11.3空间中的平行关系 必修第四册同步练习（含解析）

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11.3空间中的平行关系人教 B版（2019）高中数学必修第四册同步练习
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在三棱柱中，是棱的中点，动点是侧面包括边界上一点，若平面，则动点的轨迹是( )
A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，则
设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，下列结论正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
已知两条直线，，两个平面，给出下面四个命题：
；；或；，
其中，正确命题的个数是．( )
A. B. C. D.
已知，是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若 平面，则线段长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
给出下列四个命题：
如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；
过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
A. 若，则；
B. 若，则；
C. 若，则
D. 若，则
已知正方体，动点在线段上，则下述正确的是( )
A. B.
C. 平面 D. 平面
正方体的棱长为，分别为的中点，则( )
A. 直线与直线夹角
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点和点到平面的距离相等
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，则下列命题，
若与都垂直，则； 若，，则；
若且，则； 若，则．
其中正确的命题是_______写出所有正确命题的序号
如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下四个命题：
平面；
存在某个位置，使；
存在某个位置，使；
点在半径为的圆周上运动．
其中正确的命题是_________．
已知，是两个不同的平面，，是两个不同的直线，则下列命题不正确的是 ．
填序号
若
若；
若；
．
如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成若为线段的中点，则在翻转过程中，正确的命题是________．
是定值；
点在圆上运动；
一定存在某个位置，使；
一定存在某个位置，使平面．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中，分别是，的中点，是上的一个动点，且．
求证：对任意的，都有；
当时，求证：平面．
本小题分
如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，分别是棱，的中点，平面与平面交于．
求证：平面；
求证：．
本小题分
如图，在正方体中，，，，分别是，，，的中点．求证：
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，在上．
证明：；
若的中点为，求证：平面．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，，是的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ若是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点，使得平面？请说明理由．
本小题分
如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点．
证明：平面
若平面平面，且，，求点到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的线、面之间的平行关系的应用，属于中档题．
分别取，，的中点，，，连接，，，，可得，，，共面，进而可得要使平面，则在线段上．
【解答】
解：
分别取，，的中点，，，连接，，，，
因为为的中点，可得且，，，
所以，，，共面，所以可得，，
而，、面，、面，
所以面，面，
因为，、平面，所以面平面，而面，所以平面，
所以要使平面，则动点的轨迹为线段．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行，垂直的判定定理以及性质，属于一般题．
由线面平行的判定定理可知选项不正确，根据面面平行的性质可知选项不正确，根据面面平行的判定可知选项不正确，故可选出正确结果．
【解答】
解：若，，则 或 ，所以选项A不正确
B.若 ， ， ，则或与异面，所以选项B不正确
C.由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是正确的
D.若 ， ， ， ，则 或 与 相交，所以选项D不正确．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，也考查了面面垂直的判定及性质、面面平行的判定及性质，考查了空间想象能力与推理能力，属于基础题．
根据面面垂直的判定定理得出A正确；根据面面垂直的性质判断B错误；根据面面平行的判断定理得出C错误；根据面面平行的性质判断D错误．
【解答】
解：对于，，且，根据线面垂直的判定定理，得，A正确；
对于，当，，时，与可能平行，也可能垂直，B错误；
对于，当，且时，与可能平行，也可能相交，C错误；
对于，当，且，时，与可能平行，也可能异面，D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
逐个判断即可．
【解答】
解：，则或，错误；
，正确；
或，正确；
，与可能平行或相交或，错误．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行的性质和判定定理，涉及空间中直线与直线，直线和平面，平面与平面的位置关系，属于中档题．
根据线面平行的性质和判定定理，结合充分条件、必要条件的定义可得结果．
