2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 2.5三角函数的应用 解答专项练习题 （word、含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册 2.5三角函数的应用 解答专项练习题 （word、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 848.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-20 16:47:55 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》解答专项练习题（附答案）
1．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
2．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
3．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
4．如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
5．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
6．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
7．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
9．某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β β＝31°
测角仪到地面的距离 AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离 BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
11．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．
（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
12．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
13．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
14．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
15．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
16．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．
17．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角∠BAC＝30°，看台最低点A到最高点B的距离为米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）．
（1）求AE的长．（结果保留根号）
（2）已知旗杆上有一面旗在离地2米的F点处，这面旗以0.4米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要几秒？
18．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
19．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；
（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？
20．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
参考答案
1．解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝，
即≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．
2．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1，
∴CF＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2．
∴OD＝2≈4.5m．
3．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
4．解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
5．解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，
设CF＝xm，
∴CD＝CF+DF＝（x+3）m，
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
6．解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE tan33°≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民楼AB的高度约为59m．
7．解：如图，过点O，作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，延长CO交地平面于点E，
由题意可知，∠OAC＝37°，∠OBC＝45°，AB＝10m，AD＝45m，
设OC＝x米，
在Rt△BOC中，
∵∠OBC＝45°，
∴BC＝OC＝xm，
在Rt△AOC中，AC＝AB+BC＝（10+x）m，∠OAC＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得x≈30.0，
即OC＝30.0米，
∴OE＝CE﹣OC＝45﹣30.0＝15.0（m），
答：这栋楼的高度约是15.0米．
8．解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．
9．解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
10．解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
11．解：（1）由题意得：
∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，
在Rt△ACD中，CD＝7米，
∴AD＝≈＝14（米），
在Rt△BEF中，EF＝7米，
∴BF＝＝≈4.1（米），
∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），
∴A，B两点之间的距离约为760米；
（2）小汽车从点A行驶到点B没有超速，
理由：由题意得：
760÷38＝20米/秒，
∵20米/秒＜22米/秒，
∴小汽车从点A行驶到点B没有超速．
12．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
13．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝，
∴＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
14．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
15．解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
16．解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．
17．解：（1）由已知可得，
∠BAC＝30°，∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
作BG∥CD，
∴∠GBA＝∠BAC＝30°，
又∵∠EBG＝15°，
∴∠EBA＝45°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠EBA＝∠BEA，
∴AB＝AE，
∵AB＝米，
∴AE＝米，
即AE的长是米；
（2）∵AE＝米，∠EAD＝60°，∠EDA＝90°，
∴ED＝AE sin60°＝8×＝12（米），
∵DF＝2米，
∴EF＝10米，
∵旗杆上有一面旗在离地2米的F点处，这面旗以0.4米/秒的速度匀速上升，
∴这面旗到达旗杆顶端需要10÷0.4＝25（秒），
答：这面旗到达旗杆顶端需要25秒．
18．解：（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BN⊥ED交ED的延长线于点G，过点A作AK⊥BG于K，
则GE＝BH＝28cm，∠BDG＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠GBD＝90°﹣∠BDG＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝＝12（cm），
在Rt△BDG中，∠GBD＝30°，
∴GD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．
19．解：（1）过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC，
∵AB⊥BD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°，
∵∠BAE＝135°，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米），
答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米；
（2）由（1）得：∠BAN＝90°，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米），
当QD＝PC＝1.8m，
∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°，
在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米，
∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米，
∵2.412＜2.45，
∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸．
20．解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30 sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30 cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．
1．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
2．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
3．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
4．如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．
（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；
（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）
（参考数据．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
5．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
6．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．
