2022-2023学年北师大版九年级数学上册2.1认识一元二次方程 同步练习题（word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.1认识一元二次方程》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．若方程+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值等于（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
2．关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
3．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m＝﹣1或3 B．m＝3 C．m＝﹣1 D．m≠﹣1
4．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
5．把方程（2x﹣1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（　　）
A．4，1 B．6，﹣1 C．﹣2，﹣1 D．﹣4，1
6．下列叙述正确的是（　　）
A．形如ax2+bx+c＝0的方程叫一元二次方程
B．方程4x2+3x＝4不含有常数项
C．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
D．（3﹣y）2＝0是关于y的一元二次方程
7．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
8．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m3+n3﹣6mn的值为（　　）
A．﹣2 B．8 C．﹣6 D．﹣8
9．已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（　　）
A．﹣1 B．+1
C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1
10．若两个方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一个公共根，则（　　）
A．a＝b B．a+b＝0 C．a+b＝1 D．a+b＝﹣1
11．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2020，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　）
A． B．﹣ C．2020 D．﹣2020
二．填空题
12．若关于x的方程（a﹣1）x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　 　．
13．已知一个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为1，常数项为﹣2，则这个一元二次方程是　 　．
14．关于x的一元二次方程（x﹣4）（x+4）+3a（x+1）＝5a的一次项系数是　 　．
15．一元二次方程5x（1﹣x）＝3各项系数之和等于　 　．
16．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是　 　．
17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　 　．
18．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是　 　．
19．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　 　．
20．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　 　．
三．解答题
21．已知P＝（a﹣3+）÷．
（1）化简P；
（2）若a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，求P的值．
22．阅读材料：
已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，
把x＝代入已知方程，得（）2+，
化简得y2+2y﹣4＝0，
所以，所求方程为y2+2y﹣4＝0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”．
利用阅读材料提供的换根法求新方程：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为　 　．
（2）已知方程x2+3x﹣5＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为　 　．
23．已知：α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根（α＜β），
（1）求α、β，并通过计算求α+β的值；
（2）阅读范例，尝试解题．
示例：根据α+β的值，求α2+β2与α3+β3的值．
解：因为α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，
所以α2﹣α﹣1＝0，移项得：α2＝α+1 ①
同理可得：β2＝β+1 ②
由①+②得：α2+β2＝（α+1）（β+1）＝α+β+2
再根据α+β的值就可以求出α2+β2的值，
因为α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，
所以α2﹣α﹣1＝0，移项得：α2＝α+1；两边同乘以α得：α3＝α2+α③
同理可得：β3＝β2+β④
由③+④得α3+β3＝（α2+α）+（β2+β）＝（α2+β2）+（α+β）
由此可根据上述α+β、α2+β2的值求出α3+β3的值．
①运用上述方法，计算α5+β5的值？
②计算：+的值．（过程不作要求）
24．已知：a、b为实数，关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+b+3＝0的一个实根为a+1．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）求代数式b2﹣4a2+10b的值．
参考答案
一．选择题
1．解：由题意得，，
解得m＝﹣1，
故选：C．
2．解：∵关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，
