第21章 一元二次方程 数学活动 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 第21章 一元二次方程 数学活动 课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 937.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 14:49:19 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
人教版 九年级上册
第21章 一元二次方程
数学活动
本课是在学生已经学习了一元二次方程 的解法基础上，对一元二次方程的解法进行拓展学习，目的是开拓学生的视野，并体会数学知识的运用．
课件说明
活动一
一元二次方程求根公式的别样推导及其应用
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
整理，得
x2＋ x=－ ；
配方，得
整理，得
先回忆课本里用的配方法推导求根公式的过程
b
a
c
a
b
2a
( )2
b
2a
( )2
b2 －4ac
4a2
(x＋ )2=
b
2a
x2＋ x＋ =－ ＋ ；
b
a
c
a
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
整理，得
x2＋ x=－ ；
配方，得
x2＋ x＋ =－c＋ ；
整理，得
当b2－4ac≥0时，
开方，得
x＋ =± ；
2a
b2 －4ac
√
b
a
c
a
b
a
b
2a
( )2
b
2a
( )2
(x＋ )2=
b
2a
b
2a
∴x1=
x2=
2
－b＋
b2 －4ac
√
2
－b－
b2 －4ac
√
b2 －4ac
4a2
复杂的分式运算
可否回避
别样配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
∵a ≠ 0，
方程两边乘以4a，得
4a2x2＋4abx=－4ac；
方程两边加上b2，得
4a2x2＋4abx＋b2=－4ac＋b2
整理，得
(2ax＋b)2=b2 －4ac
当b2－4ac≥0时，
开方，得
2ax＋b= b2 －4ac
±
√
∴x1=
x2=
2
－b＋
∴2ax= －b b2 －4ac
±
√
b2 －4ac
√
2
－b－
b2 －4ac
√
推导过程没有复杂的分式运算
(2)2x2＋4x－5=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
(1) x2＋x－6=0；
移项，得
方程两边乘以4，得
方程两边加上1，得
整理，得
开方，得
解：(1)
x2＋x=6
4x2＋4x=24
4x2＋4x＋1=25
(2x＋1)2=52
2x＋1= 5
±
∴
2x＋1= 5
或2x＋1=－5
∴x1=2
x2=－3
(2)2x2＋4x－5=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
(1) x2＋x－6=0；
移项，得
方程两边乘以8， 得
方程两边加上16，得
整理，得
开方，得
(2)
2x2＋4x=5
16x2＋32x=40
16x2＋32x＋16=56
(4x＋4)2=56
4x＋4=
±
∴
4x＋4=
或4x＋4=－
∴x1=
x2=－
56
14
2
14
2
2
2
－
14
2
2
＋
14
(3) x2－3x＋6=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
移项，得
方程两边乘以 ， 得
方程两边加上9，得
整理，得
开方，得
(3)
x2 －3x=－6
x2－4x= －8
x2－4x＋9=1
( x－3)2=1
x－3=
±1
∴ x －3=1
或 x －3=－1
∴x1=6，
x2=3.
1
3
1
3
4
3
4
9
4
9
2
3
2
3
2
3
2
3
数学算法本质上是将“本来应该复杂的事情简化为简单的事情”的学问.
活动二
利用根与系数关系解一元二次方程
这种解法是美国数学教授罗博深于2019年
宣布发现的，说是3000年来的一个伟大变革.
罗博深
真的如此吗？
先来学习一句罗教授的名言
活动二
利用根与系数关系解一元二次方程
1.回忆 一元二次方程ax2＋bx＋c =0(a≠0)
根与系数的关系
设一元二次方程ax2＋bx＋c =0的两根为
x1，x2，则
x1＋x2= － ，
x1x2=
b
a
c
a
2.利用根与系数关系解一元二次方程的解题思路是什么 有哪些步骤？
利用根与系数关系解一元二次方程的解题思路主要是从方程x2－Bx＋C= 0中的一次项系数－B值开始，而不是针对常数项C进行因式分解.
针对方程式中的一次项系数－B，
∵方程的两个根x1，x2的值的总和是B，
∴这两个根x1，x2的数值应该距离平均值相等.
设x1，x2的平均值为a，则x1，x2可以表述为
x1=a＋m，x2 =a－ m，m代表未知数.
例如解一元二次方程x2－6x－27= 0.
解题思路是不是考虑如何对常数项－27进行因式分解，而是从方程式中的一次项系数－ 6着手.
思路如下：
设一元二次方程x2－6x－27= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 6 ，
那么x1，x2的平均值为3.
∴设x1=3＋m，x2=3 －m
∵x1x2=－27，
思路如下：
设一元二次方程x2－6x－27= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 6 ，
那么x1，x2的平均值为3.
