4.1 投影同步练习（含答案）
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第四章 投影与视图
1 投影
基础过关
知识点1 中心投影
1.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )
A.越长 B.越短 C.一样长 D.随时间变化而变化
2.如图，电线杆的顶上有一盏高为6m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子,即BC扫过的面积为___________m .
3.如图，小华家客厅有一张直径为1.2m,高为0.8m的圆桌AB，有一盏灯E到地面的距离EF为2m,圆桌的影子为CD,FC=2m,则点D到点F的距离为__________m.
4.如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯光下的影子为AB.试确定灯源P的位置，并画出竖直立在地面上的木桩的影子EF.(保留作图痕迹，不要求写作法)
5.如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部(点O)20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处.
(1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置；
(2)若路灯(点P)距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了 变长或变短了多少米
知识点2 平行投影
6.下列投影中，是平行投影的是( )
A.路灯下行人的影子 B.太阳光下楼房的影子
C.台灯下书本的影子 D.在手电筒照射下纸片的影子
7.如图是一棵小树一天内在太阳光下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是( )
A.③④①② B.②①④③ C.④①②③ D.④①③②
8.如图所示，在阳光下，某高塔DE在地面上的影子为AD，小泉站在影子AD上的点B处时，他的影子刚好为AB，此时测得AB=2m,BD=18m,已知小泉的身高BC=1.6m,则高塔DE的高度为__________m.
9.如图,甲楼AB高18米,乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是 两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE=________米.(结果保留根号)
10.如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=56m.
(1)求楼间距AB;
(2)若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层
知识点3 正投影
11.如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
12.在阳光的照射下，一块三角板的正投影不会是( )
A.线段 B.与原三角形全等的三角形
C.变形的三角形 D.点
13.圆柱的轴截面平行于投影面S，它的正投影是长为4，宽为3的矩形，则这个圆柱的表面积是_____________.(结果保留π,圆柱的轴截面指过两个底面圆心的平面)
能力提升
14.下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
15.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,测得BC=5米,CD=4米,∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为____________米.(参考数据: 结果按四舍五入保留一位小数)
16.如图,在平面直角坐标系中，点P(3，3)是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为A(0,1),B(4,1).画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长.
17.如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5cm,∠BCC =45°,求其投影 的面积.
18.[直观想象])如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子.当人从点C走向点E的过程中两段影子之和GH的变化趋势是( )
A.先变长后变短 B.先变短后变长 C.不变 D.先变短后变长再变短
19.[数学运算]实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm.某同学观测到高度为90cm的矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在斜坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
(1)若该同学的身高为150 cm，且此刻他的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm
(2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内，请直接回答这个猜想是否正确；
(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm
参考答案
基础过关
1.B 如图所示，AB2.答案 28π
解析 如图所示，
∵AE∥BD,∴△CBD∽△CAE. 即 解得
∴BC扫过的面积为
3.答案 4
解析 如图,过点B作BG⊥EF于点G,由题意得,AB=1.2m,GF=0.8m,EF⊥DF.
∴BG∥DF,∴△EAB∽△ECD,△EGA∽△EFC,
即
∴
4.解析 如图.
5.解析 (1)如图.
(2)设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米.
由题意得AB∥OP,∴△ABM∽△OPM.
即 解得x=5,经检验,x=5是原方程的解，且符合题意.
同理 即 解得y=1.5,经检验,y=1.5是原方程的解,且符合题意.
x-y=5-1.5=3.5.∴身影的长度变短了，变短了3.5米.
6.B A项，路灯下行人的影子为中心投影；B项，太阳光下楼房的影子为平行投影；C项，台灯下书本的影子为中心投影；D项，在手电筒照射下纸片的影子为中心投影.故选B.
7.B 早晨太阳在东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，影长先逐渐变短，随后又逐渐变长.故选B.
8.答案 16
解析 ∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE. 即
∴高塔DE的高度为16m.
9.答案
解析 如图,过点E作EF⊥AB于F,则EF=BD=20米.
∵物高与影长的比是 米.
10.解析 (1)如图,过点C作CE⊥PB,垂足为E,过点D作DF⊥PB,垂足为F,则∠CEP=∠PFD=90°.
设AB=xm,在Rt△PCE中,
在Rt△PDF中,
由PF-PE=EF=CD=56m,得 解得x=
∴楼间距
(2)由(1)可得, ∴CA=EB=90 28=62m.
由2号楼层高为3米，可知 故点C位于第21层.
11.C 光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与从上向下看到的形状图一致，为C项中的图形.
12.D 三角板摆放的情况不同，所形成的投影也不同.当三角板与光线平行时，所形成的投影为一条线段；当它与光线垂直时，所形成的投影是与原三角形全等的三角形，当它与光线形成一定角度但不垂直时，所形成的投影是变形的三角形，不可能是一个点.故选D.
13.答案 或20π
解析 ①若圆柱底面圆的半径为 高为4，则圆柱的表面积为
②若圆柱底面圆的半径为2，高为3，则圆柱的表面积为2π×2×3+2π×2 =12π+8π=20π.故填 或20π.
