2022——2023学年人教版数学八年级上册12.3 角的平分线的性质 同步练习 （word、含解析）

八上（人教版）_第十二章 全等三角形_12.3 角的平分线的性质
一、选择题（共7小题）
1. 如图， 中，， 平分 ，，垂足为 ，如果 ，，那么 的周长为
A. B. C. D.
2. 到三角形三边距离相等的点是
A. 三角形三条高线的交点 B. 三角形三条中线的交点
C. 三角形三条角平分线的交点 D. 不存在这个点
3. 如图，在直角坐标系中， 是 的角平分线，点 的坐标是 ，那么点 到 的距离是
A. B. C. D.
4. 如图所示，下列推理中正确的个数是
①因为 平分 ，点 ，， 分别在 ，， 上，
所以 ；
②因为点 在 上，，，
所以 ；
③因为点 在 上，，，且 平分 ，
所以 ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线 上的一个动点，若 ，则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 如图， 中，， 平分 ，交 于点 ，，，则 的长为
A. B. C. D.
7. 如图，在 中，， 的平分线 ， 交于点 ，连接 并延长交 边于点 ，则 是 的
A. 角平分线 B. 中线 C. 高 D. 以上都不对
二、填空题（共10小题）
8. 已知点 在 的平分线上，且点 到 的距离为 ，则点 到 的距离为 ．
9. 如图， 的平分线上一点 到 的距离为 ， 是 上任意一点，则 的范围是 ．
10. 如图，点 到 两边的距离相等，若 ，则 ．
11. 如图，，根据角平分线性质，填空：
（）若 ，则 ；
（）若 ，则 ．
12. 如图， 是 的平分线上的一点， 于点 ， 于点 ，写出图中相等的线段 ．
13. 如图，在 中，， 是 的平分线，交 于点 ，若 ，，则 的面积是 ．
14. 如图，已知 的平分线与 的平分线交于点 ，过点 分别向 ， 作垂线，垂足是 ，，则点 的平分线上．（填“在”或“不在”）
15. 如图，已知在四边形 中，，，，点 ， 分别在 ， 边上，判断以下推理写法是否正确
（） ，，，
点 在 的平分线上．
（） ，，，
点 在 的平分线上．
（） ，，，
点 在 的平分线上．
16. 在 中，， 的平分线交 于点 ，（），，则 的面积是 ；（），，则 的面积是 ．
17. 如图，在 中，， 的平分线交于点 ， 于点 ，如果 ，，，且 ，那么 ．
三、解答题（共19小题）
18. 如图，已知 ，求作： 的平分线 ．
19. 尺规作图．
（1）作一条射线，把如图所示的 分成两部分，使这两部分的比为 （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
利用尺规作图，作 ，不写作法，保留作图痕迹．
20. 如图，点 在 的 边上，且 ．
（1）作 的平分线 ，交 于点 （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线 与直线 的位置关系（不要求证明）．
21. 如图， 是 中 的平分线， 于点 ，，，．求：
（1）；
（2） 的长．
22. 没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的角平分线吗 下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗 请说明理由．
（）小彬的做法：
如图 ①，角平分线刻度尺画法：
① 利用刻度尺在 的两边上分别取 ；
② 连接 ，利用刻度尺画出 的中点 ；
③ 画射线 ．
射线 为 的平分线．
（）小红的做法：
如图 ②，角平分线三角板画法：
① 利用刻度尺在 的两边上分别取 ；
②分别过 ， 画 ， 的垂线，交点为 ；
③ 画射线 ．
射线 为 的平分线．
23. 如图，已知 中，， 是 中点， 于点 ， 于点 ．求证： 平分 ．
24. 如图，已知 于点 ， 于点 ，， 交于 ，．求证 ．
25. 已知，如图，，， 于点 ， 于点 ．求证 ．
26. 如图， 平分 ，在 ， 边上取 ，点 在 上，且 ，．
（1）求证：；
（2）判断 与 的大小关系，并加以证明．
27. 如图，在 中， 是它的角平分线．求证：．
28. 如图，公路 ，公路 交公路 于点 ，交公路 于点 ，若要建一汽车旅店，使其到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处 请利用尺规作图标出正确的地址．
29. 如图，，，，．求证 ．
30. 如图，，，．又 ，垂足为 ．求证 ．
31. 如图，已知 ， 是 中点， 平分 ．求证： 平分 ．
32. 如图，在 中，，，，．
（1） 内是否有一点 到各边的距离相等 如果有，请利用尺规作图作出这一点，并说明理由；
（2）求这个距离．
33. 如图，，以点 为圆心，小于 长为半径作圆弧，分别交 ， 于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 ，作射线 ，交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，垂足为 ，求证：．
