第二十二章 一元二次方程全章学案

第二十二章 一元二次方程
22.1一元二次方程
第1课时 一元二次方程（一）
自主学习案
明确学习内容
教材第25至27页
理清学习目标
1．了解一元二次方程的概念.
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项.
3．应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
清晰重点难点
1. 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念（重点）.
2. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第25至27页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
请同学们独立完成下面问题:
要设计一座2m高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部BC（肚脐以上）与下部AC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度.
该问题可转化为下面的数学模型：如图，C为AB上一点，AB＝2，AC、AB、BC间存在等量关系＝，点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AC＝x，那么BC＝________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
同学们，请大家思考一下怎样完成上述填空
学生思考回答：
归纳导入：如果假设AC＝x ，BC长度为,根据存在的等量关系＝可列方程，整理后得；在许多其他问题当中，通过已知的等量关系建立数学模型，也可以得到类似的方程，这些方程有什么特点？它们的一般形式是什么?今天我们就这些问题进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 一元二次方程的概念
活动一：写出章节前引例及课本第25页问题1和问题2中的三个方程, 相互交流思考下面的问题:
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
【展示点评】上述3个方程，都只含有一个未知数，最高次数都是二，都是一元二次方程.
【小组讨论1】
(1)一元二次方程有什么特点？
【反思小结】一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．注意：这些都是在方程经过去分母，去括号，移项，合并同类项等变形后得到一般形式的基础上归纳的．
【针对训练】
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2－7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③ (x＋2)( x＋3)＝x2－1；④x2－15x＋14＝0；⑤x2－(＋1)x＋＝0；⑥x－＋2＝0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
探究二 一元二次方程的一般形式
活动二： 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
【展示点评】方程3x(x-1)=5(x+2)的一般形式，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是.
【小组讨论2】
（1）如何确定一元二次方程方程系数a、b、c？
【反思小结】在确定a、b、c时，必须将一元二次方程化成一般形式，其间，要用到整式运算进行整理．在a，b，c三个字母中，可以等于0的有b和c．
【针对训练】
3. 将方程(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
4．解决课本第27页练习1第(1)、(2)题（答案直接写在课本上）．
总结梳理整合提高
1.一元二次方程的概念：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式，我们把 (a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式．
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
在下列方程中，一元二次方程的个数是（A）
①，②，③④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
2.关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是.
3.将方程化成一元二次方程一般形式，写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
【答案】,二次项系数为4，一次项系数为,常数项为22.
4.关于x的方程是一元二次方程，则m= 3 .
5.已知关于x的方程,问：（1）a为何值是它是一元一次方程？（2）a为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1）时为一元一次方程;（2）时为一元二次方程.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第28页第1,2题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第2课时 一元二次方程（二）
自主学习案
明确学习内容
教材第27至28页
理清学习目标
1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
清晰重点难点
1. 判定一个数是否是方程的根（重点）.
2. 由实际问题列出的一元二次方程的根是否符合实际问题（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第27至28页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：设邀请了x队参加比赛，根据题意列方程得：．
由此，你知道比赛组织者应邀请多少个队参加比赛吗?
请同学们独立完成下面问题:
1. 方程解的定义是怎样的呢？
2. 下面哪些数是方程x2-x-6=0的解？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
学生思考回答：
归纳导入：能使方程左、右两边相等的数的值叫做方程的解；是方程的解；上面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程x2-x=56，当x=1时，x2-x=0；当x=2时，x2-x=2……我们可以得出下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
x2-x
0
2
6
12
20
30
42
56
72
90
…
可以发现，当x=8时，x2-x=56，所以是方程x2-x=56的解．是否只有x=8是方程x2-x=56的解呢？当x=－7时，x2-x=56由此可以发现也是方程x2-x=56的解
根据实际意义，可知上面有关排球邀请赛的问题中，比赛组织者应邀请8个队参加比赛．
什么叫做一元二次方程的根？如何在实际问题中判定一个数是否是一个一元二次方程的根？今天我们就这些内容进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 一元二次方程的根
活动一：相互交流思考下面的问题：
(1)下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
【展示点评】时，x2-x-6=0，方程左边=右边，是方程的根.