能力提升
14.C A项，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误；B项，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误；C项，在同一时刻太阳光下，树高与影长成正比，∴该选项正确；D项，图中树高与影长不成正比，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误.故选C.
15.答案 10.5
解析 如图，延长AD交直线BC于E,过点D作DF⊥BE于F.
∵∠BCD=150°,∴∠DCF=30°.又CD=4米,∴DF=2米, (米).
由题意得∠AEB=45°,∴EF=DF=2米. 米.(米),故填10.5.
16.解析 如图,连接PA,PB并延长分别交x轴于点C,D，线段CD就是木杆AB在x轴上的投影.过点P作PN⊥x轴，垂足为N,交AB于点M.
∵点P(3,3),A(0,1),B(4,1),∴AB∥CD.∴∠PAB=∠PCD,∠PBA=∠PDC,PM⊥AB.
∴△PAB∽△PCD, 即 ∴CD=6.
故木杆AB在x轴上的投影长为6.
17.解析 过B点作BH⊥CC 于H,如图.
∵∠BCC =45°,
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为边AB,CD与投影面平行，
∴四边形A B C D 为矩形, =CD=5cm,
∴投影A B C D 的面积
18.C 如图所示,连接DF,延长BA交DF于M,则AM⊥DF,BM=CD=FE.
∵GH∥DF,∴△ADF∽△AHG.
又∵AB⊥GH,AM⊥DF,即
∵当人从点C走向点E的过程中，DF，AB，AM的长不变，
∴GH的长也不变.故选C.
19.解析 (1)设该同学的影子长为x cm,由题意,得 解得x=120.
经检验,x=120是分式方程的解,且符合题意.
∴该同学的影子长为120 cm.
(2)正确.
(3)如图，AB为高圆柱，AF为太阳光线，CD为坡面，CF为圆柱在斜坡上的影子，
根据题意得BC=100 cm,CF=100 cm.
过点F作FG⊥CE于点G,作FH⊥AB于点H.
∵斜坡坡度
∴设FG=4n cm,CG=3n cm,n>0,在△CFG中,FG +
解得n=20.
∴CG=60 cm,FG=80 cm.∴ BG=FH=BC+CG=160 cm.
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280(cm).
∴高圆柱的高度为280 cm.
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第四章 投影与视图
1 投影
基础过关
知识点1 中心投影
1.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )
A.越长 B.越短 C.一样长 D.随时间变化而变化
2.如图，电线杆的顶上有一盏高为6m的路灯，电线杆底部为A，身高1.5m的男孩站在与点A相距6m的点B处，若男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子,即BC扫过的面积为___________m .
3.如图，小华家客厅有一张直径为1.2m,高为0.8m的圆桌AB，有一盏灯E到地面的距离EF为2m,圆桌的影子为CD,FC=2m,则点D到点F的距离为__________m.
4.如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯光下的影子为AB.试确定灯源P的位置，并画出竖直立在地面上的木桩的影子EF.(保留作图痕迹，不要求写作法)
5.如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部(点O)20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处时，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处.
(1)已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置；
(2)若路灯(点P)距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了 变长或变短了多少米
知识点2 平行投影
6.下列投影中，是平行投影的是( )
A.路灯下行人的影子 B.太阳光下楼房的影子
C.台灯下书本的影子 D.在手电筒照射下纸片的影子
7.如图是一棵小树一天内在太阳光下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是( )
A.③④①② B.②①④③ C.④①②③ D.④①③②
8.如图所示，在阳光下，某高塔DE在地面上的影子为AD，小泉站在影子AD上的点B处时，他的影子刚好为AB，此时测得AB=2m,BD=18m,已知小泉的身高BC=1.6m,则高塔DE的高度为__________m.
9.如图,甲楼AB高18米,乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是 两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE=________米.(结果保留根号)
10.如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为60°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=56m.
(1)求楼间距AB;
(2)若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层
知识点3 正投影
11.如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
12.在阳光的照射下，一块三角板的正投影不会是( )
A.线段 B.与原三角形全等的三角形
C.变形的三角形 D.点
13.圆柱的轴截面平行于投影面S，它的正投影是长为4，宽为3的矩形，则这个圆柱的表面积是_____________.(结果保留π,圆柱的轴截面指过两个底面圆心的平面)
能力提升
14.下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
15.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD,测得BC=5米,CD=4米,∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为____________米.(参考数据: 结果按四舍五入保留一位小数)
16.如图,在平面直角坐标系中，点P(3，3)是一个光源.木杆AB两端的坐标分别为A(0,1),B(4,1).画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长.
17.如图,正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为其中边AB,CD与投影面平行,AD,BC与投影面不平行.若正方形ABCD的边长为5cm,∠BCC =45°,求其投影 的面积.