【解答】
解：由题意，若，根据线面平行的性质，可得，
若，根据线面平行的判定定理，可得，
则“”是“”的充要条件．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线线，线面，面面间的位置关系的垂直，平行的判定与性质，属于中档题．
逐项分析每个选项，利用两直线的位置关系得，错误；利用面面的位置关系得故错误，正确．
【解答】
解：对于，若，得可能平行，相交，异面，故错误．
对于，若，得可能平行，相交，异面，故错误．
对于，若，则可能平行，可能垂直相交，故错误．
对于，若，则．正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点、线、面间的距离问题，考查空间想象能力与运算求解能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置，属中档题．
分别取棱、的中点、，连接，可证平面平面，得点在线段上．由此可判断当在的中点时，最小；当与或重合时，最大．然后求解直角三角形得答案．
【解答】
解：如图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
连接，由，，，，
可得，，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，则平面．
又，平面平面．
又是上底面内一点，且平面，
点在线段上．
在中，，
同理，在中，求得，则为等腰三角形．
当在的中点时，最小为，
当与或重合时，最大为．
线段长度的取值范围是
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
在中，由线面平行的判定定理得；在中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；在中，这条直线与这个平面不一定垂直；在中，由面面垂直分析可得这两个平面的交线垂直于第三个平面．
【解答】
解：在中，如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么由线面平行的判定定理得，故正确；
在中，由线面垂直的性质定理得过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；
在中，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面不一定垂直，故错误；
在中，若两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
由直线与平面垂直的性质判断；由线线平行及线面垂直的判定判断与，由线面平行的定义及空间两直线
的位置关系判断．
【解答】
解：若，，过作平面，
则平面与平面，平面均相交，
不妨设，
，分别在平面，平面内，
故，
，都在平面内，在同一平面内都与垂直，则，
同理，可以过作平面
则平面与平面，平面均相交，
不妨设，
，分别在平面，平面内，
故，
，都在平面内，在同一平面内都与垂直，则，
，和交于同一点，
故平面内两条相交线分别与平面内两条直线平行，
，故A正确；
若，，，所以，所以或，又因为，所以，故B正确；
若，，所以，故C正确；
则，，则或与异面，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线、平面间位置关系的判定以及性质，命题的真假判断与应用，属于基础题．
利用面面平行的性质判断．利用面面平行的判断定理判断．利用面面平行的性质和线面平行的判定定理判断．利用线线平行的性质判断．
【解答】
解：若，则，正确，故A正确；
若，当，相交时，则，故B错误；
若，由面面平行的性质得，故C正确；
若所以，，根据平行的传递性可知，成立，故D正确．
故选ACD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，是中档题．
连接，当点的位置和点重合时，即可判定；由线面垂直的判定定理证明平面，由此判断；找特殊点即即可判断；证明平面平面，即可判断．
【解答】
解：如图所示：
对于，连接，当点的位置和点重合时，
，
四边形为平行四边形，有，即，
除此之外都不平行，故A错误；
对于，因为平面，
平面，
所以，
又，，平面，
，
平面，
平面，
，
同理，
，平面
平面，
又平面，
，
故B正确；
对于，当点的位置和点重合时，连接，显然，
所以即，
所以不垂直，
故平面不成立，
故C错误；
对于，连接，，四边形为平行四边形，，
同理可的，
，平面，
平面平面，
平面，
平面，
故D正确；
故选BD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及截面积有关的计算问题，属于中档题．
A.利用余弦定理计算可得；作出辅助线利用面面平行判断；作出截面然后根据线段长度计算出截面的面积；通过等体积法进行判断．
【解答】
解：由题意，，直线与直线所成角为，
在中，由题意，，，，
由余弦定理得，
，故直线与直线夹角为，故A正确；
B.如图所示，取的中点，连接，
由条件可知：，，平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
且，、平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面，故B正确；
C.如图所示，连接，
因为为的中点，所以，
所以四点共面，
所以截面即为梯形，
延长交于点，
由勾股定理得，，
所以，
所以，故C正确；
D.记点与点到平面的距离分别为，
因为，
又因为，
所以，故D错误．
故选ABC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系，属于中档题．
由，，表示不同直线，，，表示三个不同平面，知：若，与都垂直，则与平行，相交或异面，从而进行判断；若，，则或，从而进行判断；若，且，则成立，从而进行判断；列举反例即可．
【解答】
解：，，表示不同直线，，，表示三个不同平面，
对于，若，，则与平行、相交或异面，故错误；
对于，若，，则或，故不正确；
对于，由于且可得出或，
又可得出，故若，且，则，故正确；
，，如图：
显然此时与相交，故错误．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，难度中档．
取中点，连接，，运用面面平行的性质定理，可判断；
