【夺冠冲刺】第二章 有理数及其运算阶段性复习精选精练（含解析）

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第二章 有理数及其运算
一、单选题
1．在2，－4，－3，5中，任选两个数的积最小的是（　　）
A．－12 B．－15 C．－20 D．－6
2．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103
3．的相反数为（ ）
A． B．2020 C． D．
4．的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
5．绍兴是一个充满生机和活力的地域，它古老而又年轻，区域内人口约为501万人．则501万用科学记数法可表示为（ ）人．
A．501×104 B．50.1×105 C．5.01×106 D．0.501×107
6．数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移个单位长度得到点．则点表示的数是（ ）
A． B．或
C． D．或
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如果，，，那么这四个数中负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个或3个
9．地球绕太阳公转的速度约为，数字110000用科学记数法表示应为（ ）
A． B．
C． D．
10．数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（ ）．
A．－5 B．－1 C．1 D．5
二、填空题
11．已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b） （a﹣b）是正数，其中正确的序号是 _____．
12．计算：（1）________；（2）________.
13．计算:的结果是____________.
14．已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若=1，则a=__________．
15．a、b互为有理数，且，，则a是 _____数（填“正”或“负”）
16．东京与北京的时差为，伯伯在北京乘坐早晨的航班飞行约到达东京，那么李伯伯到达东京的时间是____．（注：正数表示同一时刻比北京时间早的时数）
17．在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为________．（任意写出一个即可）
三、解答题
18．计算
(1)
(2)
19．计算
（1）；
（2）[÷(－)×]4－3×(－3)3－(－5)2．
20．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-9，+8，-7，+14，-6，+13，-5．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28.5升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
21．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方.
如：2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)等. 类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③，读作“2 的圈 3 次方”. (-3)÷(-3)÷(-3 )÷( -3)记作(-3)④，读作“-3 的圈 4 次方”.
一般地，把（a≠0）记作，记作“a 的圈 n 次方”.
(1)直接写出计算结果：2③= ，(-3)⑤ = ， ⑤=
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，
请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈 n 次方等于 .
(3)计算 24÷23+ (-8)×2③.
参考答案：
1．C
【分析】由于负数比正数小，则计算-4×5=-20，-3×5=-15，-4×2=-8，-3×2=-6，而|-20|=20，|-15|=15，|-8|=8，|-6|=6，于是得到-20＜-15＜-8＜-6．
【详解】∵ 4×5= 20， 3×5= 15， 4×2= 8， 3×2= 6，
而| 20|=20，| 15|=15，| 8|=8，| 6|=6，
∴ 20< 15< 8< 6，
故选C.
【点睛】此题考查有理数大小比较，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则.
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【详解】的相反数为－（-2020）=2020．
故选B．
【点睛】此题考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义．
4．A
【分析】根据有理数的乘方和倒数定义计算即可．
【详解】解：，的倒数为－4；
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方和倒数的定义，解题关键是明确倒数的定义，熟练运用相关法则进行计算．
5．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：501万=5010000=5.01×106，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．
6．D
【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是 3，左移7个单位，得 3 7＝ 10，
点A表示的数是 3，右移7个单位，得 3＋7＝4，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
7．C
【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．
【详解】解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．D
【分析】根据几个不为零的有理数相乘，负因数的个数是奇数个时积是负数，可得答案．
【详解】由abcd<0，a+b=0，cd>0，得a,b一个正数，一个是负数，
c,d同正或同负，这四个数中的负因数有1个或三个，
故选D.
【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则
9．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>1时， 是正数，当原数的绝对值<1时，是负数．
【详解】将110000用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10．B
【分析】根据数轴上点的坐标特点及平移的性质解答即可．
【详解】解：根据题意：数轴上2所对应的点为A，
将A点左移3个单位长度，得到点的坐标为2-3=-1，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上的点与实数对应关系及图形平移的性质等有关知识．
11．③④##④③
【分析】根据相反数的性质和绝对值的性质判断即可；
【详解】∵若a、b互为相反数，
∴，
∴当a，b不为0时，＝﹣1，故①不正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
∵a+b＜0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，＜0 ，
∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，
故③正确；
∵|a|＞|b|，
∴，
∴，
∴（a+b） （a﹣b），故④正确；
∴正确的是③④．
故答案是③④．
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，绝对值的性质，准确分析判断是解题的关键．
12． -7 -81
【分析】直接根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
【详解】（1）原式=0-7=-7；
（2）-81×（-）×（- ）=-81；
【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
13．50
【分析】将除法变成乘法进行计算，然后再算减法.
【详解】解：，
故答案为50.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
14．1或3
【分析】根据已经得到：a+b=2 b+c=0 且c=1,便可求出a．
【详解】解：根据已知有：
b+c=0 且c=1,
当c=1时，b=-1，则a=3
当c=-1时，b=1，则a=1
综上a=1或者3
【点睛】本题考查绝对值的定义，应当分类讨论求值．
15．负
【分析】根据有理数的乘法运算法则即可求解．
【详解】∵
∴a,b同号
又
∴a,b均为负数
故答案为：负．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知有理数的乘法运算法则．
16．时
【分析】根据题意，9点先加上3个小时，再加上时差的1个小时，得到达到东京的时间．
【详解】由题意得，
李伯伯到达东京是下午时．
故答案是：13时．
【点睛】本题考查有理数加法的实际应用，解题的关键是掌握有理数加法运算法则．
17．3（答案不唯一，3，2，1，0，-1，-2，-3任意一个均可）
【分析】根据数轴特点，判定出答案为：±3，±2，±1，0中任意写出一个即可．
【详解】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：-3，3，,-2，2，-1，1，0从中任选一个即可
故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，-1，-2，-3任意一个均可）
【点睛】本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18．(1)24
(2)5
【解析】(1)
12+（-5）-7-（-24）
解：原式 ＝12－5－7+24
＝12+24－5－7
＝36－12
＝24
(2)
-12020-（-）×
解：原式＝－1－（-）×24
＝－1－14+20
＝20－15
＝5
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序以及运算法则是解题的关键．
19．（1）2；（2）137
【分析】（1）先计算乘方，去绝对值把除法变为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先把除法变为乘法，再算乘方，最后计算除法，即可求解．
【详解】解：（1）原式=-1+（-2）×3+9=2；
（2）原式=[]4－3×(－3)3－(－5)2 =81+81-25=137.
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
20．(1)B地在A地的东边23千米
(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油
(3)最远处离出发点28千米
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
（1）解：∵15-9+8-7+14-6+13-5=23（千米），答：B地在A地的东边23千米；
（2）解：这一天走的总路程为：15+|-9|+8+|-7|+14+|-6|+13|+|-5|=77（千米），
应耗油77×0.5=38.5（升），故还需补充的油量为：38.5-28.5=10（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油；
（3）解：∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-9=6（千米）；6+8=14（千米）；14-7=7（千米）；7+14=21（千米）；21-6=15（千米）；15+13=28（千米）；28-5=23（千米），∴最远处离出发点28千米．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则．
21．（1），，-8；（2）它的倒数的n-2次方；（3）－1.
【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到规律即可；
（3）利用得出的结论计算即可得到结果．
【详解】（1）2③=2÷2÷2=，
(-3)⑤ =(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=，
⑤=÷÷÷÷=-8，
故答案为，，﹣8；
（2）===，
故答案为这个数倒数的（n﹣2）次方；
（3）24÷23+（﹣8）×2③
=24÷8+（﹣8）×
=3+（﹣4）
=﹣1．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
试卷第1页，共3页
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