2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.6应用一元二次方程---九年级同步复习小测　（word、含解析）

2.6应用一元二次方程---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．2018年第一季度，某企业营收入比2017年同期增长12%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长10%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．2x＝12%+10%
B．（1+x）2＝1+12%+10%
C．1+2x＝（1+12%）（1+10%）
D．（1+x）2＝（1+12%）（1+10%）
2．直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A． B．5 C． D．7
3．某农场的粮食产量在两年内从2800吨增加到3090吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列的方程为(　　)
A．2800（1+2x）=3090 B．（1+x）2=290
C．2800（1+x）2=3090 D．2800（1+x2）=3090
4．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形.设长方形的长为xcm，则可列方程为（　　）
A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64
C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64
5．某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为(　　)
A．(1+x)2=2000 B．2000(1+x)2=3600
C．(3600-2000)(1+x)=3600 D．(3600-2000)(1+x)2=3600
7．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．25
8．从正方形铁片上截取2cm宽的一个矩形，剩余矩形的面积为80cm2，则原正方形的面积为（　　）
A．100 cm2 B．121 cm2 C．144 cm2 D．169 cm2
二、填空题
9．若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为　 　 ．
10．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是　 　m.
11．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，若设有x家公司出席了这次交易会，则可列方程为：　 　.
12．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽.设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为　 　.
13．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　 　．
14．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续的正偶数是　 　.
15．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是　　 　 　米．
16．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　 　．
三、解答题
17．将一段铁丝围成面积为 的矩形，且它的长比宽多 ，求矩形的长．
18．如图，某课外活动小组利用一面墙(墙足够长)，另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB、BC的长。
19．青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．
20．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x>0）.求这两段铁丝的总长.
【能力提升】
一、单选题
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3=（10﹣x）2 B．x2﹣32=（10﹣x）2
C．x2+3=（10﹣x）2 D．x2+32=（10﹣x）2
2．如图是由三个边长分别是2，3和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　）
A．1或4 B．2或3 C．3或4 D．1或2
3．某地2015年投入教育经费1200万元，预计2017年投入教育经费3600万元，若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则根据题意下列方程正确的是（　　）
A．1200（1+x）2=3600
B．1200+1200（1+x）+1200（1+x）2=3600
C．1200（1﹣x）2=3600
D．1200（1+x）+1200（1+x）2=3600
4．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地。上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度。设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）
A．（30-x）（20-x）= ×20×30
B．（30-2x）（20-x）= ×20×30
C．30x+2×20x= ×20×30
D．（30-2x）（20-x）= ×20×30
5．2019年第一季度，安徽省某企业生产总值比2018年同期增长14%，2020年第一季度受新冠肺炎疫情影响，生产总值比2019年同期减少了9%，设2019年和2020年第一季度生产总值平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．2x=14%-9%
B．（1+x）2=1+14%-9%
C．（1+x）2=（1+14%）（1-9%）
D．1+2x=（1+14%）（1-9%）
二、填空题
6．一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为　 　．
7．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有　 　队参加比赛
8．根据题意列出方程：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm，请列出你求解的方程　 　 ．
9．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出　 　个小分支．
10．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是　 　.
三、解答题
11．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 ），另外三边利用学校现有总长 的铁栏围成，留出2米长门供学生进出.若围成的面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽.
12．某商场今年二月份的营业额为400万元，三月份由于经营不善，其营业额比二月份下降10%．后来通过加强管理，五月份的营业额达到518.4万元．求三月份到五月份营业额的月平均增长率．
13．如图，某农场有一块长40m， 宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2， 求小路的宽
14．小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即 ），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”.