【小组讨论1】
如何判断一个数是否为一个一元二次方程的根？
【反思小结】判定一个数值是否是一元二次方程的根，只需根据一元二次方程根的定义，将这个值代入一元二次方程的两边，看方程的两边是否相等，若相等，就是方程的根，若不相等，就不是方程的根．
【针对训练】
1. 若a，b，c是非零实数，且a－b＋c＝0，则有一个根是1的方程是（ ）
A．ax2＋bx＋c＝0 B．ax2－bx＋c＝0 C．ax2＋bx－c＝0 D．ax2－bx－c＝0
2. 已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数m2－m的值等于 ．
探究二 简单的一元二次方程的根
活动二：直接求出下列方程的根
(1)x2-36=0；（2）4x2-9=0．
【展示点评】（1）；（2）.
【小组讨论2】
(1)何谓平方根？据此应对上面方程作何变形？
【反思小结】思考这类问题时，可以先将方程化为x2=a的形式，再考虑平方根．
【针对训练】
3. 试写出方程x2-x=0的根： ．
4. 如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？
总结梳理整合提高
1. 检验某个值是不是方程的解：可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等．若相等，则是方程的解，若不相等，则不是方程的解．
2. 由实际问题列出一元二次方程后，这个方程的根可能是两个不相等的实数，它们有可能不全是实际问题的答案，因此需要按照问题的实际意义对这些根再进行取舍．
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
若为关于x的一元二次方程的根，则的值为（ B ）
A.1 B. C.2 D.
2.下列方程中，有一根是1的是（ B ）
A. B. C. D.
3.已知是方程的一个解，则的值是 5 .
4.已知方程的一个根与方程的一个根互为相反数，并且,求的值.
【答案】1.
5.如果n是方程的根，,求的值.
【答案】.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第28页习题22.1第3,4,题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
22.2 降次——解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
自主学习案
明确学习内容
教材第30至31页
理清学习目标
1.理解一元二次方程降次的转化思想.
2.会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
清晰重点难点
1. 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程（重点）.
2. 通过根据平方根的意义解形如x2=p的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第30至31页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:

篮球比赛场地中的油漆区（中间涂有深色油漆的部分）是一个长宽比为3：1的矩形，它的面积是15m2，它的长宽是多少？（设宽为x,根据题意可列方程）
请同学们独立完成下面问题:
1. 如果有 ，则x叫a(a≥0)的平方根，也可以表示为x＝ ．
2. 将下列各数的平方根写在旁边的括号里
A：9（ ）；5（ ）；（ ）；
B：8（ ）；24（ ）；（ ）；
C：( ) ；1.2（ ）．
3. x2＝4，则x＝______．想一想：求x2＝4的解的过程，就相当于求什么的过程？
4. x2－8x＋______＝(x－______)2；4x2－4x＋1＝( ) 2．
5. 黑板板书：（1）3x2－1＝5；（2）(2x－1)2＝5；（3）x2＋6x＋9＝2．
同学们，请大家思考一下我们如何解上面的方程呢？
学生思考回答：
归纳导入：如果有(a≥0),则x叫a的平方根；如果有方程x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)，x与方程x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的根有和关系？如何解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程？今天我们就这些内容进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 用直接开平方法解能化成x2＝p(p≥0)形式的一元二次方程
活动一：阅读课本第30页问题1，相互交流思考下面的问题：
（1）问题中的等量关系是什么？
（2）解方程的依据是什么？
（3）所列方程的根都是问题1的解吗？
【展示点评】题中存在等量关系油漆可刷面积与10个正方体表面积相等；解方程依据平方根的定义；正根5是方程的根，负根 不是方程的根.
【小组讨论1】
（1）形如x2＝p（p≥0）的方程可用什么方法求解？
【反思小结】当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．即对于x2＝p（p≥0），可直接开平方得x＝±．
【针对训练】
1. 解方程：3x2－1＝5．
2. 你能求出一元二次方程－x2＋3＝0 和 x2＋1＝0的解吗？若能，请写出求解过程，若不能，说明为什么．观察前面可以求解的一元二次方程的二次项系数与常数项的符号有何共同规律？
探究二 用直接开平方法解能化成(mx＋n)2＝p（p≥0）形式的一元二次方程
活动二：解方程（1）(2x－1)2＝5；（2）x2＋6x＋9＝2．相互交流思考下面的问题：
（1）本题的方程与活动一中的方程有什么不同？可以直接开平方吗？
（2）方程（2）与方程（1）有什么不同？如何将方程（2）变形为方程（1）的形式？
【展示点评】本题的方程左边不是未知数的平方，可以直接开平方；方程（2）的左边不是一个整式的平方，根据完全平方公式方程（2）左面可化为.