∴设x1=3＋m，x2=3 －m
∴ (3＋m) (3－m)= －27
∴ 9－m2= －27，
∴ m2=36，
∴ m= ±6.
∴x1=9，x2= －3.
利用根与系数关系解一元二次方程的一般步骤
(1)设方程的两根为 x1，x2
(2)求出两根的和及其平均值a；
(3)引入参数m，用平均值表示方程的两根；
(4)利用两根的积的关系建立新的方程；
(5)解新方程，求出参数m的值
(6)将求出的参数m的值代入第3步求出x1，x2．
(1) x2－8x＋12=0；
(2) x2＋2x－4=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2=12，
设x2－8x ＋ 12= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 8 ，
那么x1，x2的平均值为4.
∴设x1=4＋m，x2=4 －m
∴ (4＋m) (4－m)= 12
∴ 16－m2= 12，
∴ m2=4，
∴ m= ±2.
∴x1=6，x2= 2.
解：(1)
(1) x2－8x＋12=0；
(2) 2x2＋4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= －4，
设x2＋ 12x－4= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=－12 ，
那么x1，x2的平均值为－6.
∴设x1= －6＋m，x2= －6－m
∴ (－6＋m) (－ 6－m)= －4
∴ 36－m2= －4，
∴ m2=40，
∴ m=±2 .
∴x1=－6 ＋2 ，x2= －6－2 .
解：(2)
10
10
10
(3) x2－7x＋10=0；
(4) 2x2＋4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= 10，
设x2 －7x＋10= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=7 ，
那么x1，x2的平均值为 .
∴设x1= ＋m，x2= －m
∴ ( ＋m) ( －m)= 10
∴ －m2= 10，
∴ m2= ，
∴ m=± .
∴x1=5 ，x2= 2 .
解：(3)
7
2
7
2
7
2
7
2
7
2
49
4
9
4
3
2
(3) x2－7x＋10=0；
(4) 2x2－4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= － ，
设2x2 ＋4x－5= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=2，
那么x1，x2的平均值为 1 .
∴设x1= 1＋m，x2= 1－m
∴ ( 1＋m) (1－m)= －
∴ 1－m2= － ，
∴ m2= ，
∴ m=± .
∴x1=1 ＋ ，x2= 1－ .
解：(4)
7
2
5
2
5
2
5
2
2
14
2
14
2
14
活动三
利用一元二次方程求无理数的近似值
7
29
∵4 ＜ 7＜ 9，
∴2 ＜ ＜ 3，
7
∴不妨设
=2.5＋x
∴(2.5＋x)2=7
7
∴6.25＋5x＋x2=7
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
6.25＋5x≈7
∴5x=0.75，
∴x=0.15.
∴
=2.5＋x
7
=2.5＋0.15
=2.65
而
7
≈2.6457513…
两者误差极小.
例：求(1) ；
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(1)
活动三
利用一元二次方程求无理数的近似值
7
29
∵25 ＜ 29＜ 36，
∴5 ＜ ＜ 6，
29
∴不妨设
=5.5＋x
∴(5.5＋x)2=29
29
∴30.25＋11x＋x2=29
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
30.25＋11x≈29
∴11x=－1.25，
∴x≈－0.114.
∴
=5.5＋x
29
=5.5－0.114
=5.386
而
29
≈5.3851648…
两者误差极小.
例：求(1) ；
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(2)
≈5.39.
求(1) ；
13
2022
∵9 ＜ 29＜ 16，
∴3 ＜ ＜ 4，
13
∴不妨设
=3.5＋x
∴(3.5＋x)2=29
13
∴12.25＋7x＋x2=13
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
12.25＋7x≈13
∴7x=0.75，
∴x≈0.104.
∴
=3.5＋x
13
=3.5＋0.107
=3.607
而
13
≈3.6055512…
两者误差极小.
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(1)
≈3.61.
学以致用
求(1) ；
13
2022
∵1600 ＜2022＜2500，
∴40 ＜ ＜50，
2022
∴不妨设
=45.5＋x
∴(45.5＋x)2=2022
2022
∴2025.25＋91x＋x2=2022
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
2070.25＋91x≈2022
∴91x=－48.25，
∴x≈ － 0. 530.
∴
2022
=45.5－0.530
=44.970
而
2022
≈44.9666543…
两者误差极小.
(2)
的近似值
(精确到0.01).
(2)
≈44.97.