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取 ＝1.4， ＝1.7， ＝2.2）
15．某小区在绿化工程中有一块长为 ，宽为 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
16．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．
【基础复习答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解：设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，
则可列方程（1+x）2＝（1+12%）（1+10%），
故答案为：D．
【分析】设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，再根据企业营收入比2017年同期增长12%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长10%，列出方程即可解答
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得
x（7﹣x）=6，
解得：x1=3．，x2=4，
由勾股定理，得
斜边为： =5．
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的面积求出量直角边的长，进而根据勾股定理得出答案。
3．【答案】C
【解析】【解答】从2800吨增加到3090吨，增长年数为2，增长率为x，则方程为：
2800（1+x)2=3090．
故选C．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中的增长率问题．关键是明确增长的基数，增长次数，增长后的值．
4．【答案】B
【解析】【解答】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20-x）cm，
根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x（20﹣x）=64，
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积=长×宽可列方程.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：有x个球队参加比赛，
根据题意可列方程为：x（x1）=30，
解得：或（舍去）；
∴共有6支队伍参赛；
故答案为：C
【分析】根据题意可设有x个球队参加比赛，由此列出方程解之即可。
6．【答案】D
【解析】【分析】2010年的房价为3600元，比2008年的上涨了2000元，即2008年房价为(3600-2000)元，而两年的平均增长率为x，则到了2010年的房价为(3600-2000)(1+x)2元，即3600元，由此可以列出方程式为：
(3600-2000)(1+x)2=3600
故选择D。
【点评】此类题目万变不离其宗，学生可以尝试多做此类题目，将会发现其中的规律。
7．【答案】C
【解析】【解答】由题意，第一轮会有 人被传染，
第二轮会有 人被传染，
则 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
故答案为：C.
【分析】根据每轮传染中平均一个人传染m人，分别把第一轮和第二轮被传染的人分别表示出来，再根据两轮过后患者总数为625，列出方程求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设正方形边长为xcm，依题意得：
x2=2x+80，
解方程得x1=10，x2=﹣8（舍去），
所以正方形的面积是10×10=100（cm2），
故选：A．
【分析】从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，所截去的长方形的长是正方形的边长，设边长是xcm，即可表示出截取的长方形的面积，根据剩余矩形的面积为80cm2，即正方形的面积=截去的长方形的面积+80cm2．即可列出方程求解．
9．【答案】3或0
【解析】【解答】设这个数是x， =3x
=3x
【分析】设这个数是x，根据一个数的平方等于这个数的3倍，列出方程，求解即可。
10．【答案】2
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，依题意得
(40-2x)(26-x)=864，
解之得
x1=44（舍去），x2=2.
故答案为：2.
【分析】设小道的宽为x米，利用平移的知识知： 种植花草的矩形的长和宽分别为（40-2x）、（26-x），再根据矩形的面积=矩形的长×宽可列关于x的方程，解方程可求解.
11．【答案】 x(x 1)=78
【解析】【解答】解：设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得
x(x 1)=78.
故答案为： x(x 1)=78.
【分析】设有x家公司出席了这次交易会，由题意可知每个公司要签订（x-1）份合同，则共签订合同x(x-1)份，结合题意可列方程.
12．【答案】x（16-2x）=30
【解析】【解答】解：由题意得：生物园的长为
则由长方形的面积公式得：x（16-2x）=30
故答案为：x（16-2x）=30.
【分析】由题意得：生物园的长为(16-2x)m，然后利用矩形的面积公式进行解答.
13．【答案】4m或6m
【解析】【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30-3x）m，
根据题意得：x（30-3x）＝72，
整理得：x2-10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
【分析】根据花圃的面积是72m2，可得x（30-3x）＝72，再计算求解即可。
14．【答案】14，16
【解析】【解答】解：设较小的正偶数为x，则较大的正偶数为x+2，根据题意得
x（x+2）=224
解之：x1=14，x2=-16
∵x＞0
∴x=14，
∴x+2=16.
故答案为：14，16.
【分析】设较小的正偶数为x，可表示出较大的正偶数，再根据两个连续正偶数的积为224，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出这两个连续的正偶数.
15．【答案】12
【解析】【解答】解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）=120，
解得：x=12或x=﹣10（舍去），
故答案为：12．
【分析】根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
16．【答案】x（20﹣x）=64
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=64．
故答案为：x（20﹣x）=64．
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
17．【答案】解：设矩形的长为 cm，则 解得： （不合题意，舍去），答：矩形的长为15cm．
【解析】【分析】实际中矩形的长不可能为负数，所以舍去 ．
18．【答案】解：设边AB的长为xm． 根据题意，得 ． 解得 ． ∴AB=5，BC=20-2×5=10． ∴边AB的长为5m，边BC的长为10 m
【解析】【分析】 设边AB的长为xm ,根据等量关系，列出一元二次方程，即可求解.
19．【答案】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，
则有：7200（1+x）2=8450，
解得：x1= ≈0.0833，x2=﹣ =﹣2.0833（应舍去）．
∴水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%
【解析】【分析】本题依据题中的等量关系水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设增长率是x，则2003年的产量是7200（1+x）2据此即可列方程，解出后检验即可．
20．【答案】解：由已知得，正五边形周长为5（x2+17）cm，正六边形周长为6（x2+2x）cm，
∵正五边形和正六边形的周长相等，
∴5（x2+17）=6（x2+2x），
整理得x2+12x-85=0，配方得（x+6）2=121，
解得x1=5，x2=-17（舍去），
故正五边形的周长为5（52+17）=210(cm).