可得a2+1不可能为0，
∴a 为任何实数．
故选：C．
3．解：由方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0，得
，
解得m＝3，
故方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝3．
故选：B．
4．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
5．解：因为（2x﹣1）（3x+1）＝x，
所以6x2+2x﹣3x﹣1＝x，
所以6x2﹣2x﹣1＝0，
这个方程的一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．
故选：C．
6．解：A、形如ax2+bx+c＝0 （a≠0）的方程叫一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程4x2+3x＝4的一般形式是4x2+3x﹣4＝0，常数项是﹣4，故B不符合题意；
C、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故C不符合题意；
D、（3﹣y）2＝0是关于y的一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
7．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a＝﹣2．
故选：C．
8．解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根
∴n2+mn+2n＝0
∵n≠0
∴方程两边同时除以n得：n+m+2＝0
∴m+n＝﹣2
∴m3+n3﹣6mn
＝（m+n）（m2﹣mn+n2）﹣6mn
＝﹣2[（m+n）2﹣3mn]﹣6mn
＝﹣2（m+n）2+6mn﹣6mn
＝﹣2×（﹣2）2
＝﹣8
故选：D．
9．解：x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2．
解得x＝±﹣1
∴（﹣x﹣2）÷
＝×
＝×
＝﹣（x2+3x）
＝﹣（x2+2x+x）
＝﹣（2+x）
当x＝﹣1时，
原式＝﹣（2±﹣1）
故选：C．
10．解：设公共根为x0，则 ．
①﹣②，得（a﹣b）（x0﹣1）＝0，
当a＝b时，方程可能有两个公共根，不合题意；
当x0＝1时，a+b＝﹣1．
故选：D．
11．解：把x＝2020代入一元二次方程ax2+bx+c＝0，得20202a+2020b+c＝0，
两边除以20202，得a+b+ c＝0，
∴c+b+a＝0，
∴是一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）的一根．
故选：A．
二．填空题
12．解：方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．解：x2+x﹣2＝0，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为﹣2，
故答案为：x2+x﹣2＝0．
14．解：（x﹣4）（x+4）+3a（x+1）＝5a，
去括号得：x2﹣16+3ax+3a＝5a，
移项得：x2﹣16+3ax+3a﹣5a＝0，
合并同类项得：x2+3ax﹣2a﹣16＝0，
即一次项系数为：3a，
故答案为：3a．
15．解：去括号：5x﹣5x2＝3，
移项：5x2﹣5x+3＝0，
二次项系数是5，
一次项系数是﹣5，
常数项是3，
所以它们的和是5+（﹣5）+3＝3．
故本题的结果是3．
16．解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
17．解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
18．解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2+2
＝﹣2（m2﹣2m）+2
＝﹣2×3+2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
19．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
20．解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题
21．解：（1）P＝（a﹣3+）÷
＝×
＝×
＝a2﹣3a；
（2）∵a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，
∴a2﹣a﹣2＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴P的值是6．
22．解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+x﹣2＝0，得（﹣y）2+（﹣y）﹣2＝0，
化简，得y2﹣y﹣2＝0．
故所求方程为：y2﹣y﹣2＝0．
故答案为：y2﹣y﹣2＝0．
（2）设所求方程的根为y，则y＝x+1，所以x＝y﹣1，
把x＝y﹣1代入方程x2+3x﹣5＝0，得（y﹣1）2+3（y﹣1）﹣5＝0，
化简，得y2+y﹣7＝0．
故所求的方程为：y2+y﹣7＝0．
故答案为：y2+y﹣7＝0．
23．解：（1）利用求根公式x＝，
将a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1代入得：，
则α+β＝1．
（2）①由实例可得：α2+β2＝3，α3+β3＝4，α4+β4＝（α3+β3）+（α2+β2）＝7．
因为α是方程x2﹣x﹣1＝0的一个实数根，
所以α2﹣α﹣1＝0，移项得：α2＝α+1；两边同乘以α3得：α5＝α4+α3③
同理可得：β5＝β4+β3④
由③+④得α5+β5＝（α4+α3）+（β4+β3）＝（α4+β4）+（α3+β3）＝7+4＝11．
②123．
24．（1）解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+b+3＝0的一个实根为a+1，
∴（a+1）2﹣（a﹣1）（a+1）+b+3＝0，
整理得：b＝﹣2a﹣5，
答：用含a的代数式表示b为：b＝﹣2a﹣5．
（2）解：由（1）得：b+2a＝﹣5，
∴b2﹣4a2+10b＝（b+2a）（b﹣2a）+10b，
＝﹣5（b﹣2a）+10b，
＝5b+10a，
＝5（b+2a）＝﹣25，
答：代数式b2﹣4a2+10b的值是﹣25．