34. 四边形 中， 平分 ， 于点 ，．求证 ．
35. 已知 ，请你在下列各图中判断点 到 三边的距离是否相等，并证明你的结论．
（）如图①，已知内角 ， 的平分线交于点 ；
（）如图②，已知内角 的平分线与外角 的平分线交于点 ；
（）如图③，已知 的外角 和 的平分线 ， 交于点 ．
36. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“ ”、“ ”、“ ”、“ ”）和直角三角形全等的判定方法（即“ ”）后，我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在 和 中，，，
，然后，对 进行分类，可分为“ 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
（1）第一种情况：当 是直角时，．
如图①，在 和 ，，，，根据 ，可以知道 ．
（2）第二种情况：当 是钝角时，．
如图②，在 和 ，，，，且 、 都是钝角，
求证：．
（3）第三种情况：当 是锐角时， 和 不一定全等．
①在 和 中，，，，且 、 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 ，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
② 还要满足什么条件，就可以使 请直接写出结论：在 和 中，，，，且 、 都是锐角，若 ，则 ．
答案
1. C
2. C
3. A
4. B
5. B
【解析】当 时， 有最小值，
平分 ，，
．
6. A
7. A
8.
9.
10.
11. ，，，
12. ，
13.
14. 在
15. 正确，不正确，不正确
16. ，
17.
18.
作法：
①以O为圆心，任意长为半径，画弧交AO，BO于点M，N；
②再分别以M、N为圆心，适当长为半径画弧，交于点P；
③连接OP，射线OP即为所求．
19. （1） 如图 .
（2） 如图 即为所求．
20. （1） 如图所示， 即为所求．
（2） 平行．
21. （1） ．由图可知，，
．
（2） 过点 作 于 ．
是 中 的平分线，，，
．由图可知 ，
，解得 ．
22. 小彬、小红的做法都正确．
分析小彬的做法：因为 ，，（公共边），
所以 ，
因此，小彬的做法是正确的．
分析小红的做法：因为 ，（公共边），且 ，，
所以 ．
因此，小红的做法也是正确的．
23. 易证 ，得到 ，
根据角平分线的判定得到点 在 的平分线上，即 平分 ．
24. ，，，，
.
.
，
，
．
25. 连接 ，在 和 中，
．
，即 平分 ．
，，
．
26. （1） 平分 ，
．
又 ，，
，
．
（2） ，证明如下：
，
，
，，
．
27.
如图，过点 作 ，，垂足分别为 ，，
平分 ，
，
28. 可供选择的地址有 处，分别作 ， 的平分线相交于点 ，分别作 ， 的平分线相交于点 ，则点 ， 为符合条件的地址．作图如下：
29. ，
平分 ．
又 ，，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
在 与 中，
．
．
30. 因为 ，
所以 ，则 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 是 的平分线．
又因为 ，，
所以 ．
31.
如图，过点 作 于点 ，根据角平分线定理有 ，
根据已知条件有 ，则点 在 的平分线上，即 平分 ．
32. （1） 存在这一点，理由是：作 ， 的平分线，
它们的交点 为符合要求的点．如图所示，作 ，，，垂足分别为 ，，，
因为 是 的平分线，
所以 ；
因为 是 的平分线，
所以 ，
所以 ．
（2） 连接 ，
设 ．
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即这个距离为 ．
33. （1） ，
，
又 ，
．
由作法知， 是 的平分线，
．
（2） 由作法知， 平分 ，
．
，
，
，
又 ，
．
34. 过点 作 的延长线 于点 ．
因为 平分 ，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
所以 ，
所以 ，．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以
所以 ．
35. 在各图中，点 到 三边的距离都相等．在图①中分别作 ，，，垂足分别为 ，，．
点 在 的平分线上，
．
点 在 的平分线上，
，
，即点 到 三边的距离都相等．
在图②，图③中，这个结论仍然成立，证明方法与图①的证明方法相同．
36. （1）
（2） 如图，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ．
，且 、 都是钝角，
，即 ．
在 和 中，
，
．
在 和 中，
，
．
在 和 中，
．
（3） ①如图， 和 不全等；
②