2022—2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 优生辅导练习题 （word、含解析）

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》优生辅导练习题（附答案）
1．已知m+n＝3，m﹣n＝2，则n2﹣m2＝　 　．
2．若x2﹣y2＝16，x+y＝8，则x﹣y＝　 　．
3．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝　 　．
4．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值 　 　．
5．已知a2+a﹣1＝0，则代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）值为 　 　．
6．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝　 　（结果可用幂的形式表示）．
7．计算：12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002＝　 　．
8．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据这一规律计算：22020+22019+22018+…+22+2+1的结果是 　 　．
9．（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为 　 　．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为 　 　．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为 　 　．
10．若a+＝3，则a2+＝　 　．
11．若a+＝3，则a﹣＝　 　．
12．已知x+＝3，那么＝　 　．
13．若x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，则实数m＝　 　．
14．若多项式4x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 　 　．
15．若4x2﹣12xy+k2y2是完全平方式，则k＝　 　．
16．现有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张（边长如图）．要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，乙纸片4张，还需取丙纸片 　 　张．
17．阅读学习：
数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．
如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是a+b，宽是a﹣b，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（1）观察图3，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式　 　．
（2）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　 　．
（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据．
18．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
19．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，，求x﹣y的值．
（3）变式应用：若（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7，求（2020﹣m）（m﹣2021）．
20．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：　 　；
方法2：　 　．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
参考答案
1．解：∵m+n＝3，m﹣n＝2，
∴（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2＝3×2＝6，
∴n2﹣m2＝﹣6，
故答案为：﹣6．
2．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝16，x+y＝8，
∴x﹣y＝16÷8＝2．
故答案为：2．
3．解：由（2m+5）（2m﹣5）＝15，得4m2﹣25＝15．
解得m2＝10．
故答案是：10．
4．解：∵m﹣n＝3，
∴原式＝（m﹣n）（m+n）﹣6n＝3（m+n）﹣6n＝3m﹣3n＝3（m﹣n）＝9．．
故答案为：9．
5．解：（a+2）（a﹣2）+a（a+2）
＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4
＝2（a2+a）﹣4．
∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1．
∴原式＝2×1﹣4＝﹣2．
故答案为：﹣2．
6．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1），
＝（28﹣1）（28+1），
＝216﹣1．
7．解：原式＝（12﹣22）+（32﹣42）+…+（992﹣1002）
＝（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）
＝﹣（1+2）﹣（3+4）﹣…﹣（99+100）
＝﹣（1+2+3+4+…+99+100）
＝﹣5050．
故本题答案为：﹣5050．
8．解：观察代数式可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，
把x＝2，n＝2020代入得，
22020+22019+22018+…+22+2+1
＝（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），
＝22021﹣1．
故答案为：22021﹣1．
9．解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．
故答案为：10；
（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，
∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，
∴xy＝4，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝9．
故答案为：9；
（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，
∴（x﹣2021）2＝5．
故答案为：5．
10．解：∵a+＝3，
∴＝32
a2+2+＝9
∴＝7，
故答案为：7．
11．解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴﹣4＝，
∴a﹣＝±．
12．解：∵x+＝3，
∴x2+＝（x+）2﹣2＝7，
∴＝（x2+）2﹣2＝47．
13．解：∵x2﹣（m﹣1）x+49是完全平方式，
∴﹣（m﹣1）＝±14，
解得：m＝15或﹣13．
故答案为：15或﹣13．
14．解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴4x2+kx+25＝（2x）2+kx+52＝（2x±5）2，
∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，
∴kx＝±20x，解得k＝±20．
故答案为：±20．
15．解：∵4x2﹣12xy+k2y2＝（2x）2﹣2×2x×3y+（ky）2，
∴k2y2＝（3y）2，
∴k＝±3．
故答案为：±3．
16．解：∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴还需取丙纸片4张．
故答案为：4．
17．解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）图4所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（3）如图所示：
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
18．解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝×＝．
19．解：（1）∵图2面积可表示为（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）题结论（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴a﹣b＝±，
∴当x+y＝5，时，
x﹣y＝±
＝
＝
＝
＝±4，
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝，
∴当（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7时，
（2020﹣m）（m﹣2021）
＝
＝
＝
＝﹣3．
20．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）
＝x﹣2021+x﹣2023
＝2x﹣4044
＝2（x﹣2022），
由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．