2022-2023学年华东师大版九年级数学上册21.3二次根式的加减 同步知识点分类练习题（word、含解析）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《21.3二次根式的加减》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．可以合并的二次根式
1．计算
（1）（+）÷
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
（3）根式与是可以合并的最简二次根式，则b﹣a的值为多少？
二．二次根式的加减法
2．已知，则＝　 　．
3．已知xy＝3，那么的值是　 　．
4．我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）若3与x是关于1的平衡数，5﹣与y是关于1的平衡数，求x，y的值；
（2）若（m+）×（1﹣）＝﹣2n+3（﹣1），判断m+与5n﹣是否是关于1的平衡数，并说明理由．
5．已知，求的值．
6．已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）＝0，求a+b的值．
7．计算+．
8．若+＝，求﹣的值．
9．设a＝+++…+，问与a最接近的整数是多少？
10．已知：m，n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn．设p＝+，则p（　 　）．
A、总是奇数；B、总是偶数；C、有时是奇数，有时是偶数；D、有时是有理数，有时是无理数．
请选出答案，并给出证明过程．
三．二次根式的混合运算
11．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，
∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
12．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（ 　 　+　 　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
13．已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．
14．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，如：
（1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方．
（2）将下列等式补充完整＝　 　（a≥0 b≥0），并证明这个等式．
（3）若且a、m、n均为正整数，则a＝　 　．
四．二次根式的化简求值
15．已知x＝，则4x2+4x﹣2021＝　 　．
16．观察下面的式子：
S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…Sn＝1++
（1）计算：＝　 　，＝　 　；猜想＝　 　（用n的代数式表示）；
（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．
17．已知+＝0，求的值．
18．若x2﹣x+2＝0，求：的值．
19．先化简，再求值： ，其中．
20．阅读此题的解答过程，回答问题：
化简：（0＜a＜2b）．
解：原式＝…①
＝…②
＝…③
＝…④
＝
（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号　 　；
（2）请写出错误的原因：　 　；
（3）写出本题的正确解答过程．
21．已知：（0＜a＜1），求代数式的值．
22．已知a＝﹣，求代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值．
23．已知，x、y满足，求（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y）的值．
24．已知自然数x、y、z满足等式，求x+y+z的值．
五．二次根式的应用
25．阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数， 这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一 列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到 的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的 瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质， 在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第n个数可以用 表示（其中n≥1），这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
26．已知：a、b、c为正实数，且a+b+c＝1．
（1）比较大小：a2　 　a；
（2）试判断与4的大小关系，并说明理由．
参考答案
一．可以合并的二次根式
1．解：（1）（+）÷
＝（4+2）÷
＝6÷
＝6；
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
＝3﹣1+1﹣3
＝0；
（3）∵根式与是可以合并的最简二次根式，
∴，
解得：，
则b﹣a＝1﹣3＝﹣2．
二．二次根式的加减法
2．解：设m＝，n＝，
那么m﹣n＝2①，m2+n2＝+＝34②．
由①得，m＝2+n③，
将③代入②得：n2+2n﹣15＝0，
解得：n＝﹣5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
所以＝n+2m＝13．
3．解：因为xy＝3，所以x、y同号，
于是原式＝x+y＝+，
当x＞0，y＞0时，原式＝+＝2；
当x＜0，y＜0时，原式＝﹣+（﹣）＝﹣2．
故原式＝±2．
4．解：（1）根据题意可知：3+x＝2，
解得x＝﹣1，
5﹣+y＝2，
解得y＝﹣3+；
（2）（m+）×（1﹣）＝﹣2n+3（﹣1），
∴m﹣m+﹣3＝﹣2n+3﹣3，
∴m+2n﹣2﹣m＝0，
①当m和n均为有理数时，
则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，
解得：m＝﹣2，n＝1，
当m＝﹣2，n＝1时，
m++5n﹣＝﹣2++5﹣＝3≠2，