【小组讨论2】
(1)对于形如(mx+n)2＝p（p≥0）的方程，能用直接开平方法求解吗？
【反思小结】当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．即对于(mx+n)2＝p（p≥0），可直接开平方得mx＋n＝±（p≥0）．
【针对训练】
3. 下列方程中，适合用直接开平方法解得个数为（ ）
①②③④⑤⑥
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 下列解方程中结果正确的是（ ）
A.，解得 B.解得可得
C.解得 D.
总结梳理整合提高
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；
降次的方法：直接开平方法；
降次体现了：转化思想；
2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解.
（1）x2＝2 ( )
（2）p2－49＝0 ( )
（3）6x2＝3 ( )
（4）(5x＋9)2－2 x－16＝0 ?? ( )
（5）121－(y＋3) 2＝0 ( )
【答案】(1)可以；（2）可以；（3）可以；（4）不能；（5）可以
2．下面是某同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正．
(y＋1)2－5＝0．
解：(y＋1)2＝5，
y＋1＝，
y＝－1，
y＝3－3．
【答案】开方时出错，，.
3．如果25x2－16＝0那么x1＝，x2＝．
4．如果那么x1＝，x2＝．
5．用直接开平方法解下列方程:
（1）(x－1)2＝8；（2）(2x＋3) 2＝24；（3）(x－)2＝9；（4）(x＋1)2－3＝0．
【答案】(1), ;(2) ,
(3) ,;(4) ,.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第42页习题22.2第1题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第2课时 用配方法解一元二次方程
自主学习案
明确学习内容
教材第31至34页
理清学习目标
1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想．
清晰重点难点
1. 配方法的解题步骤（重点）.
2. 灵活地运用配方法解数字系数不为1的一元二次方程（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第31至34页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
丽柏专卖店ZREEO衬衫的销量为平均每天20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，专卖店决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫毎降价一元，专卖店平均每天可多售出2件，若专卖店平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（设每件衬衫减价x元，根据题意可列方程，整理得，如何解这样的方程？）
请同学们独立完成下面问题:
1. 根据完全平方公式填空：
⑴ x2＋6x＋9＝﹙ ﹚2
⑵ x2－8x＋16＝﹙ ﹚2
⑶ x2＋10x＋﹙　﹚2＝﹙ 　　﹚2
⑷ x2－3x ＋﹙　﹚2＝﹙ 　　﹚2
2. 解下列方程：
（1）(x＋3)2＝25；（2）12(x－2)2－9＝0．
3. 你会解方程 x2＋6x－16＝0吗?你会将它变成(x＋m) 2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？
同学们，如何解x2＋6x－16＝0这样的方程，请大家思考一下
学生思考回答：
归纳导入：方程x2＋6x－16＝0的左边不是完全平方式，不能直接用开平方法求解，解这种类型的方程需要将它变成(x＋m) 2＝n（n为非负数）的形式，这种解方程的方法叫做配方法，配方法的关键是什么？配方法都包括哪些步骤？今天我们就这些内容进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
活动一：模仿教材第32页图示内容，解方程x2-8x+1=0，相互交流思考下面的问题：
（1）解答过程都有哪些步骤？
【展示点评】（1）移项：把常数项1移到方程的右边；（2）配方：方程两边都加上4的平方；（3）开方：根据平方根意义，方程两边开平方；（4）求解：解一元一次方程；（5）定解：写出原方程的解．
【小组讨论1】
（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？
（2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？
【反思小结】在用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的时候，进行配方时，方程的左右两边要同时加上一次项系数一半的平方（这是配方的关键做法），一次项系数的符号决定了左边的平方式中是两数差的平方还是两数和的平方．
【针对训练】
1. 填上适当的数，使下列等式成立：
x2＋12x＋ ＝(x＋ ) 2；
x2＋4x＋ ＝(x＋ ) 2；
x2＋8x＋ ＝(x＋ ) 2．
2. 解下列方程：（1）x2＋10x＋9＝0；（2）x2－x－＝0．
探究二 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
活动二：解下列方程：（1）2x2+1=3x；（2）3x2-6x+4=0,相互交流思考下面的问题:
(1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？
【展示点评】这两个小题中方程的二次项系数不是1，要先将二次项系数化为1，再用活动一类似的方法求解，转化的依据是等式性质.
