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课 题 19.8-1直角三角形的性质 课 型 新授 教 时 1
教 学目 标 1.掌握直角三角形的两个锐角互余的定理及运用；2.经历推导证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的过程中体会从特殊到一般的研究问题的方法；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理及运用。
重 点 直角三角形斜边上的中线性质定理的运用。
难 点 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明方法。
教具准备 多媒体课件
教 学 过 程
教师活动 学生活动
一、复习导入：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？这就是我们本节课所要探究的问题(点明课题). 二、新授：(一)定理：1、直角三角形性质定理一 首先从角的方面考虑直角三角形的性质.如图：∠C=90°,∠A与∠B有何关系？为什么？问：由此得出直角三角形有什么性质？定理1：直角三角形的两个锐角互余.用符号语言表示（如上图）：∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）. 上图中再出现斜边上的高，就是我们熟悉的一个图形了.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，与∠A互余的角是______________，与∠B相等的角是______________，与∠A相等的角是______________.适时小结:直角三角形中出现斜边上的高，就有两对相等的锐角.2、直角三角形性质定理二 再从直角三角形的边和特殊线段之间关系方面考虑直角三角形的性质.想一想：在例（1）中，如果∠A=45°，那么各个锐角是多少度？线段CD与哪些线段相等？ 上图中，可以发现线段CD是斜边AB上的中线，那么CD与斜边AB有什么数量关系？如果在一般的直角三角形中，这个结论还成立吗？教师操作几何画板任意的直角三角形，利用测量工具，量出斜边及其中线的长度，观察这两者之间的数量关系.问：请用文字语言叙述这一结论？下面来证明这个命题是真命题.问：结合上图，写出已知、求证已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线.求证：CD=AB.分析：问1：利用题中的已知条件你能直接证明CD=AB.问2：看到三角形的中线，想到怎样添置辅助线？这样添置辅助线的目的是构造了全等三角形（图1），同时作了CD的2倍CE，所以要证CD=AB，只需证CE=AB，这就想到要证明△ABC≌△CEA（图2）.证明：延长CD到点E，使DE=CD，联结AE.∵CD是斜边AB的中线，∴AD=BD(三角形中线的定义) .在△AED与△BCD中，∴△AED≌△BCD (S.A.S) .∴AE=BC（全等三角形对应边相等）； ∠3＝∠B（全等三角形对应角相等）.∵∠ACB=90°（已知），∴∠4+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）.∴∠4+∠3＝90°(等量代换)，即∠CAE＝∠ACB(等量代换) .在△CAB与△ACE中，∴△CAB≌△ACE (S.A.S) .∴AB=CE（全等三角形对应边相等）.又∵CD=AE(已作)， ∴CD=AB(等量代换) .由此得到另一个定理：定理2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言表示：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线或点D是AB的中点(已知)，∴CD=AD=BD=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.问：由于CD=AD=BD，你想到了什么？适时小结:直角三角形斜边上的中线将三角形分成两个等腰三角形.(二)例题：例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，且DE=DF.求证：AB=AC. 分析：问1：结合已知条件，图中有哪些基本图形？问2：此题的证明思路是什么？证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义) .又∵E是AB的中点（已知），∴DE=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.同理 DF=AC.∵DE=DF（已知），∴AB=AC（等式性质）.三、练习：课本P116/1－3四、小结： 谈谈这节课你有什么收获、体会或想法 直角三角形的两个性质定理；(2) 直角三角形中常添的辅助线是斜边上的中线.五、作业：练习册：习题19.8(1) 思考问题，进入课题回答问题归纳、识记定理口答，运用定理回答问题师生共同分析完成例题完成练习谈这节课的主要内容或注意问题等等．
板书设计：1. 直角三角形的性质定理2．例题分析过程及解题格式
课后反思：
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A
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C
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D
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F
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E
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B_ 月_ _日 星期__ 第__周
课 题 19.8－2直角三角形的性质 课 型 新授 教 时 1
教 学目 标 1．通过探索含有30°锐角的直角三角形的图形，猜想、发现、归纳出30°所对的直角边与斜边之间的关系；2．经历直角三角形性质定理的两条推论的探索过程，掌握直角三角形性质定理的两条重要推论及推导；3．初步学会运用直角三角形性质定理的两条重要推论来进行简单的几何证明。
重 点 直角三角形性质定理的两条重要推论简单运用。
难 点 直角三角形性质定理的两条重要推论的推导。
教具准备 多媒体课件
教 学 过 程
教师活动 学生活动