所以m+与5n﹣不是关于1的平衡数；
②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，
m++5n﹣＝m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，
所以m+与5n﹣不是关于1的平衡数；
③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，
∵m+2n﹣2﹣m＝0，
解得m＝，n＝，
使得m+与5n﹣是关于1的平衡数，
当m≠，n≠时，
m+与5n﹣不是关于1的平衡数，
综上可得：当m＝，n＝时，m+与5n﹣是关于1的平衡数，否则m+与5n﹣不是关于1的平衡数．
5．解：由题意得：＝0，＝0，
解得：a＝+2，b＝﹣2，
＝＝5．
6．解：∵﹣（b﹣1）＝0，
∴+（1﹣b）＝0．
∵≥0，（1﹣b）≥0，
∴1+a＝0、1﹣b＝0，
解得：a＝﹣1、b＝1，
则a+b＝﹣1+1＝0．
7．解：设a＝n+2+，b＝n+2﹣，
∴a+b＝2（n+2），ab＝（n+2）2﹣（n2﹣4）＝4（n+2），
∴原式＝+，
＝，
＝，
＝﹣2，
＝﹣2，
＝n．
8．解：因为+＝，所以（+）2＝（）2，
x++2＝5，所以x+＝3．
所以x++1＝4，x+﹣1＝2．
即＝4，＝2．
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
9．解：∵n为任意的正整数，
∴＝
＝＝＝1+，
∴a＝+…+（1+）
＝2020++…+
＝2020+（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+
因此，与a最接近的整数是2021．
10．解：选A；
证明：由已知得n＝m+1，
则q＝mn＝m（m+1），q+n＝m（m+1）+（m+1）＝m2+m+m+1＝m2+2m+1＝（m+1）2
q﹣m＝m（m+1）﹣m＝m2，
∴p＝+＝m+1+m＝2m+1，
所以p为奇数．
三．二次根式的混合运算
11．解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
12．解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
13．解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，
∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，
∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
14．解：（1）10+2＝7+2+3＝（）2+2 +（）2＝（+）2；
（2）＝（﹣）2；
证明如下：＝（）2+（）2﹣2 ＝（﹣）2；
（3）∵，
∴a+2＝m+2+n，
∴m+n＝a，mn＝15，
而a、m、n均为正整数，
∴m与n的值为3和5或1和15，
∴a的值为8或16．
故答案为（﹣）2；8或16．
四．二次根式的化简求值
15．解：方法一：∵x＝，
∴4x2+4x﹣2017
＝（2x+1）2﹣2022
＝（+1）2﹣2022
＝（+1）2﹣2022
＝（+1）2﹣2022
＝3﹣2022
＝﹣2018．
故答案为；﹣2018．
方法二：∵x＝＝＝＝＝，
∴4x2+4x﹣2021
＝（2x+1）2﹣2022
＝（2×+1）2﹣2022
＝（）2﹣2022
＝（）2﹣2022
＝3﹣2022
＝﹣2018，
故答案为：﹣2018．
16．（1）解：∵S1＝1++＝，
∴＝＝；
∵S2＝1++＝，
∴＝；
∵S3＝1++＝，
∴＝；
∵Sn＝1++＝，
∴＝＝，
故答案为：，，；
（2）解：S＝+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝n+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝n+1﹣，
＝．
17．解：∵≥0，≥0，
又∵+＝0，
∴a﹣，b﹣+2＝0，
即a＝，b＝﹣2
∴a2+b2+7＝（）2+（﹣2）2+7
＝5+4+4+5﹣4+4+7
＝25
∴
＝
＝5．
18．解：∵x2﹣x+2＝0，
∴x2﹣x＝﹣2，
则原式＝＝＝＝．
19．解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣＜0，
∴a +
＝a（2﹣a） +
＝﹣a+
＝﹣（2﹣）+
＝﹣2++2+
＝2．
20．解：（1）从第④步开始出现错误．
（2）∵0＜a＜2b，
∴2b﹣a＞0，
∴a﹣2b＜0，
∴|a﹣2b|＝2b﹣a，
故答案为：负数的绝对值等于它的相反数，不等于它本身．
（3）原式＝，
＝，
＝ ，
＝ ，
＝﹣
21．解：∵，
∴x＝a++2，
x﹣2＝a+，（x﹣2）2＝（a+）2
即：x2﹣4x＝a2+﹣2＝（a﹣）2
∴原式＝ ﹣＝（x﹣2）2﹣＝（a+）2﹣，
∵0＜a＜1，∴a﹣＜0，
∴原式＝
＝
＝a2+2．
22．解：∵a＝﹣＝﹣3+，
∴a3+5a2﹣4a﹣6
＝a3+6a2+9a﹣（a2+6a+9）+﹣7a+3
＝a（a+3）2﹣（a+3）2﹣7a+3
＝7a﹣7﹣7a+3
＝﹣4．
23．解：∵且，
∴y﹣2x＝0，
∴x＝1，y＝2；
（x+y）+（x2+2y）+（x3+3y）+…+（x199+199y），
＝（1+2）+（1+4）+（1+6）+…+（1+398），
＝3+5+7+…+399，
＝，
＝39999．
24．解：由 ＝，
即x﹣y﹣z＝2﹣2，∵x、y、z为自然数，∴左边为整数，右边也为整数，但为无理数，
只有左右两边都是零，或存在整数k（k≠0），使得2﹣2＝k，只有k＝0时才成立，从而，
∵＝≥0，
∴y≥z，
∴或者，故x+y+z＝2（y+z）＝14或10．
五．二次根式的应用
25．解：第1个数，当n＝1时，
（﹣）＝×＝1；
第2个数，当n＝2时，
[（）2﹣（）2]
＝（+）（﹣）
＝×1×
＝1．
26．解：（1）∵a、b、c为正实数，且a+b+c＝1，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴a2＜a，
故答案为：＜；
（2）＞4，
理由：方法一：∵
＝3a+1+3b+1+2
＝3（a+b）+2+2
＞[3（a+b）+1]+2
＝
∴，
同理可证，＞，
∴＞＞，
∵a+b+c＝1，
∴＝，
即＞4．
方法二：由（1）知a2＜a，则b2＜b，c2＜c，
∴＝＞
＝a+1+b+1+c+1＝a+b+c+3，
∵a+b+c＝1，
∴a+b+c+3＝4，
即＞4．