2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性 解答专项练习题（word、含解析）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》
解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE＝5cm，∠CAD＝32°，求CD的长度及∠B的度数．
3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
4．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
6．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
7．已知，如图，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．
8．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
9．如图，△ABC中，∠C＝90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝CF，求证：
（1）DE＝DC；
（2）BD＝DF．
10．如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．
11．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
12．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
13．利用网格线用三角尺画图，
（1）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；
（2）在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；
（3）在射线BP上找一点Q，使得QA＝QC．
14．如图所示，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为点M、N．
（1）若△ADE的周长为16，求BC的长；
（2）若∠BAC＝108°，求∠DAE的度数．
15．如图，在Rt△ABC中DE为AB的垂直平分线．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
16．如图，在△ABC中，BC＝36，DG，EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求△DAE的周长．
17．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，且BC＝11cm，△BCD的周长等于26cm．
（1）求AC的长；
（2）若∠A＝36°，且BC＝BD，求证：AB＝AC．
19．如图，点D到△ABC三边的距离相等，连接BD、AD，BD的延长线交AC于点E，∠ADE＝50°，求∠C的度数．
20．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长．
21．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．
23．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10cm，求△DBE的周长．
参考答案
1．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
2．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE＝5cm，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAD＝2×32°＝64°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣64°＝26°．
3．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
4．证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD．
5．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
6．证明：在△ABD和△CBD中，AB＝BC（已知），
∠ABD＝∠CBD（角平分线的性质），
BD＝BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN（角平分线的性质）．
7．证明：∵BD⊥AM，CE⊥AN，
∴∠CDF＝∠BEF＝90°，
在△CDF和△BEF中，
，
∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴DF＝EF，
∴点F在∠A的平分线上．
8．证明：∵点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD＝PE，∠DOP＝∠EOP，∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴∠DPF＝90°﹣∠DOP，∠EPF＝90°﹣∠EOP，
∴∠DPF＝∠EPF，
在△DPF和△EPF中
，
∴△DPF≌△EPF（SAS）
∴DF＝EF．
9．证明：（1）∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DC；
（2）在△BDE和△FDC中，
，
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴BD＝DF．
10．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF．
11．解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
12．解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
13．解：如图所示：
14．解：（1）∵DM和EN分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∵△ADE的周长为16，
∴AD+DE+EA＝16，
∴BD+DE+EC＝16，即BC＝16；
（2）∵DM和EN分别为AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝72°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝72°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝108°﹣72°＝36°．
15．解：（1）∵DE为AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝14（cm）；
（2）设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴x+2x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
则∠B＝2x＝36°．
16．解：∵DG，EF分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴△DAE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝36．
17．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
18．（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长等于26cm，
∴BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝26（cm），
∵BC＝11cm，
∴AC＝26﹣11＝15（cm）；
（2）证明：∵DA＝DB，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°，
∵BC＝BD，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ABC＝36°+36°＝72°＝∠C，
∴AB＝AC．
19．解：∵点D到△ABC三边的距离相等，
∴BD、AD分别为∠CBA、∠CAB的平分线，
∵∠ADE＝50°，
∴∠DBA+∠DAB＝50°，
∴∠CBA+∠CAB＝2（∠DBA+∠DAB）＝100°，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°．
20．解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
又∵DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE∥BC；
（2）如图，过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，
∴AD＝FD，
∵S△BCD＝26，BC＝13，
∴×13×DF＝26，
∴DF＝4，
∴AD＝4．
21．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
22．证明：作OH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，OE⊥BC，OH⊥AB，
∴OE＝OH，
∵∠ACB＝90°，∠FCO＝45°，
∴CO平分∠ACB，
∵OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE＝OF，
∴OF＝OH，
∴点O在∠BAC的平分线上．
23．解：求△DBE的周长，即求DE+EB+BD的值．
∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
可证△ACD≌△AED．∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，
∴DE+EB+BD＝DC+EB+BD＝BC+EB＝AC+EB＝AE+EB＝AB．
又∵AB＝10cm，
∴△DBE的周长＝DB+BE+DE＝10cm．
∴△DBE的周长是10cm．