7．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）
8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
9．某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β β＝31°
测角仪到地面的距离 AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离 BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．
（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）
11．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．
（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
12．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
13．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）
14．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
15．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
16．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．
17．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角∠BAC＝30°，看台最低点A到最高点B的距离为米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）．
（1）求AE的长．（结果保留根号）
（2）已知旗杆上有一面旗在离地2米的F点处，这面旗以0.4米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要几秒？
18．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠EDC的度数；
（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．
（结果保留小数点后两位．参考数据：）
19．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；
（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？
20．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）
参考答案
1．解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝，
即≈0.75，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：树BD的高度为13.6米．
2．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1，
∴CF＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2．
∴OD＝2≈4.5m．
3．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
4．解：（1）由题意得：
5分钟＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道车从A处运行到B处的距离约为300米，
故答案为：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度约为45米．
5．解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，
设CF＝xm，
∴CD＝CF+DF＝（x+3）m，
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
6．解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE tan33°≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民楼AB的高度约为59m．
7．解：如图，过点O，作OC⊥AB，交AB的延长线于点C，延长CO交地平面于点E，
由题意可知，∠OAC＝37°，∠OBC＝45°，AB＝10m，AD＝45m，
设OC＝x米，
在Rt△BOC中，
∵∠OBC＝45°，
∴BC＝OC＝xm，
在Rt△AOC中，AC＝AB+BC＝（10+x）m，∠OAC＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得x≈30.0，
即OC＝30.0米，
∴OE＝CE﹣OC＝45﹣30.0＝15.0（m），
答：这栋楼的高度约是15.0米．
8．解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，
由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．
在直角△DBC中，tan60°＝＝，则DC＝x米．
∴CE＝（x﹣80）米．
在直角△ACE中，tan60°＝＝＝．
解得x＝10+40．
答：小山BC的高度为（10+40）米．
9．解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
10．解：在Rt△BCD中，
∵BC的坡度为i1＝1：1，
∴＝1，
∴CD＝BD＝20米，
在Rt△ACD中，
∵AC的坡度为i2＝1：，
∴＝，
∴AD＝CD＝20（米），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），
∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．
11．解：（1）由题意得：
∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，
在Rt△ACD中，CD＝7米，
∴AD＝≈＝14（米），
在Rt△BEF中，EF＝7米，
∴BF＝＝≈4.1（米），
∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），
∴A，B两点之间的距离约为760米；
（2）小汽车从点A行驶到点B没有超速，
理由：由题意得：
760÷38＝20米/秒，
∵20米/秒＜22米/秒，
∴小汽车从点A行驶到点B没有超速．
12．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
13．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）解：如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
Rt△APG中，sinA＝，
∴＝0.96，
∴PG＝7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m．
14．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
15．解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
16．解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．
17．解：（1）由已知可得，
∠BAC＝30°，∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
作BG∥CD，
∴∠GBA＝∠BAC＝30°，
又∵∠EBG＝15°，
∴∠EBA＝45°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠EBA＝∠BEA，
∴AB＝AE，
∵AB＝米，
∴AE＝米，
即AE的长是米；
（2）∵AE＝米，∠EAD＝60°，∠EDA＝90°，
∴ED＝AE sin60°＝8×＝12（米），
∵DF＝2米，
∴EF＝10米，
∵旗杆上有一面旗在离地2米的F点处，这面旗以0.4米/秒的速度匀速上升，
∴这面旗到达旗杆顶端需要10÷0.4＝25（秒），
答：这面旗到达旗杆顶端需要25秒．
18．解：（1）过点D作DG⊥BH于G，则∠DGB＝90°，GH＝DE＝20cm，
∵BD＝40cm，
∴sin∠BDG＝，
∴∠BDG＝30°，
∴∠EDC＝90°+30°＝120°；
（2）在规定范围内，理由如下：
过点B作BN⊥ED交ED的延长线于点G，过点A作AK⊥BG于K，
则GE＝BH＝28cm，∠BDG＝180°﹣∠EDC＝60°，
∴∠GBD＝90°﹣∠BDG＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝75°﹣30°＝45°，
∴△ABK是等腰直角三角形，
∵AB＝24cm，
∴AK＝＝12（cm），
在Rt△BDG中，∠GBD＝30°，
∴GD＝BD＝20（cm），
又∵DE＝8cm，
∴EF＝48﹣20﹣8﹣123.03（cm），
∵规定范围为3cm﹣5cm，
∴在规定范围内．
19．解：（1）过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC，
∵AB⊥BD，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°，
∵∠BAE＝135°，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米），
答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米；
（2）由（1）得：∠BAN＝90°，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°，
在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米），
∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米），
当QD＝PC＝1.8m，
∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m，
当∠BAE＝150°时，
∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°，
在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米，
∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米，
∵2.412＜2.45，
∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸．
20．解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，
则FN＝AB＝15cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥BN，
∵∠ABC＝148°，
∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，
在Rt△CBN中，BC＝30cm，
∴CN＝30 sin58°≈30×0.85＝25.5（cm），
BN＝30 cos58°≈30×0.53＝15.9（cm），
∴AF＝BN＝15.9cm，
∴DM＝EF＝AE+AF＝9+15.9＝24.9（cm），
∵DM∥BN，
∴∠CGM＝∠CBN＝58°，
∴∠CDM＝∠CGM﹣∠DCB＝58°﹣28°＝30°，
在Rt△CDM中，CM＝DM tan30°＝×24.9≈14.36（cm），
∴MN＝CN﹣CM＝25.5﹣14.36＝11.14（cm），
∴MF＝MN+NF＝11.14+15≈26.1（cm），
∴DE＝MF＝26.1cm，
∴摄像头到桌面l的距离DE的长约为26.1 cm．