【夺冠冲刺】第四章 图形的相似阶段性复习精选精练（含解析）

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图形的相似
一、单选题
1．如果，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中不正确的是（　　）
A．任意两个等边三角形相似
B．有一个锐角是40°的两个直角三角形相似
C．有一个角是30°的两个等腰三角形相似
D．任意两个正方形相似
3．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
4．点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）
A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
6．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
7．与的相似比为1:3，则与的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
8．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
9．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=AB； ②四边形ABDE是菱形；③；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C，O，在同一直线上
C． D．
二、填空题
11．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是_____元．
12．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
13．若，则________．
14．如图，△ABC与△是位似图形，点是位似中心，若，，则=________．
15．在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm．
16．如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压______．
17．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．
三、解答题
18．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
19．如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
21．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：△CAE≌△BAD；
（2）求证：△AMN∽△ABC；
（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解本题的要点根据题意可设a，b的值，从而求出答案．
2．C
【分析】直接利用相似图形的性质分别分析得出答案．
【详解】A．任意两个等边三角形相似，说法正确；
B．有一个锐角是 40°的两个直角三角形相似，说法正确；
C．有一个角是 30°的两个等腰三角形相似，30°有可能是顶角或底角，故说法错误；
D．任意两个正方形相似，说法正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的相似，正确把握相似图形的判定方法是解题关键．
3．C
【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案
【详解】解：设它的最大边长为，
∵两个四边形相似，
∴，
解得，
即该四边形的最大边长为．
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．
4．C
【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．
【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：
如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；
如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；
如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；
如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．
5．A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．
故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6．A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．C
【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．
【详解】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8．A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
9．D
【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，
又∵OD=OB，
∴OG是△BDA是中位线，
∴OG=AB，
故①正确；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB，
∴是菱形，
故②正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=AB；③的关键是通过相似得出面积之间的关系．
10．C
【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．
【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
、点在同一直线上、、，
，
即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
11．1080
【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【详解】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【点睛】此题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
12．5
【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
14．16
【分析】题干已知△ABC与△是位似图形，利用面积相似比进行分析求解.
【详解】解：△ABC与△是位似图形，得到,利用相似图形，面积比即是对应线段比的平方比得到，由，得到=16.
【点睛】本题考查位似图形，利用相似图形的面积比即是对应线段比的平方比，从而分析求解.
15．4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，
∴GD=4.5cm，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
16．60
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．
【详解】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∴，
∵AC与BC之比为6：1，
∴，即AM=6BN；
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．
故答案为：60．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
17．或
【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．
【详解】解：∵D为AB中点，
∴，即，
取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
综上，的值为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
（1）
如图，为所作．
（2）
如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；
（2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可.
【详解】解：（1）∵△PCD∽△ABP，
∴∠CPD=∠BAP，
故作∠CPD=∠BAP即可，
如图，即为所作图形，
（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，
∴∠BAP =∠ABC，
∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，
即∠CPD =∠ABC，
∴PD∥AB.
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法.
20．(1)4
(2)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝，∴BD＝BC－CD＝，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；
（2）解：如图．∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴＝．∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴＝，＝．∴＝．∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，∴．
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
21．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（3）取AC的中点F，连接FN，过点N作NG⊥AC于点G，由于点N是CE的中点，易证得∠GFN=∠EAC=60°，所以∠FNG=30°，从而求出AG=4，NG=，在Rt△ANG中，根据勾股定理即可求出AN=．
【详解】（1）∵∠BAC=∠AE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠EAC=∠DAB，
在△CAE与△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）；
（2）由（1）得△CAE≌△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，CE=BD，
∵M、N分别是BD，CE的中点，
∴CN=BM，
在△CAN与△BAM中，
，
∴△CAN≌△BAM（SAS），
∴AN=AM，∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN，
即∠CAB=∠NAM，
∵AC=AB，AN=AM，
∴，
∴△AMN∽△ABC；
（3）取AC的中点F，连接FN，过点点N作NG⊥AC于点G，
∵点N是CE的中点，
∴NF∥AE，NF=AE=2，
∴∠GFN=∠EAC=60°，
∴∠FNG=30°，
∴FG=FN=1，
∴AG=1+3=4，NG==，
在Rt△ANG中，根据勾股定理可知：AN=．
【点睛】本题考查三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，以及勾股定理，本题属于中等题型．
试卷第1页，共3页
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