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
答：这两段铁丝的总长为420cm.
【解析】【分析】根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长即可求两段铁丝的总长．
【能力提升答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2．
故答案为：D
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理建立方程，即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，补全图形，
∵直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴ （2+3+x）×3﹣x（3﹣x）＝ ×（2+3+x）×3﹣2×1，
解得x＝1或x＝2，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出方程求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵年平均增长率为x，
∴两年后变为原来的 ，
∴可列方程1200（1+x）2=3600
故选A.
4．【答案】B
【解析】【解答】解： 设花带的宽度为xm，
根据题意得：（30-2x）（20-x）= ×20×30，
故答案为：B.
【分析】 设花带的宽度为xm，得出矩形空地的长为（30-2x）m，宽为（20-x）m，根据题意得出矩形空地的面积是原矩形面积的，列出方程即可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】∵2019年的生产总值为（1+14%），
∴2020年的生产总值为（1+14%）（1-9%），
得到方程为（1+x）2=（1+14%）（1-9%），
故答案为：C.
【分析】根据题意得到2019年的生产总值为（1+14%），2020年的生产总值为（1+14%）（1-9%），由此列方程即可.
6．【答案】10（x+2）+x=3x2
【解析】【解答】解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，
由题意得，10（x+2）+x=3x2．
故答案为10（x+2）+x=3x2．
【分析】设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．
7．【答案】10
【解析】【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为 场，
根据题意列出方程得： =45，
整理，得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为 场.根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可.
8．【答案】（x+5）（x+2）=54　
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xm，
那么长方形的两边应该为：x+5，x+2，
∴（x+5）（x+2）=54．
故答案为：（x+5）（x+2）=54．
【分析】如果设正方形的边长为xm，那么长方形的两边应该为：x+5，x+2，根据面积相等可列出的方程．
9．【答案】7
【解析】【解答】设每个支干长出x个小分支，
根据题意得： ，
解得： , (不符题意，舍去).
答：每个支干长出7个小分支．
答案是：7.
【分析】设每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，列出方程，即可求解.
10．【答案】25或36
【解析】【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得：
∴
∴
∴x-3=2或3.
答：这个两位数是25或36.
故答案为：25或36.
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解.
11．【答案】解： 现有总长 的铁栏围成，需留出2米长门
∴设 ，则 ；
根据题意列方程 ，
解得 ， ；
当 ， （米），
当 ， （米），而墙长 ，不合题意舍去，
答：若围成的面积为 ，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米.
【解析】【分析】设自行车车棚的宽AB为x米，则长为（38-2x）米，根据矩形的面积公式，即可列方程求解即可．
12．【答案】解：设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，
根据题意得，400×（1-10%）（1+x）2=518.4，
解得，x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：三月份到五月份营业额的月平均增长率为20%．
【解析】【分析】设三月份到五月份营业额的月平均增长率为x，则四月份的营业额400×（1-10%）（1+x），五月份的营业额为400×（1-10%）（1+x）2，列出方程求解即可．
13．【答案】解：设小路的宽为xm，依题意有
（40-x）（32-x）=1140，
整理，得x2-72x+140=0．
解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2m
【解析】【分析】设小路的宽为xm，采用平移法，可得出种植部分是边长为40-x和32-x的矩形，利用矩形的面积公式建立方程，解方程求出符合题意条件的x（0＜x＜32）的值。
14．【答案】解：设 ，则 ，
∴由题意得：当 即 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 ，
当 即 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴此时主持人从A点到B点走 ，
∴综上所述，主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
答：主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体.
【解析】【分析】设AC=xm，则BC=(20-x)m，当BC2=AC·AB时，代入求解可得x，进而可得主持人从A点到B点走的距离；当AC2=BC·AB时，同理可得主持人从A点到B点走的距离，据此解答.
15．【答案】解：设人行道的宽度为 米，根据题意得
， （不合题意，舍去）
答：人行道的宽度是 ．
【解析】【分析】设人行道的宽度为 米，根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】解：设参加酒会的人数为x人，
依题意，得： x（x﹣1）＝105，
整理，得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数有15人
【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．