【夺冠冲刺】第二章 一元二次方程阶段性复习精选精练（含解析）

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第二章 一元二次方程
一、单选题
1．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
4．关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
5．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
6．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A． B．
C． D．
7．设方程的两根分别是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m ，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．
13．关于的方程，k=_____时，方程有实数根．
14．若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
15．如果关于x的方程x2﹣3x+k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k的值是___．
16．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝_____时，这个二次三项式的值等于﹣1．
17．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
三、解答题
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
19．水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．
(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；
(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；
(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．
20．解下列方程．
(1)x2＋2x＝0；
(2)2x2－3x－1＝0．
21．为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同．
（1）求这种药品每次降价的百分率是多少？
（2）已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？
参考答案：
1．A
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【详解】△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
2．C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3．B
【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．
【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）= b2﹣4b﹣12= (b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0， b-6＜0，
∴(b+2)(b-6) ＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．
4．B
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
5．B
【分析】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【详解】解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以或．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
6．A
【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】解：设房价定为x元，
根据题意，得
故选A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
7．A
【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【详解】由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
8．D
【分析】按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.
【详解】∵x2 2x m=0，
∴x2 2x=m，
∴x2 2x+1=m+1，
∴(x 1)2=m+1．
故选D．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．
9．D
【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，
由题意得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键．
10．C
【分析】先移项，再两边开平方可得解．
【详解】解：由原方程可得：x2=1，
两边开平方可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
11．（12-x）（8-x）=77
【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【详解】道路的宽为x米．依题意得：
(12-x)(8-x)=77，
故答案为(12-x)(8-x)=77.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．
12．1
【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm ，则cm ，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm ，cm
∵△PQC的面积为3cm2，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
13．
【分析】由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：①当时，直接进行求解；②当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定k的取值范围，最后综合①②即可求出满足题意的k的取值范围．
【详解】解：①当时，方程化为：，
解得：，符合题意；
②当时，
∵方程有实数根，
∴，
即，
解得：，
∴且；
综上所述，当时，方程有实数根，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键．
14．
【分析】根据和解得的值．
【详解】由题意得
∴或
∵
∴
∴舍去
故
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和绝对值方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和绝对值方程的相关知识．
15．
【分析】根据判别式的意义得到Δ=（-3）2-4k=0，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：根据题意得Δ=（-3）2-4k=0，
解得k=．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
16．﹣1或﹣5
【详解】由时，代数式的值等于，可得，求解m的值，可得二次三项式，然后令二次三项式的值等于，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程即可．
【解答】解：由时，代数式的值等于，可得，
解得：
∴二次三项式为
令二次三项式的值为得：
移项得：
∴
解得，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程．解题的关键在于求出的值，熟练运用因式分解解一元二次方程．
17．84
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），
∴x﹣4＝4，
∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
故答案为：84
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
（1），∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
19．(1)每天的总毛利润为7820元；
(2)每千克应涨价5元；
(3)每千克应涨价15元或元
【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；
（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；
（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．
（1）
解：设每千克盈利x元，可售y千克，
设y=kx+b，
则当x＝10时，y＝600，
当x＝11时，y＝600﹣20＝580，
由题意得，，
解得．
所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，
当x＝17时，y＝460，
则每天的毛利润为17×460＝7820元；
（2）
解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，
由题意得x（﹣20x+800）＝7500，
解得：x1＝25，x2＝15，
∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，
∴每千克应涨价15﹣10＝5元；
（3）
解：设每千克盈利x元，
由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，
解得：x1＝25，x2，
则每千克应涨价25﹣10＝15元或10元．
【点睛】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．
20．(1)x1＝－2，x2＝0．
(2)x1＝，x2＝
【分析】（1）采用因式分解法即可求解；
（2）直接用公式法即可求解．
(1)
原方程左边因式分解，
得：，
即有：x1＝－2，x2＝0；
(2)
∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，掌握求根公式是解答本题的关键．
21．（1）；（2）不亏本，见解析
【分析】（1）设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，求解即可得出结论；
（2）根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格×(1-20%)，即可求出再次降价后的价格，将其与100元进行比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
依题意，得： ，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这种药品每次降价的百分率是20%；
（2）128×(1-20%)=102.4，
∵102.4＞100，
∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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