学以致用
谢谢
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人教版 九年级上册
第21章 一元二次方程
数学活动
本课是在学生已经学习了一元二次方程 的解法基础上，对一元二次方程的解法进行拓展学习，目的是开拓学生的视野，并体会数学知识的运用．
课件说明
活动一
一元二次方程求根公式的别样推导及其应用
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
整理，得
x2＋ x=－ ；
配方，得
整理，得
先回忆课本里用的配方法推导求根公式的过程
b
a
c
a
b
2a
( )2
b
2a
( )2
b2 －4ac
4a2
(x＋ )2=
b
2a
x2＋ x＋ =－ ＋ ；
b
a
c
a
用配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
整理，得
x2＋ x=－ ；
配方，得
x2＋ x＋ =－c＋ ；
整理，得
当b2－4ac≥0时，
开方，得
x＋ =± ；
2a
b2 －4ac
√
b
a
c
a
b
a
b
2a
( )2
b
2a
( )2
(x＋ )2=
b
2a
b
2a
∴x1=
x2=
2
－b＋
b2 －4ac
√
2
－b－
b2 －4ac
√
b2 －4ac
4a2
复杂的分式运算
可否回避
别样配方法求
ax2＋bx＋c = 0 (a≠0)的根.
移项，得
ax2＋bx=－c；
∵a ≠ 0，
方程两边乘以4a，得
4a2x2＋4abx=－4ac；
方程两边加上b2，得
4a2x2＋4abx＋b2=－4ac＋b2
整理，得
(2ax＋b)2=b2 －4ac
当b2－4ac≥0时，
开方，得
2ax＋b= b2 －4ac
±
√
∴x1=
x2=
2
－b＋
∴2ax= －b b2 －4ac
±
√
b2 －4ac
√
2
－b－
b2 －4ac
√
推导过程没有复杂的分式运算
(2)2x2＋4x－5=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
(1) x2＋x－6=0；
移项，得
方程两边乘以4，得
方程两边加上1，得
整理，得
开方，得
解：(1)
x2＋x=6
4x2＋4x=24
4x2＋4x＋1=25
(2x＋1)2=52
2x＋1= 5
±
∴
2x＋1= 5
或2x＋1=－5
∴x1=2
x2=－3
(2)2x2＋4x－5=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
(1) x2＋x－6=0；
移项，得
方程两边乘以8， 得
方程两边加上16，得
整理，得
开方，得
(2)
2x2＋4x=5
16x2＋32x=40
16x2＋32x＋16=56
(4x＋4)2=56
4x＋4=
±
∴
4x＋4=
或4x＋4=－
∴x1=
x2=－
56
14
2
14
2
2
2
－
14
2
2
＋
14
(3) x2－3x＋6=0
方程两边乘以4a，然后配方解方程
移项，得
方程两边乘以 ， 得
方程两边加上9，得
整理，得
开方，得
(3)
x2 －3x=－6
x2－4x= －8
x2－4x＋9=1
( x－3)2=1
x－3=
±1
∴ x －3=1
或 x －3=－1
∴x1=6，
x2=3.
1
3
1
3
4
3
4
9
4
9
2
3
2
3
2
3
2
3
数学算法本质上是将“本来应该复杂的事情简化为简单的事情”的学问.
活动二
利用根与系数关系解一元二次方程
这种解法是美国数学教授罗博深于2019年
宣布发现的，说是3000年来的一个伟大变革.
罗博深
真的如此吗？
先来学习一句罗教授的名言
活动二
利用根与系数关系解一元二次方程
1.回忆 一元二次方程ax2＋bx＋c =0(a≠0)
根与系数的关系
设一元二次方程ax2＋bx＋c =0的两根为
x1，x2，则
x1＋x2= － ，
x1x2=
b
a
c
a
2.利用根与系数关系解一元二次方程的解题思路是什么 有哪些步骤？
利用根与系数关系解一元二次方程的解题思路主要是从方程x2－Bx＋C= 0中的一次项系数－B值开始，而不是针对常数项C进行因式分解.
针对方程式中的一次项系数－B，
∵方程的两个根x1，x2的值的总和是B，
∴这两个根x1，x2的数值应该距离平均值相等.
设x1，x2的平均值为a，则x1，x2可以表述为
x1=a＋m，x2 =a－ m，m代表未知数.
例如解一元二次方程x2－6x－27= 0.
解题思路是不是考虑如何对常数项－27进行因式分解，而是从方程式中的一次项系数－ 6着手.
思路如下：
设一元二次方程x2－6x－27= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 6 ，
那么x1，x2的平均值为3.
∴设x1=3＋m，x2=3 －m
∵x1x2=－27，
思路如下：
设一元二次方程x2－6x－27= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 6 ，
那么x1，x2的平均值为3.
