【夺冠冲刺】第七章 平行线的证明阶段性复习精选精练（含答案）

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第七章 平行线的证明
一、单选题
1．如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题的逆命题一定成立的是（ ）
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③全等三角形的周长相等；
④能够完全重合的两个三角形全等．
A．①②③ B．①④ C．②④ D．②
3．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．75° B．65°
C．40° D．30°
4．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
5．能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（ ）
①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
8．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（　　）
A．10° B．20° C．40° D．50°
9．在中，，则为（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
10．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．
12．说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是_______.
13．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
14．如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
15．如图，当∠ABC，∠C，∠D满足条件______________时，AB∥ED．
16．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
17．“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_________．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
(1)当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
(2)求证：CF＝FG＋CE．
19．如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，．求证：BE∥CF
20．如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：．
21．在四边形ABCD中，，．
(1)如图①，若，求出的度数；
(2)如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
(3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
参考答案：
1．B
【分析】根据全等三角形的性质得出ED=AC，∠E=∠A，据此即可一一判定，得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△EFD，
∴ED=AC，∠E=∠A，故C错误，
∴ED-CD=AC-CD，，故B正确，
∴EC=AD，故A错误，
AC与ED在一条直线上，故D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
2．C
【分析】求出各命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：①对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题不符合题意；
②同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，符合题意；
③全等三角形的周长相等. 逆命题为：周长相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
④能够完全重合的两个三角形全等. 逆命题为：两个全等三角形能够完全重合，是真命题，符合题意；
故逆命题成立的是②④，
故选C．
【点睛】本题主要考查命题与定理，熟悉掌握逆命题的求法是解本题的关键．
3．B
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，
∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．
4．B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
5．C
【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
B、如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
C、如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；
D、如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
6．A
【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A ∠D，代入即可求出∠P．
法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．
【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD ∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A ∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A ∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD ∠ABD＝58°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，
即∠P＝48° （∠ACD ∠ABD）＝19°．
故选A.
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
7．C
【分析】①根据三角形的中线直接进行判断即可；
②一般三角形一条边上的中线不一定是这条边所对的角的平分线；
③根据“SAS”直接进行判断即可；
④根据三角形全等的性质直接判定∠F＝∠DEC，根据平行线的判定方法得出结果；
⑤根据全等三角形的性质可以判定CE＝BF，不能判定CE＝AE．
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，故①正确；
②∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
③在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠F＝∠DEC，
∴，故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误；
综上分析可知，①③④正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，是解题的关键．
8．C
【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小易知∠OPM＝∠OP＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQ＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小，
∴∠OPM＝∠OP＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQ＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180° α）＝∠AOB＋∠MQP＝20°＋（180° β），
∴180° α＝40°＋（180° β），
∴β α＝40°，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称 最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．B
【分析】根据分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．
【详解】∵
∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x
根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
因此△ABC是直角三角形
故答案选择B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的基本概念．
10．C
【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
11．∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
【详解】解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
12．x=-3,答案不唯一
【分析】当x=-3时，满足x＞-4，但不能得到x2＞16，于是x=-3可作为说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例．
【详解】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．105
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．##140度
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15．∠ABC＝∠C＋∠D
【分析】延长CB交DE于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFB=∠C+∠D，再根据同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】如图，延长CB交DE于F，
则∠EFB=∠C+∠D，
当∠ABC=∠EFB时，AB∥ED，
所以，当∠ABC=∠C+∠D时，AB∥ED．
故答案为∠ABC=∠C+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，作辅助线，把∠C、∠D转化为一个角的度数是解题的关键．
16．∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断（答案不唯一）．
【详解】解：若，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
17．锐角三角形是等边三角形
【分析】交换题目中的题设和结论即可．
【详解】解：原命题“等边三角形是锐角三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”，
结论是“这个三角形是锐角三角形”，
互换条件和结论可得到逆命题“如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形是等边三角形”．简化为“锐角三角形是等边三角形”，
故答案为：锐角三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查了命题与逆命题，能准确找到命题中的题设和结论是解题的关键．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
（1）解：在△ABC中，∵∠A＝80°，∴，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，，，∠EDC=∠DBC+∠DCB；
（2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：
平分，，在和中，，，，，，为的一个外角，，为的一个外角，，平分，，，∠A＝2∠BDF，在和中，，，，，．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的做辅助线是解决问题的关键．
19．证明见解析
【分析】由AB⊥BC，BC⊥CD，根据垂直的定义可得：∠ABC=∠DCB=90°，由∠1=∠2，根据等式的性质可得：∠CBE=∠BCF，然后根据内错角相等两直线平行可得：BE∥CF．
【详解】∵AB⊥BC，BC⊥CD，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABC ∠1=∠DCB ∠2，
∴∠CBE=∠BCF，
∴BE∥CF.
【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于根据垂直的定义得到∠ABC=∠DCB=90°
20．证明见解析
【分析】由全等三角形的性质证明结合，证明从而可得结论.
【详解】解： ，
，
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用四边形内角和进行角的计算即可；
（2）利用四边形内角和及角平分线的计算得出，再由三角形外角的性质求解即可；
（3）利用角平分线得出，，结合三角形内角和定理即可得出结果．
(1)
解：∵四边形的内角和是360°，，
∴
∵
∴
(2)
∵，，
∴，
∵CE平分
∴
∵
∴
(3)
∵BE，CE分别平分和
∴，
∴
∴在中，．
【点睛】题目主要考查四边形内角和及平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
试卷第1页，共3页
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