平面，再利用平面的基本性质得，从而得点在内的轨迹是线段，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为为内的一动点，平面，
所以所在平面与平面平行．
过在平面内作交于，
因为平面，平面，所以平面．
过在平面内作交于，
因为是正方形，所以，因此．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
平面，平面，所以平面平面，
因此平面．
又因为平面，平面，
所以平面平面，
即点在内的轨迹是线段．
又因为正方形的边长为，，
所以，即．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，平行公理与等角定理，线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，属于中档题．
利用面面平行的性质，结合题目条件得所在平面与平面平行，过在平面内作交于，利用线面平行的判定得平面，过在平面内作交于，利用平行公理得，再利用线面平行的判定得平面，再利用面面平行的判定得平面平面，从而得平面，再利用平面的基本性质得，从而得点在内的轨迹是线段，最后利用平面几何知识，计算得结论．
【解答】
解：如图：
因为为内的一动点，平面，
所以所在平面与平面平行．
过在平面内作交于，
因为平面，平面，所以平面．
过在平面内作交于，
因为是正方形，所以，因此．
又因为平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
平面，平面，所以平面平面，
因此平面．
又因为平面，平面，
所以平面平面，
即点在内的轨迹是线段．
又因为正方形的边长为，，
所以，即．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行的判定，平行公理，平面的基本性质及应用和空间中直线与平面的位置关系．
利用线面平行的判定对进行判定，再利用平行公理对进行判定，再利用平面的基本性质对进行判定，最后利用空间中直线与平面的位置关系对进行判定，从而得结论．
【解答】
解：如图所示，
，，是的中位线，
因此且．
又平面，平面，
平面，故正确．
，，
且，而，
所以，故正确．
由，，，得四边形是梯形，
因此直线，相交，设交点为，
则，平面，，平面，
则是平面和平面的公共点，则，
即直线，，相交于同一点，故正确．
因为，，所以直线与必相交，因此错误．
故正确的序号是．
17.【答案】解：如图，连接，，
，分别是，的中点，
．
又，
，
，
，，，四点共面．
易知与直线不平行，但共面，
设，
则平面，平面．
平面平面
，
直线共点．

【解析】本题考查利用平行公理证明点共面和线共点的问题；关键是熟练运用公理，为中档题．
连接，，由，分别是，的中点，得到结合，得到，由平行公理得到，证明，，，四点共面．
易知与直线不平行，但共面，设，则平面，平面 由平面平面，得到直线共点．
18.【答案】证明：如图所示，连接，，
空间四边形中，，分别是，的中点，
；
又．
，
，
、、、四点共面；
设与交于点，
平面，
在平面内，
同理在平面内，且平面平面，
点在直线上，
直线，，相交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件以及三线共点的应用问题．
利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到、都平行于，由平行线的传递性得到，根据两平行线确定一平面证明；
利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．
19.【答案】解：Ⅰ在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，
，平面，则平面，
，平面，平面E.
平面平面．
Ⅱ设，连接，
由面面平行的性质可得，
由为 的中点，得为的中点，
平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台．
设正方体 的棱长为．
．
另一部分几何体的体积为．
两部分的体积比为：．
【解析】Ⅰ在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；
Ⅱ设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台设正方体 的棱长为求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案．
本题考查平面的基本性质及推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
20.【答案】解：证明：、分别是和的中点，
又，
，
．
所以，、、、四点共面．
，
由平面，得平面，
由平面，得平面，
又平面平面，
所以，
所以三点共线．
【解析】本题考查了求证四点共面和三点共线的问题，考查空间想象能力和推理能力，属于一般题．
通过求证，可得、、、四点共面；
由平面，平面，可得，即可求证三点共线．
21.【答案】证明：
，分别是边，的中点，
，且，
又，
，且，
因此且，
故四边形是梯形．
由知，相交，设，
，，，
同理，又平面，
，
故EF和的交点在直线上．
所以，，三条直线相交于同一点．
【解析】本题考查了平面性质和平行公理的应用，属于一般题．
根据比例，三角形中位线定理以及平行公理证得与平行且不相等，从而得到结论成立．
证明和的交点在直线上即可．
22.【答案】证明：在和中，
、分别是和的中点，
又，．
，
所以，、、、四点共面．
由可知，，且，即直线，是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点．
是和分别所在平面和平面的交线，而点是上述两平面的公共点，
由公理知．
所以，三条直线、、交于一点．
【解析】本题考查了三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、平行线的传递性、以及三线共点的问题．
根据中位线定理，以及平行线分线段成比例定理的引理，我们可得，易得、、、四点共面；
由的结论，直线，是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点，然后结合公理即可得解．
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