18.[直观想象])如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子.当人从点C走向点E的过程中两段影子之和GH的变化趋势是( )
A.先变长后变短 B.先变短后变长 C.不变 D.先变短后变长再变短
19.[数学运算]实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm.某同学观测到高度为90cm的矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在斜坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
(1)若该同学的身高为150 cm，且此刻他的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm
(2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内，请直接回答这个猜想是否正确；
(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm
参考答案
基础过关
1.B 如图所示，AB
解析 如图所示，
∵AE∥BD,∴△CBD∽△CAE. 即 解得
∴BC扫过的面积为
3.答案 4
解析 如图,过点B作BG⊥EF于点G,由题意得,AB=1.2m,GF=0.8m,EF⊥DF.
∴BG∥DF,∴△EAB∽△ECD,△EGA∽△EFC,
即
∴
4.解析 如图.
5.解析 (1)如图.
(2)设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米.
由题意得AB∥OP,∴△ABM∽△OPM.
即 解得x=5,经检验,x=5是原方程的解，且符合题意.
同理 即 解得y=1.5,经检验,y=1.5是原方程的解,且符合题意.
x-y=5-1.5=3.5.∴身影的长度变短了，变短了3.5米.
6.B A项，路灯下行人的影子为中心投影；B项，太阳光下楼房的影子为平行投影；C项，台灯下书本的影子为中心投影；D项，在手电筒照射下纸片的影子为中心投影.故选B.
7.B 早晨太阳在东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，影长先逐渐变短，随后又逐渐变长.故选B.
8.答案 16
解析 ∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE. 即
∴高塔DE的高度为16m.
9.答案
解析 如图,过点E作EF⊥AB于F,则EF=BD=20米.
∵物高与影长的比是 米.
10.解析 (1)如图,过点C作CE⊥PB,垂足为E,过点D作DF⊥PB,垂足为F,则∠CEP=∠PFD=90°.
设AB=xm,在Rt△PCE中,
在Rt△PDF中,
由PF-PE=EF=CD=56m,得 解得x=
∴楼间距
(2)由(1)可得, ∴CA=EB=90 28=62m.
由2号楼层高为3米，可知 故点C位于第21层.
11.C 光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与从上向下看到的形状图一致，为C项中的图形.
12.D 三角板摆放的情况不同，所形成的投影也不同.当三角板与光线平行时，所形成的投影为一条线段；当它与光线垂直时，所形成的投影是与原三角形全等的三角形，当它与光线形成一定角度但不垂直时，所形成的投影是变形的三角形，不可能是一个点.故选D.
13.答案 或20π
解析 ①若圆柱底面圆的半径为 高为4，则圆柱的表面积为
②若圆柱底面圆的半径为2，高为3，则圆柱的表面积为2π×2×3+2π×2 =12π+8π=20π.故填 或20π.
能力提升
14.C A项，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误；B项，两棵树的影子的方向相反，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误；C项，在同一时刻太阳光下，树高与影长成正比，∴该选项正确；D项，图中树高与影长不成正比，不可能为同一时刻太阳光下的影子，∴该选项错误.故选C.
15.答案 10.5
解析 如图，延长AD交直线BC于E,过点D作DF⊥BE于F.
∵∠BCD=150°,∴∠DCF=30°.又CD=4米,∴DF=2米, (米).
由题意得∠AEB=45°,∴EF=DF=2米. 米.(米),故填10.5.
16.解析 如图,连接PA,PB并延长分别交x轴于点C,D，线段CD就是木杆AB在x轴上的投影.过点P作PN⊥x轴，垂足为N,交AB于点M.
∵点P(3,3),A(0,1),B(4,1),∴AB∥CD.∴∠PAB=∠PCD,∠PBA=∠PDC,PM⊥AB.
∴△PAB∽△PCD, 即 ∴CD=6.
故木杆AB在x轴上的投影长为6.
17.解析 过B点作BH⊥CC 于H,如图.
∵∠BCC =45°,
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为边AB,CD与投影面平行，
∴四边形A B C D 为矩形, =CD=5cm,
∴投影A B C D 的面积
18.C 如图所示,连接DF,延长BA交DF于M,则AM⊥DF,BM=CD=FE.
∵GH∥DF,∴△ADF∽△AHG.
又∵AB⊥GH,AM⊥DF,即
∵当人从点C走向点E的过程中，DF，AB，AM的长不变，
∴GH的长也不变.故选C.
19.解析 (1)设该同学的影子长为x cm,由题意,得 解得x=120.
经检验,x=120是分式方程的解,且符合题意.
∴该同学的影子长为120 cm.
(2)正确.
(3)如图，AB为高圆柱，AF为太阳光线，CD为坡面，CF为圆柱在斜坡上的影子，
根据题意得BC=100 cm,CF=100 cm.
过点F作FG⊥CE于点G,作FH⊥AB于点H.
∵斜坡坡度
∴设FG=4n cm,CG=3n cm,n>0,在△CFG中,FG +
解得n=20.
∴CG=60 cm,FG=80 cm.∴ BG=FH=BC+CG=160 cm.
∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280(cm).
∴高圆柱的高度为280 cm.
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