沪教版（五四学制）数学八上 第19章《证明举例》复习课教案（表格式）

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课 题 十九章证明举例 课 型 复习 教 时 2
教 学目 标 1. 掌握平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质证明有关线段和角相等及线段平行的简单问题。2. 通过分解基本图形，掌握添置辅助线的方法。3. 进一步学会演绎推理的方法和规范表达，体会理性思维的精神，发展逻辑思维能力。
重 点 平行线、全等三角形、等腰三角形的判定与性质的正确运用。
难 点 几种常见辅助线的添置。
教具准备 多媒体课件
教 学 过 程
教师活动 学生活动
一、建立知识结构：前阶段我们已经学习了证明线段平行、相等以及角相等的有关定理和基本图形，这节课我们一起来复习、梳理这些知识:1、一个三角形中证明线段和角相等常用的定理和基本图形，常添的辅助线．（等边对等角） （等角对等边） （底边上的高或中线或顶角的平分线）2、在两个三角形中证明线段和角相等，常要证明三角形全等． 三角形全等的判定与基本图形：① ② （S、A、S） (A、S、A) ③ ④ (A、A、S) (S、S、S) 师：联结两点得到线段，构造全等三角形3、有线段中点的条件，常添的辅助线： 师： 如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形；当有角平分线，常添的辅助线有以下几种：4、当有角平分线，常添的辅助线有以下几种在ON上截取OA＝OB, 延长BP交ON于点A ，构造全等三角形 构造等腰三角形二、例题分析：例1、 已知，如图BD=CE，∠1=∠2，求证：（1）AB=AC．（2）联结ED，试判断BC与ED的位置关系，并证明你的判断．分析：问1、通过对题意分析，你能看出哪些基本图形？问2、证明哪两个三角形全等？问3、能证明△BCE与△CBD全等吗？问4、BC与ED有怎样的位置关系？如何证明？（学生口述证明过程）证明：（1）∵∠1=∠2（已知），∴∠AEC=∠ADB（等角的补角相等）在△ABD与△ACE中 ∠AEC=∠ADB（已证） ∠A=∠A（公共角） BD=CE（已知）∴△ABD≌△ACE （AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）（2）答：AB∥ED．证明：∵△ABD≌△ACE（已证）∴AE=AD（全等三角形的对应边相等）∴∠3=∠4（等边对等角）同理：∠ABC=∠ACB∵∠A+∠3+∠4=180°∠A+∠ABC +∠ACB =180°（三角形的内角和为180°）∴∠3+∠4=∠ABC +∠ACB（等式性质）∴2∠3=2∠ABC∴∠3 =∠ABC（等式性质）∴BC∥ED．（同位角相等，两直线平行）适时小结：本例中既有证明线段相等、平行又有证明角相等．既要运用三角形全等，又要运用等腰三角形的性质等定理．因而分解基本图形，选择恰当的方法非常重要．例2 已知：如图,在△ABC中, AD⊥BC于D，AD=BD，点H为AD上一点， AC=BH．求证：∠ABC=∠BCH．分析：问1：从组合图形中能看出有哪些基本图形？问2：由图1可得什么？为什么？问3：图2中的两个三角形是什么三角形？（学生口述证明过程）证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADB=∠ADC=90 (垂直的意义)．在Rt△BDH和Rt△ADC．∴Rt△BDH和Rt△ADC（H.L）．∴DH=DC（全等三角形的对应边相等），∴∠DCH=∠1（等边对等角），∴∠DCH=45 （三角形内角和为180 ）同理：∠ABC=45 ∴∠ABC=∠BCH（等量代换）．反馈练习：1、已知，如图，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F， AD=BC，CE=DF，求证AO=BO．分析：问1、由题意，你找到基本图形吗？ 问2、由这个基本图形你能得到什么结论？ 例3：已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点,且AB=5，AC=3，求AD的取值范围．分析：问1、需要添置辅助线吗？如何添？问2、构造△BED的目的是什么？问3、AD的取值范围如何确定呢？解：设AD=x， 2 x＞2 解得：1＜x＜4 2 x＜8∴AD的取值范围是大于1且小于4．变式：已知，如图， D是BC的中点,且AB=m，AC=n，求AD的取值范围．分析：根据变式的解题方法，进行思考，得出结论．适时小结：如果有线段中点的条件，可以以中点为旋转中心，构造成中心对称的三角形；如果有中线，则往往将中线延长一倍，构造成中心对称的三角形.反馈练习：已知，如图， D是BC的中点, 若∠BED=∠CAD，求证:BE=AC；分析：问1、由题意，能直接证明BE=AC吗？ 问2、如何添置辅助线？问3、添置这个三角形的目的是什么？问4、还有其它的添置方法吗？完整的证明过程学生课后完成．例题4 已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．求证：∠A=2∠B．分析：1．条件BC=AC+AD使我们想到把线段AD、AC转化到线段BC上，怎样转化呢？．2．“角平分线”的条件，为实现上述转化提供了条件. 怎样翻折呢？怎样添置辅助线呢？基本图形：证明：在CB上截取CE=CA,联结DE．∵CD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.在△ACD与△ECD中 AC=CE ∠1=∠2 CD=CD∴△ACD≌△ECD （S.A.S）∴DE=AD, ∠A=∠DEC(全等三角形的对应边，对应角相等).∵BC=CE+BE=AC+AD∴BE=AD(等式性质) ∴DE=BE,∴∠B=∠BDE(等边对等角).∵∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和).∴∠A=2∠B．适时小结：注意到CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD．利用图形运动，沿CD将△ABD向下翻折或将△BCD向上翻折，得到点A或点B的对称点．从而得到添置辅助线的两种常见方法：“截长法“和”补短法”，这是两种不同的添线方法，“截长”和“补短”都可以，一般用“截长法”，在以后的学习中我们可继续体会．例5：求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.分析：根据命题画出图形？（师生一起分析并画图）1）画一个等腰△ABC.2）再画出腰上的高BD.问：（1）高与底边的夹角是哪个角？（2）分析命题的题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”.问1：已知什么？问2：求证什么？已知: 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D.求证：∠A=2∠DBC问：如何找到∠A的一半？证明：作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC , AE⊥BC.∴∠BAC=2∠1(等腰三角形的三线合一).∵ AE⊥BC.(已知)∴∠C+∠1=900（直角三角形的两个锐角互余）.同理∠C+∠2=900。。∴∠1=∠2（同角的余角相等）.∴∠BAC=2∠2（等量代换）.即∠A=2∠DBC.三、课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获和感想？数学思想和方法：体现数学中所蕴涵的数形结合、化归思想.四、作业布置练习册：复习题A组第3、4、5、6；B组第1、2、3 思考、回顾、复习旧知。 回顾常添的辅助线师生共同完成例题学生黑板板书，点评，纠错.学生交流、讨论 完成反馈练习谈收获和注意点
举例板书设计：1.相关定理2.例题解题格式
课后反思：
D
H
E
A
B
C
1
D
H
A
B
C
D
A
H
C
（图1）
B
（图2）
1
D
H
A
B
C
F
F