沪教版（五四学制）数学八上 19.10 两点间的距离公式 练习（含解析）

19.10两点间的距离公式
一、单选题
1．已知A、B两点关于原点对称，且A(3，4)，则AB为（　　　）
A．5 B．6 C．10 D．8
2．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　）
A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上
C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　）
A．±1 B．1 C． D．±
4．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
5．点（3,-1）到原点的距离为（ ）
A． B．3 C．1 D．
6．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（　　）
A．（6，0） B．（0，1） C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0）
7．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为，到原点的距离为，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若点M(3，-2)与点N(x、y)在同一条平行于x轴的直线上，且MN=1，则N点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
9．已知A（2，）和B（3，—3）两点，若线段ＡＢ平行于轴，则＝___，AB＝_____．
10．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝____．
11．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标______．
12．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为______．
13．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于_____．
14．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有_____个．
15．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x=________．
16．已知、、，在内求一点．使最小，则点的坐标是______．
三、解答题
17．已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状．
18．如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．
参考答案
1．C
【分析】
关于原点对称的的的特征是，横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，据此解题即可．
【解析】
B两点关于原点对称，且A（3，4），那么B；根据两点的距离公式可得AB=10
故选：C．
【点睛】
本题考关于原点对称的点的特征，是常见考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
2．B
【分析】
利用两点的距离公式，可得AB= 5，AC= 3，BC= 2，因为AB=AC+BC可得点A 、点B、点C在同一条直线上
【解析】
∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，
∴AB===5，
AC= ==3，
BC= ==2，
∴AB=AC+BC,
∴点A 、点B、点C在同一条直线上.
故选：B
【点睛】
此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键.
3．D
【分析】
根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可．
【解析】
解：∵点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，
∴x2+4x2=25，解得x=±．
故选：D．
【点评】
本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解答此题的关键．
4．D
【分析】
本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根即可解出a、b、c的值，在进行比较即可
【解析】
根据，
将A、B两点坐标代入可得，即c=
将A、C两点坐标代入可得，即b=
将B、C两点坐标代入可得，即a=
所以c>a>b，选D
【点睛】
本题的关键是利用两点间距离公式求出a，b，c的值，在进行比较
5．D
【分析】
直接利用两点间的距离公式计算即可．
【解析】
解：点（3，-1）到原点的距离=．
故选D．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=.
6．D
【解析】
到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点．
解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON=3，MN=4．根据勾股定理就可以求得OM=5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN=ON=3．
∴点A的坐标是（6，0）．故选D．
7．C
【解析】
试题分析：设Ｐ点坐标为,因为P到X轴的距离与到y轴的距离之比为,所以，又因为P到原点的距离为，所以，即，因为点P在第三象限内，所以所以点P的坐标为.
故选Ｃ．
考点：１．平面直角坐标系；２.勾股定理．
8．D
【解析】
分析：根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据求出，然后写出点N的坐标即可．
详解：∵点M(3, 2)与点N(a,b)在同一条平行于x轴的直线上，
∴
∵
∴ 或，
∴点N的坐标为(4, 2)或(2, 2).
故选D.
点睛：考查图形与坐标，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，难点在于要分类讨论.
9． －3 1
【分析】
平行于x轴，则点的纵坐标相同，据此解答．
【解析】
线段ＡＢ平行于轴，点A、B的纵坐标相等，故y＝－3，
，
故填：－3；1．
【点睛】
本题考查坐标的特征、线段长度与坐标的关系，平行于x轴，则纵坐标相同是关键．
10．8或0
【分析】
根据两点的距离公式解答即可.
【解析】
根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，
故答案为：8或0.
【点睛】
此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.
11．，，，
【分析】
本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可
【解析】
解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4；
②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3
综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）
【点睛】
本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理
12．或
【分析】
根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可
【解析】
解：
因为∠ACB=90°，C点在x轴上，
所以
即，整理得，
解得
所以点C坐标为（-4,0）或（1,0）
【点睛】
本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理
13．5．
【分析】
根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=
【解析】
A. B两点间的距离为：AB== =5,
故答案为5,
故答案是：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．
14．3
【分析】
【解析】
解：点A的坐标是（3，4），因而OA=5，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点就是以点A为圆心，以5为半径的圆与坐标轴的交点，圆与坐标轴的交点是原点，另外与两正半轴有两个交点，共有3的点．所以坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有3个．
故答案是：3．
【点睛】
正确确定满足条件的点是解决本题的关键．
15．-3或7.
【解析】
试题解析：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，
∴AB==5，
解得x=-3或x=7．
考点：两点间的距离公式．
16．
【分析】
本题考查的是两点间距离公式和对完全平方公式的理解与掌握，设点P（x，y），由两点间距离公式，推出，整理后得到，根据最小值即可求出答案
【解析】
解：设点P（x，y），则由两点间距离公式有
因为要使上式的值最小，所以需要x-1=0，y+1=0，
所以x=1,y=-1，
即点P坐标为（1，-1）
【点睛】
本题的关键是根据两点间距离公式推出
17．ABC是等腰直角三角形，见解析
【分析】
利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题．
【解析】
利用两点的距离公式，可得
AB= ，
AC= ，
BC= ，
所以AC=BC，AB2=AC2+BC2
所以△ABC是直角三角形，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查两点间距离公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.
【分析】
以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．
【解析】
解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，
根据题意可知,
设P(x,0)，则
整理得：，
解得．
故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．