若存在某个位置，使，运用线面垂直的判定和性质，即可判断；
运用面面垂直的性质定理，即可判断；的中点是定点，，即可判断．
【解答】
解：取中点，连接，，
则，，
又，，
、平面，、平面，
平面平面，
又平面，
平面，故正确；
若存在某个位置，使，
由，，可得，
又，C、平面，
则平面，又平面，
即，
显然不正确，故不正确．
由，可得平面平面时，
，故正确．
的中点是定点，，
是在以为圆心，为半径的圆上，故正确，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系、线面垂直、线面平行、面面平行以及面面垂直的判定等知识点，属于中档题．
正确掌握线面、面面之间位置关系的判定定理是解答本题的关键．
【解答】
解：若，，则成立，故正确；
，，，与平行或异面，故错误；
垂直于同一直线的两个平面平行，故正确；
根据面面垂直的判定定理可知，正确．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．取中点，连接，，则平面平面，可得正确；由余弦定理可得，所以是定值，是在以为圆心，为半径的圆上，可得正确．当矩形满足时存在，其他情况不存在，可得不正确．
【解答】
解：如图
取中点，连接，，则，，平面平面，平面，故正确
由，定值，定值，
由余弦定理可得，所以是定值，故正确．
是定点，是在以为圆心，为半径的圆上，故正确，
当矩形满足时存在，其他情况不存在，
存在某个位置，使不正确，故不正确．
故答案为：．

17.【答案】证明：由三视图与直观图，知该几何体是一个直三棱柱，，，，且．
如图，连接，则，且为与的交点．
由题意知平面，又是上的一点，
平面，
而平面，
．
由，及，知平面，
而平面，
，即对任意的，都有．
当时，是的中点取的中点，连接，，如图所示，
是的中点，
，，且，，
平面平面，而平面，
平面．

【解析】本题考查了三视图、空间中直线和直线，直线和平面的位置关系、异面直线垂直和线面平行的判定，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
由直观图和三视图可知该几何体是一个直三棱柱，连接，则，且为与的交点由题意知平面，又是上的一点，可得平面，而平面，进而得到再根据，及，平面，即可得证；
当时，是的中点取的中点，连接，，由是的中点，即可得到平面平面，而平面，进而得证．
18.【答案】证明：如图，取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
．
平面，平面，
平面．
是的中点，四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
，平面，平面，
平面平面．
平面，
平面；
平面平面，且平面平面，
平面平面，
．

【解析】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理的应用．属于中档题．
首先根据平面与平面平行的判定定理证明平面平面再利用平面与平面平行的性质即可证明平面．
利用平面与平面平行的性质定理即可证得．
19.【答案】解：证明：取的中点，连接、，
则，．
又，，，，
四边形是平行四边形，
又平面，平面，
平面D.
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
取的中点，连接、，推导出四边形是平行四边形，从而由此能证明平面D.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
20.【答案】证明：连结，，交于点，连结，
四边形是平行四边形，
是的中点，是的中点，
，又平面，平面，
平面又面面，平面，
所以．
如图，连结，取的中点，连结，．
因为是的中点，所以，且．
因为四边形是平行四边形，所以，且．
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以因为面，面，所以平面．
【解析】本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
先证明平面，由线面平行的性质定理得．
取的中点，连结，，证明，由线面平行的判定定理即可得证．
21.【答案】证明：Ⅰ在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
Ⅱ因为平面平面，平面平面，
，平面所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
Ⅲ取的中点，连接，，
，分别为，的中点，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面所以平面，
，，平面，
所以平面平面，又因为平面，所以平面
线段上存在点，使得平面．
【解析】本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
Ⅰ由线面平行的性质定理即可证明
Ⅱ由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面．
Ⅲ取的中点，连接，，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面
，再由面面平行的性质定理可证得平面．
22.【答案】证明，如图，连接，因为，分别是棱，的中点，所以，
又，，
所以平面，
又，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，
又，
从而平面．
又，所以平面平面．
又平面，所以平面．
解：由知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离．
连接，因为是棱的中点，且，所以，
又平面平面，平面平面，所以平面．
又四边形是一个等腰梯形，，且，所以，所
以，，
．
设点到平面的距离为，因为，所以，
解得，即点到平面的距离为．
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间等体积法应用等基础知识，考查运算求解能力，属于是中档题．
连接，，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能证明平面．
设点到平面的距离为，由，能求出点到平面的距离．
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