【小组讨论2】
(1)配方法解一元二次方程应注意些什么？
【反思小结】运用配方法解一元二次方程，一定要配成完全平方式，为了简便，在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为二次项系数为1的类型．
【针对训练】
3. 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)经过配方得到2(x－1)2＝3，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
4. 解下列方程：（1）2x2＋6＝7x；（2）6y(y＋1)＝y－1．
总结梳理整合提高
1.用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：(1)方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式；（4）若，用“直接开平方法”解出；若，则原方程无实数根即原方程无解．
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．用配方法解方程2x2－x＝1时，方程的两边都应加上（ D ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，一定有实数解的是（ B ）
A．x2＋1＝0 B．(2x＋1)2＝0 C．(2x＋1)2＋3＝0 D．(x－a)2＝a
3．ｘ2＋6x＋9＝(x＋3)2；ｘ2－5x＋＝(x－)2．
4．无论x、y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数．
5．用配方法解方程．
（1）x2－2x－2＝0；（2）x2＋3＝x；（3）9y2－18y－4＝0；（4）6x2－x＝12．
【答案】(1)(2)
(3) (4)
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第42页习题22.2第2,3题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第3课时 用公式法解一元二次方程
自主学习案
明确学习内容
教材第34至37页
理清学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导.
2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况．
清晰重点难点
1. 求根公式的推导和公式法的应用（重点）.
2. 一元二次方程求根公式法的推导（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第34至37页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
北仑电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这用户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费,如果一个用户3月份用电80千瓦时，所交电费为15元，试求A是多少？（依题意得:,除配方法外用什么方法解这个方程较为简单？）
请同学们独立完成下面问题:
1. 用配方法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；（2）5x2－3x＝x＋1．
2. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
同学们，我们还可以运用什么方法解上面两个方程，请大家思考一下.
学生思考回答：
归纳导入：配方法是我们求解一元二次方程时常用的方法，但有时配方过程较为繁琐，用配方法求解一元二次方程较为麻烦，除了配方法外还有一种求解一元二次方程的通用方法──公式法；什么是公式法？用公式法求解都有哪些步骤？今天我们就这些内容进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 用公式法解一元二次方程
活动一：阅读教材34至36页的内容，相互交流用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；（2）2x2－x＋1＝0；（3）5x2－3x＝x＋1；（4）x2＋17＝8x．
【展示点评】将一元二次方程写成的形式，用求根公式求解方程，（1）（2）（3）（4）无实数根.
【小组讨论1】
(1)用公式法解一元二次方程的前提条件是什么？
【反思小结】在用公式法解一元二次方程时，首先应该将方程化成一般形式，确定方程中a，b，c的值，然后计算b2－4ac，若b2－4ac≥0就可继续往下计算．正确地确定各项系数（包括符号）以及准确运算是用公式法解一元二次方程的关键．
【针对训练】
1．利用求根公式求5x2＋＝6x的根时，a，b，c的值分别是（ ）
A．5，，6 B．5，6， C．5，－6， D．5，－6，－
2．用公式法解方程 3x2＋5x－2＝0．
探究二 一元二次方程根的判别式的应用
活动二：阅读教材第36,37页内容并求解教材第42页第4题，相互交流思考下面的问题:
（1）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？
(2)如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？
【展示点评】将一元二次方程写成的一般形式，叫做一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程无实根；使用时先将一元二次方程写成的一般形式，计算，比较与0便可直接判断方程根的情况.
