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九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
22.1.5二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）
抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？
向左平移
h个单位
向右平移
h个单位
口决：左加右减
y=ax2
向上平移
k个单位
y=ax2+k(k＞0)
y=ax2
向下平移
k个单位
y=ax2-k(k＞0)
口决：上加下减
猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
在直角坐标系中，画出二次函数 的图象.
1.先列表
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
2.在坐标系内，描点.
3.用平滑的曲线连线.
直线x=－1
1.抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
抛物线 的开口______、对称轴_________、顶点是_______.
向下
直线x=－1
直线x=－1
(-1,-1)
2.抛物线 的最值、增减性又如何？
(1)顶点都是最____点，函数都有最____值，最____值为_______;
(2) 当x＞-1(对称轴右侧)时_______________，当x＜-1时(对称轴左侧) _______________.
高
大
y=-1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
大
3.怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
平移方法1：
向下平移
1个单位
向左平移
1个单位
平移方法2：
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
(h＞0、k＞0)
上
下
直线x=h
直线x=h
(h,k)
低
(h,k)
高
减小
增大
减小
增大
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-2(x-3)2+5
向下
(-1,2)
向下
向下
(4,5)
(3,-4)
向上
直线x=3
直线x=-1
直线x=4
直线x=3
(3,5)
y=-3(x+1)2+2
y=4(x-4)2+5
y=-2(3-x)2-4
完成下列表格:
顶点式
知识精讲
例1.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a，h，k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:(1)依题意得，二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由二次函数y=-(x+1)2-1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到，即y=-(x+1-2)2-1-4
∴a=-，h=1，k=-5.
(2)二次函数y=-(x-1)2-5图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,—5).
例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴0=a(3－1)2＋3.
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
解得:
a=－
因此抛物线的解析式为:
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
y=-(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
例3.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
【分析】根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
直线不经过第三象限，则抛物线可以是（ ）
【分析】∵直线y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限．
∴a<0,b>0 ．
∴抛物线y=-(x-a)2+b 的顶点(a，b)在第二象限，开口向下．
故选：D．
D
例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
【点睛】已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．
已知抛物线y＝a(x﹣2)2+k(a＞0，a，k为常数)，A(﹣3，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
C
1.二次函数y=2(x-5)2+3的图象的顶点坐标是( )
A.(-5，3) B.(5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3)
2.已知二次函数y=2(x-3)2+1，下列说法:①其图象开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③当x=3时，函数有最大值1;④当x<3时，y随x增大而减小其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的
对称轴，则下列关系正确的是( )
A.m=n，k>h B.m=n,kC.m>n，k=h D.mB
A
A
4.将抛物线y=-5x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后，则所得抛物线解析式为( )
A.y=-5(x+1)2-2 B. y=-5(x-1)2+2 C.y=-5(x-1)2-2 D.y=-5(x+1)2+2
5.二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )
A.向左平移2个单位，向下平移2个单位
B.向左平移1个单位，向上平移2个单位
C.向右平移1个单位，向下平移1个单位
D.向右平移2个单位，向上平移1个单位
D
C
6.将抛物线y=-2(x-3)2+2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是_________.
7.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是______________.
8.已知二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示，则直线y=mx+n不经过第___象限.
(2,-1)
y=3(x+3)2-3
一
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2).若抛物线y=-3(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且AB=2CD，则k的值为_______.
5
10．已知抛物线C：y＝(x﹣m)2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝-2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴
∴；
10．已知抛物线C：y＝(x﹣m)2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝-2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
上
下
直线x=h
直线x=h
(h,k)
低
(h,k)
高
减小
增大
减小
增大
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定 .
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
(h＞0、k＞0)
谢谢
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