∴设x1=3＋m，x2=3 －m
∴ (3＋m) (3－m)= －27
∴ 9－m2= －27，
∴ m2=36，
∴ m= ±6.
∴x1=9，x2= －3.
利用根与系数关系解一元二次方程的一般步骤
(1)设方程的两根为 x1，x2
(2)求出两根的和及其平均值a；
(3)引入参数m，用平均值表示方程的两根；
(4)利用两根的积的关系建立新的方程；
(5)解新方程，求出参数m的值
(6)将求出的参数m的值代入第3步求出x1，x2．
(1) x2－8x＋12=0；
(2) x2＋2x－4=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2=12，
设x2－8x ＋ 12= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2= 8 ，
那么x1，x2的平均值为4.
∴设x1=4＋m，x2=4 －m
∴ (4＋m) (4－m)= 12
∴ 16－m2= 12，
∴ m2=4，
∴ m= ±2.
∴x1=6，x2= 2.
解：(1)
(1) x2－8x＋12=0；
(2) 2x2＋4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= －4，
设x2＋ 12x－4= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=－12 ，
那么x1，x2的平均值为－6.
∴设x1= －6＋m，x2= －6－m
∴ (－6＋m) (－ 6－m)= －4
∴ 36－m2= －4，
∴ m2=40，
∴ m=±2 .
∴x1=－6 ＋2 ，x2= －6－2 .
解：(2)
10
10
10
(3) x2－7x＋10=0；
(4) 2x2＋4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= 10，
设x2 －7x＋10= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=7 ，
那么x1，x2的平均值为 .
∴设x1= ＋m，x2= －m
∴ ( ＋m) ( －m)= 10
∴ －m2= 10，
∴ m2= ，
∴ m=± .
∴x1=5 ，x2= 2 .
解：(3)
7
2
7
2
7
2
7
2
7
2
49
4
9
4
3
2
(3) x2－7x＋10=0；
(4) 2x2－4x－5=0；
利用根与系数关系解一元二次方程
∵x1x2= － ，
设2x2 ＋4x－5= 0的两根为x1，x2，
则x1＋x2=2，
那么x1，x2的平均值为 1 .
∴设x1= 1＋m，x2= 1－m
∴ ( 1＋m) (1－m)= －
∴ 1－m2= － ，
∴ m2= ，
∴ m=± .
∴x1=1 ＋ ，x2= 1－ .
解：(4)
7
2
5
2
5
2
5
2
2
14
2
14
2
14
活动三
利用一元二次方程求无理数的近似值
7
29
∵4 ＜ 7＜ 9，
∴2 ＜ ＜ 3，
7
∴不妨设
=2.5＋x
∴(2.5＋x)2=7
7
∴6.25＋5x＋x2=7
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
6.25＋5x≈7
∴5x=0.75，
∴x=0.15.
∴
=2.5＋x
7
=2.5＋0.15
=2.65
而
7
≈2.6457513…
两者误差极小.
例：求(1) ；
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(1)
活动三
利用一元二次方程求无理数的近似值
7
29
∵25 ＜ 29＜ 36，
∴5 ＜ ＜ 6，
29
∴不妨设
=5.5＋x
∴(5.5＋x)2=29
29
∴30.25＋11x＋x2=29
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
30.25＋11x≈29
∴11x=－1.25，
∴x≈－0.114.
∴
=5.5＋x
29
=5.5－0.114
=5.386
而
29
≈5.3851648…
两者误差极小.
例：求(1) ；
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(2)
≈5.39.
求(1) ；
13
2022
∵9 ＜ 29＜ 16，
∴3 ＜ ＜ 4，
13
∴不妨设
=3.5＋x
∴(3.5＋x)2=29
13
∴12.25＋7x＋x2=13
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
12.25＋7x≈13
∴7x=0.75，
∴x≈0.104.
∴
=3.5＋x
13
=3.5＋0.107
=3.607
而
13
≈3.6055512…
两者误差极小.
(2)
的近似值
(精确到0.01).
解：(1)
≈3.61.
学以致用
求(1) ；
13
2022
∵1600 ＜2022＜2500，
∴40 ＜ ＜50，
2022
∴不妨设
=45.5＋x
∴(45.5＋x)2=2022
2022
∴2025.25＋91x＋x2=2022
∵x已是较小的数，
∴x2就更小，
舍去，得
2070.25＋91x≈2022
∴91x=－48.25，
∴x≈ － 0. 530.
∴
2022
=45.5－0.530
=44.970
而
2022
≈44.9666543…
两者误差极小.
(2)
的近似值
(精确到0.01).
(2)
≈44.97.
学以致用
谢谢
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