【小组讨论2】
(1)一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么？
【反思小结】一元二次方程的根的情况可以直接根据判别式“”与0的大小关系进行判断；另外，一元二次方程根的判别式在应用时，往往忽视二次项的系数不为零这个重要条件，导致解题结果片面或错误．
【针对训练】
3. 已知一元二次方程 x2 ＋x－1＝0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
4. 若关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m，n的实数值可以是m＝ ，n＝ ．
总结梳理整合提高
1.用公式法解一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程化为一般形式：;(2)正确确定a，b，c的值；(3)代入公式求解，若b2－4ac≥0，则方程有实数根，若b2－4ac<0，则方程无实数根．
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是（ A ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2． 关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ D ）
A．0 B．8 C．4±2 D．0或8
3．用公式法解方程x2＝－8x－15，其中b2－4ac＝4，x1＝，x2＝．
4．（2012年德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．
5．用公式法解下列方程：
（1）x2－7x－18＝0；（2）2x2－9x＋8＝0；（3）9x2＋6x＋1＝0；（4）16x2＋8x＝3．
【答案】(1)(2) (3) (4)
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第42页习题22.2第5,题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第4课时 用因式分解法解一元二次方程
自主学习案
明确学习内容
教材第38至40页
理清学习目标
1．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.
2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程.
清晰重点难点
1. 用因式分解法解一元二次方程（重点）.
2. 让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第38至40页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
凤凰城大学是一家知名的远程教育培训机构，三年来，接受该机构培训的人员累计950万人次，其中第一年培训了200万人次，设每年接受培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是？(,整理得)方程左边有什么特点？
请同学们独立完成下面问题:
1. 如果ab＝0，那么a、b应满足什么条件？
2. 分解因式：x－2－x(x－2)＝ ；(x＋1)2－25＝ ；x2－3x－10＝ ．
同学们，已学过的一元二次方程的解法有哪些？请大家思考一下,请你用多种方法解方程：x2－3x＝0．
学生思考回答：
归纳导入：已学过的一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法，用配方法、公式法解方程x2－3x＝0，得，方程左边x2－3x可因式分解为，方程通过因式分解同样可以达到解方程的目的，什么是因式分解法?如何使用因式分解法？今天我们就这些内容进行探究.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 用因式分解法解一元二次方程
活动一： 阅读教材第39页例3，相互交流思考下面的问题：
（1）第（1）题可直接运用什么方法因式分解？
（2）对于第（2）题先要如何整理，使用什么方法因式分解？
【展示点评】：第（1）题可提取公因式，因式分解为；第（2）题先移项、合并同类项，再依据平方差公式因式分解.
【小组讨论1】
(1) 运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何处理?
【反思小结】运用因式分解法解一元二次方程时，方程的左边化为两个一次因式的乘积的形式，右边一这要化为0，否则求的解是错误的．
【针对训练】
1．一元二次方程x2－2x＝0的解是（　 　）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或－2
2．快速回答：下列各方程的根分别是多少？
（1）x(x－2)＝0；（2）(y＋2)(y－3)＝0；（3）(3x＋2)(2x－1)＝0；（4）x2＝x．
探究二 选择恰当的方法解一元二次方程
活动二： 试用多种方法解例3中的两个方程，相互交流思考下面的问题：
（1）哪种方法更简便？
（2）因式分解法适合什么样的方程？
【展示点评】通过三种方法解这两个方程，显然因式分解法更简便；因式分解法适合一边可化为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程.
【小组讨论2】
(1)解一元二次方程的基本思路是什么？有哪些方法可以达到这个目的？
【反思小结】一般而言，直接开平方法适合于解形如（≥0）形式的一元二次方程；配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解；当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来解．我们在解一元二次方程时，选用它们的一般原则是：对于非（≥0）型的一元二次方程，首先看分解因式法是否可行，接着思考配方法，最后思量公式法．
【针对训练】
3. 选择适当的方法解下列方程：
（1）(y－2)2＝5；（2）(y－3)2＝4(3－y)；（3）x2－2x－399＝0；（4）2x2－2x－1＝0．
4. 你会解下列方程吗？
（1）(x＋2)(x－4)＝0；（2）x2－3x－10＝0；（3）(x＋3)(x－1)＝5．
总结梳理整合提高
1. 解一元二次方程的基本思路是将二次方程化为一次方程，即降次．使用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2. 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来求解.
