2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定　同步达标测试题（word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（　　）
A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．4
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形
C．BC＝AE D．BE＝CE
6．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）
A． B．2 C．+1 D．2﹣1
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（　　）
A．四边形ACFD是平行四边形
B．BD2+FD2＝BF2
C．OE＝BD
D．面积关系：S△GEO＝S△ADO
二．填空题（共9小题，满分45分）
9．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝　 　时， ABCD是菱形．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　 　度．
11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　 　．
12．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为 　 　.（结果保留根号）
13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　 　．
14．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 　 　．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　 　．
16．如图，菱形ABCD的边长为17，对角线AC＝30，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．则EG＝　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE，分别取AE、OC的中点F、G，连接FG，若AC＝8，BD＝4，则线段FG的长为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分35分）
18．已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．
19．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
20．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF+ME．
21．如图，AE∥BF，点D、C分别是AE和BF上的点，连接AC、BD交于点O，此时OA＝OC．若AC＝6，BD＝8，AB＝5，AM⊥BC于M，解决下列问题：
（1）求证：OB＝OD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）求AM的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC＝∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．只有B能判定为是菱形，
故选：B．
2．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝3cm，OB＝4cm，
∴AB＝＝5（cm），
故选：A．
3．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE BC＝2．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE＝3，点E为线段CD的中点，
∴CD＝2OE＝6．
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×6＝24．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝，AC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴△AOB∽△ACE，
∴∠AOB＝∠ACE＝90°，＝，
∴△ACE是直角三角形，OB＝CE，AB＝AE，
∴BC＝AE，
故选：D．
6．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝24，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝24，
∴PE+PF＝，
故选：D．
7．解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝，
设AH＝x，则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD，DH⊥AB，
∴∠ADH＝∠ADB＝30°，
∴AD＝2x，DH＝x，
在Rt△DHE中，DH +HE ＝DE ，
∴（x） +（2﹣x） ＝（） ，
解得：x＝（负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
方法二：过点E作EH⊥AD于H．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，
∵CF＝BC，
∴CF＝AD，
∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；
∴AC∥DF，DG＝GC，
∴BD⊥DF，
∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；
∵DG＝GC，AE＝EC，
∴EG∥AD，AD＝2EG，
∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，
故选：C．
二．填空题（共9小题，满分45分）
9．解：当BD＝16时， ABCD是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝6，BO＝DO＝8，
∵AO2+BO2＝100，AB2＝100，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：16．
10．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故答案为：90．
11．解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
12．解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
13．解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，
∵F、H分别为CE、GE中点，
∴FH是△CEG的中位线，
∴HF＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DGE＝∠E，
∵∠EHF＝∠DGE，
∴∠E＝∠EHF，
∴HF＝EF＝CF，
∴CG＝2HF＝2，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠A＝60°，
设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，
∵点G为AD的中点，
∴DG＝x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
CG＝＝2，
∴x＝2，
∴AB＝CD＝2x＝4．
故答案为：4．
14．解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，
∴FH∥AB，
∴∠FHG＝∠AEG，
∵F是CE的中点，FH∥CD，
∴H是DE的中点，
∴FH是△CDE的中位线，
∴FH＝CD＝1，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∴AE＝FH，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG≌△FHG（AAS），
∴AG＝FG，
∵AD∥BC，
∴∠CBM＝∠DAB＝60°，
Rt△CBM中，∠BCM＝30°，
∴BM＝BC＝1，CM＝＝，
∴BE＝BM，
∵F是CE的中点，
∴FB是△CEM的中位线，
∴BF＝CM＝，FB∥CM，
∴∠EBF＝∠M＝90°，
Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝＝＝，
∴GF＝AF＝．
故答案为：．
15．解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，
∴AP是OO′的垂直平分线，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此时，OP+PE的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝BD＝，
∴AO＝＝＝，
∴AC＝2OA＝3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝AC＝，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝DAB＝30°，
∴OF＝OA＝，
∴OO′＝2OF＝，
在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，
∴OE+PE＝，
∴OP+PE的最小值为，
故答案为：．
16．解：连接BD，交AC于点O，如图，
∵菱形ABCD的边长为17，点E，F分别是边CD，BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝17，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝30，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝15，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在Rt△COD中，∵OC⊥OD，CD＝17，CO＝15，
∴OB＝OD＝8，
∴BD＝2OD＝16，
∴EG＝BD＝16．
故答案为：16．
17．解：延长AC至H，使CH＝OA，连接EH，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝4，
∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，
∴CH＝OA＝4，
∴OH＝OC+CH＝8，
∵BE＝BD＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
在Rt△OEH中，由勾股定理得：EH＝＝＝10，
∵G是OC的中点，
∴OG＝CG，
∴OA+OG＝CH+CG，
即AG＝HG，
∵F是AE的中点，
∴FG是△AEH的中位线，
∴FG＝EH＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共5小题，满分35分）
18．证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
∴DE＝DC，∠ADE＝∠ADC，
同理△AFE≌△AFC，
∴EF＝CF，
∵EF∥BC
∴∠EFD＝∠ADC，
∴∠EFD＝∠ADE，
∴DE＝EF，
∴DE＝EF＝CF＝DC，
∴四边形CDEF是菱形．
19．（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
20．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴MC＝MD，
∵ME⊥CD，
∴CD＝2CE，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴BC＝CD＝2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF＝CF＝BC，
∴CF＝CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠G，
∴AM＝MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
由图形可知，GM＝GF+MF，
∴AM＝DF+ME．
21．（1）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB＝OD；
（2）证明：∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵OB＝OD＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝5，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝AB＝5，
∴BC AM＝AC BD，
即5AM＝×6×8，
∴AM＝．
22．证明：（1）∵在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．