1.1.2集合的表示
一、选择题
1．方程组的解集是( )
A．{x＝1，y＝－1} B．{1}
C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( )
A．{1,2} B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)} D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )
A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是( )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝2 020} B．{y|(y－2 020)2＝0}
C．{x＝2 020} D．{2 020}
6．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|－3＜x＜11}
C．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈N}
D．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝____．
二、填空题
9．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是____．
10．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为____．
三、解答题
11．已知集合A＝，试用列举法表示集合A．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
1.1.2集合的表示
一、选择题
1．方程组的解集是( C )
A．{x＝1，y＝－1} B．{1}
C．{(1，－1)} D．{(x，y)|(1，－1)}
[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D的集合表示方法有误，排除D．
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( D )
A．{1,2} B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)} D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
[解析] x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2．
∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )
A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析] 选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4．
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是( ABD )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
[解析] 选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
5．下列集合中，不同于另外三个集合的是( C )
A．{x|x＝2 020} B．{y|(y－2 020)2＝0}
C．{x＝2 020} D．{2 020}
[解析] 选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 020，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
6．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( D )
A．{x|－3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|－3＜x＜11}
C．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈N}
D．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
[解析] 因为所求的数为偶数，所以可设为x＝2k，k∈Z，又因为大于－3且小于11，所以－3＜x＜11，即大于－3且小于11的偶数所组成的集合是{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}．故选D．
7．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( D )
A．3 B．6
C．8 D．10
[解析] 由A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，当x＝5时，y＝4,3,2,1，当x＝4时，y＝3,2,1，当x＝3时，y＝2,1，当x＝2时，y＝1，所以B＝{(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)}，所以B中所含元素的个数为10．
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝__{0,1}__．
[解析] A＝{－1,0,1}，当x＝－1，或1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴B＝{0,1}．
二、填空题
9．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__．
[解析] 集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－，此时A＝，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1．
10．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__．
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6．
∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
三、解答题
11．已知集合A＝，试用列举法表示集合A．
[解析] 由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2，而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝，当a＝时，A＝．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0．
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤． 1.1.1集合的概念与表示
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是( )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
7．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
9．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
10．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( )
A．3∈A，－1 A B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A D．3 A，－1 A
二、填空题
11．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17____A；－5____A；17____B．
12．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为____．
13．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“∈”或“ ”)．
14．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)____P(填“∈”或“ ”)．
三、解答题
15．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
16．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 020＋b2 020的值．
17．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
1.1.1集合的概念与表示
一、选择题
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( D )
A．3.14 B．－5
C． D．
[解析] 由题意知元素a为无理数，故选D．
2．下列各项中，不可以组成集合的是( C )
A．所有的正数 B．等于2的数
C．接近于0的数 D．不等于0的偶数
[解析] 由集合元素的特性知C不能组成集合，故选C．
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( C )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0，它们分别是x，－x，－x，－x，x．最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
6．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( B )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
[解析] ∵－1 N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．
7．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( D )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3．又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
9．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( BC )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，
∴－2 A；
令3k－1＝－11，
解得k＝－，－ Z，∴－11 A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．故选BC．
10．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1 A B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A D．3 A，－1 A
[解析] 当x＞0，y＞0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x＞0，y＜0时，z＝1－1－1＝－1；
当x＜0，y＞0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x＜0，y＜0时，z＝－1－1＋1＝－1．
所以3∈A，－1∈A．故选ACD．
二、填空题
11．用适当的符号填空：
已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则17__∈__A；－5__ __A；17__∈__B．
[解析] 令3k＋2＝17，得k＝5,5∈Z，所以17∈A；令3k＋2＝－5，得k＝－，－ Z，所以－5 A；令6m－1＝17，得m＝3,3∈Z，所以17∈B．
12．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__．
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0．
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0．
13．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__ __A，广州__∈__A(填“∈”或“ ”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
14．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)__∈__P(填“∈”或“ ”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P．
三、解答题
15．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2．解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2．故M含有两个元素－1,2．
16．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 020＋b2 020的值．
[解析] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1．
17．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1．
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1．
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2,1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－．
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5．
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