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ B ）
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)( 5x－3)＝0，∴x1＝ ，x2＝
C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2
D．x2＝x两边同除以x，得x＝1
2． 方程x(x＋3)＝x的根是（ D ）
A．－2 B．0 C．无实根 D．0或－2
3． 若(m2＋n2)(1－m2－n2)＋6＝0，则m2＋n2的值为3．
4． 二次三项式x2＋20x＋96分解因式的结果为；如果令x2＋20x＋96＝0，那么它的两个根是．
5． 选择适当的方法解下列方程：
（1）(x－5)2＝4；
（2）x2＝8x；
（3）3x2－x－1＝0；
（4）(2x＋1)2＝－6x－3；
（5）(2x－1) 2＝(3－x)2．
【答案】(1)直接开平方法（2）因式分解法（3）公式法（4）因式分解法（5）直接开平方法.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第43页第6题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第5课时 一元二次方程的根与系数的关系
自主学习案
明确学习内容
教材第40至42页
理清学习目标
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数.
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
清晰重点难点
1. 一元二次方程的根与系数的关系（重点）.
2. 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第40至42页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
密苏里号军舰是著名的海军战斗舰艇，船上配有4台蒸汽轮机，一艘密苏里号军舰在太平洋海域以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦查船以30海里/时的速度由南向北航行，它能侦查出周围50海里（包括50海里）范围内的目标，当军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，此时军舰和侦察船仍按原速度方向继续前进，那么航行途中侦察船能够侦查到这艘军舰？如果能，最早何时能侦查到?（设侦察船最早经过x小时侦查到军舰，根据题意得，，整理得，解得，与有何关系？与有何关系？）
请同学们独立完成下面问题:
1. 若一元二次方程x2＋5x＋6＝0的两根分别为x1、x2，比较x1＋x2与，x1?x2与6．
2. 若一元二次方程2x2＋7x＋3＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，比较x1＋x2与，x1?x2与．
学生思考回答：
归纳导入：对于上面2个方程，两根的和x1＋x2与一次项系数和二次项系数的比的相反数、相等，两根的积与常数项与二次项系数的比、相等;在方程ax2＋bx＋c＝0中，a的取值决定什么？b2－4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根还有其它关系？今天我们进一步探究一元二次方程的这种关系．
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 一元二次方程的根与系数的关系的推导
活动一：阅读课本第40页至第41页内容，相互交流并解决如下问题：
（1）解方程x2－5x＋6＝0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？
（2）填表：
方程
两个根x1，x2的值
两根之和
x1＋x2
两根之积
x1·x2
x1
x2
2x2＋5x＋3＝0
3x2－2x－2＝0
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
（3）请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________．
（4）请证明上题猜想．
【展示点评】方程x2－5x＋6＝0,两根之和为5，两根之积为6；方程2x2＋5x＋3＝0，两根之和为，两根之积为，方程3x2－2x－2＝0，两根之和为，两根之积为；对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），依据一元二次方程求根公式可得：.
【小组讨论1】
(1) 使用一元二次方程根与系数的关系有什么前提条件？
【反思小结】上面推导一元二次方程的根与系数的关系的过程中，主要运用了特殊与一般的数学思想方法．使用根与系数的关系的前提条件是根的判别式大于或等于0．应用此关系时注意不要弄错根与系数的关系符号．另外，一元二次方程的根与系数的关系经常与一元二次方程的根的定义结合在一起命题．
【针对训练】
1. 已知方程x2＋kx－6＝0的一个根为x1＝2，则另一个根x2＝ ，k＝ ．
探究二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
活动二：阅读见教材第41页例4，相互交流思考下面的问题:
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式上有何区别？
【展示点评】方程（3）不是一元二次方程的一般形式.
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理？
【反思小结】在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要将一元二次方程化为一般形式．
【针对训练】
2. 方程的两根之积为，则的值为（ ）
A.3 B. C. D.9
3. 如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为( )
A. B. C. D.
总结梳理整合提高
1. 一个定理：一元二次方程的根与系数的关系．
2. 一种思想：特殊与一般的数学思想．
3. 一种方法：应用根与系数的关系时，要善于将根的代数式转化成含有两根和（x1＋x2）与两根积（x1·x2）的代数式，这是解决问题的关键．
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．已知方程的两个解分别为、，则的值为（ D ）
A． B． C．7 D．3
2．已知方程的两根互为相反数，则0.