一、导入：想一想：有一个直角三角形纸片，如何只剪一刀，将它分割成两个等腰三角形？是否能剪出一个等腰三角形和一个等边三角形？此时直角三角形的一个锐角要满足什么条件？二、新授：(一)推导推论：引导学生仿照直角三角形中线的性质定理叙述此推论.推论1：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∠A=30°∴ BC=AC 找一找：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB图中有几个角等于30°？你能找出图中线段之间的倍分关系吗？你能找出AD与BD之间存在什么数量关系吗？试一试：请将推论1的题设与结论互相交换一下，得到的新命题为：在直角三角形中，如果 一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°.这个新命题成立吗？为什么？（证明由学生完成）推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.在Rt△ABC中，∵∠B=90°，BC=AC∴ ∠A=30°找一找：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BD=BC，找一找，图中有几个30°的角？(二)例题：例题3：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30 ,AD⊥AC.求证：BD=CD．分析：引导学生读题、作标注问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？证明：∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）． ∵∠B=30 （已知），∴∠C =30 （等量代换）∵AD⊥AC（已知），∴AD=CD（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∠1=60 (直角三角形的两个锐角互余)．∵∠1 =∠B+∠2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），∴∠2 =30 （等式性质），∴∠B=∠2（等量代换），∴AD=BD（等角对等边），∴BD=CD（等量代换）．变式：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120 , AB边上的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，联结AD.求证：BD=CD．例题4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB,点D为垂足，CE是斜边AB边上的中线，且ED=BD.求证：∠A=30 ．分析：问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？证明：∵∠ACB=90°，CE是斜边AB边上的中线，（已知）∴CE=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∵CD⊥AB, ED=BD（已知），∴CE=CB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.∴CB=AB（等量代换），∴∠A=30 （在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30 ）．问：上图中，与CE相等的线段有哪些？三、练习：课本P119/1－4四、小结： 直角三角形全等的性质定理的两条推论。 五、作业：练习册：习题19.8（2） 思考问题，复习直角三角形的性质定理画图、思考学生叙述推论学生回答问题学生完成命题证明师生共同分析、完成例题，看图，寻找基本图形完成证明过程完成练习谈这节课的主要内容或注意问题等等．
板书设计：1. 直角三角形性质定理的两条推论2．例题分析过程及解题格式
课后反思：
30°
A
B
C
B
A
D
C
B
C
A
B
D
A
C
B
C
D
A
B
C
A
B
D
A
C
1
C
30°
B
A
30°
（图11）
D
A
C
30°
1
（图2）
A
B
D
30°
2
（图3）
由图
1得
由图
2得
由图
3得
D
A
B
C
30°
1
2
B
D
C
E
（图1） （图2）
B
A
C
E
B
D
A
C
E
由图
1得
由图
2得
由图
1得_ 月_ _日 星期__ 第__周
课 题 19.8－3直角三角形的性质 课 型 新授 教 时 1
教 学目 标 1．学会直角三角形性质，并能灵活应用性质解决问题；2．通过独立思考、相互交流，提高逻辑思维能力以及协作精神；
重 点 直角三角形性质的灵活应用。
难 点 直角三角形性质的灵活应用。
教具准备 多媒体课件
教 学 过 程
教师活动 学生活动
复习：复习直角三角形性质定理及推论二、新授：下面，我们将运用这些直角三角形的性质来解决数学问题例题1：已知：如图，在△ABC中， AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F是AB的中点．求证：EF∥AC．问1：图形中你找到了直角三角形吗？在这个三角形中有什么发现？问2：如何求证EF∥AC呢？证明：∵BE⊥AD（已知），∴∠AEB＝90°（垂直的意义）．∵EF是AB上的中线（已知），∴EF=AF=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴∠1＝∠3（等边对等角）．∵AD平分∠BAC（已知），∴∠1＝∠2（角平分线上的意义）．∴∠2＝∠3（等量代换）．∴EF∥AC（内错角相等，两直线平行）．现在，把原题中题设部分的“点F是AB的中点”与结论“EF∥AC ”交换，变式如下：已知：如图，在△ABC中， AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，EF∥AC．求证：点F是AB的中点．例题2： 已知：如图，在△ABC中，∠A=30o，∠ACB=90o，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．问1：在Rt△ABC中，你发现什么直角三角形的性质？问2：由此你得到什么？问3：在等腰三角形CMB中，你有什么发现？证明：∵∠A=30o，∠ACB=90o（已知），∴BC＝AB（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∵M为AB的中点（已知），∴CM＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴CM =CB（等量代换）．∵D为MB的中点（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形的三线合一）．三、练习：课本P121/1－4四、小结： 谈谈这节课你有什么收获、体会或想法 直角三角形的性质和推论；复杂图形中标出相关条件，采用图形分解的方法，运用定理解决问题。五、作业：练习册：习题19.8（3） 复习直角三角形的性质定理及推论本题是是直角三角形的性质定理的简单运用，并综合运用平行线的判定定理，证明两条直线平行．师生共同分析，看图，寻找基本图形学生回答问题通过分解图形，不断探索和证明，发展学生的推理意识和能力．学生完成证明变式练习，学生分析尝试证明，深入认识图形．师生共同分析、完成例题，回答问题完成证明过程完成练习谈这节课的主要内容或注意问题等等．
板书设计：1. 直角三角形性质定理及推论2．例题分析过程及解题格式
课后反思：