3．已知x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个根，则x1＋x2＝，x1x22＋x12x2＝．
4．设方程3x2－5x＋q＝0的两根分别为x1、x2，且6x1＋x2＝0，那么q的值为．
5．已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，如果存在则有，由（1）得，故满足条件的值不存在.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第43页第7题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
22.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 实际问题与一元二次方程（一）
自主学习案
明确学习内容
教材第45至46页
理清学习目标
1．会列出一元二次方程解决涉及传播、平均变化率、利率、数字、市场经济、相互作用力（如比赛、互赠礼品）等生活化的代数类应用题.
2．了解列一元二次方程解应用题的一般步骤．
清晰重点难点
1. 会用列一元二次方程的方法解决生活中的代数类应用题（重点）.
2. 分析生活中的代数类应用题中蕴含的数量关系（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第45至46页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
请同学们独立完成下面问题:
第二财季iPad电脑的销量是496万台，由于完美的触控体验，第四财季iPad电脑的销量涨到了1112万台，从第二财季到第四财季平均每季度的电脑销量增长率是多少？
设为平均增长率，如何列方程求解？
学生思考回答：
归纳导入：根据题意可列方程，同一元一次方程、二元一次方程组等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．本节我们将探究如何利用一元二次方程分析解决实际问题.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 与“相互作用力”有关的问题
活动一：阅读教材第45页探究1，相互交流思考下面的问题：
（1）你从哪些字眼中发现建立什么模型解决该题？题目中有什么数量关系？
（2）怎样设未知数？根据什么列方程？
【展示点评】：举例：如果每轮传染中，平均每人传染5人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了5人，第一轮传染后共有6人患流感；第二轮传染中又传染了30人，第二轮传染后共有36人患流感；类比：如果每轮传染中，平均每人传染x人，那么一人患流感在第一轮传染中传染了人，第一轮传染后共有（）人患流感；第二轮传染中又传染了 人，第二轮传染后共有人患流感；建模：设每轮传染中，平均每人传染x人，得解方程，得：．
【小组讨论1】
(1) 如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有多少人患流感？
【反思小结】这里的一轮指一个传染周期．例如，开始有一人（不妨记为a）患流感，第一轮中a传染给b，c，d，这时有a，b，c，d共4人患流感；第二轮中这4人每人又传染给3人，这时患流感者总数为3×4＋4＝16（人），第三轮传染后患流感人数为.
【针对训练】
1. 参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了45次手，那么到会的人数是（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 个小分支.
探究二 与“平均变化率”有关的问题
活动二：阅读教材第46页探究2，相互交流思考下面的问题：
（1）你从哪些字眼中发现建立什么模型解决该题？题目中有什么数量关系？
（2）怎样设未知数？根据什么列方程？
（3）解决“乙种药品成本的年平均下降率是多少？”这一问题.
（4）经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？
【展示点评】列方程的根据是：下降前的药品成本=下降后的药品成本，这是一个一元二次方程；设乙种药品成本的年平均下降率是，根据题意得，，解得,根据实际意义，乙种药品的年平均下降率为22.5%，与甲相同；变化额度、变化率都经行比较才能全面地比较对象的变化状况.
【小组讨论2】
(1)怎样解决与平均变化率有关的问题？
【反思小结】平均变化率的问题在实际生活普遍存在，有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)2次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)2＝b．其中增长取“＋”，降低取“－”．注意，这类问题通常用直接开平方法解方程．
【针对训练】
3. 某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）
A．20% B．27% C．28% D．32%
4. 为了改善居民住房条件，某市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A．9%　　 B．10%　　 C．11% D．12%
总结梳理整合提高
1. 列一元二次方程解决与传播、平均变化率有关的数学问题的基本步骤：实际问题数学问题构建模型计算求解
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送了182件.如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ B ）
A．x(x＋1)＝182 B．x(x－1)＝182 C．2x(x＋1)＝182 D．x(x－1)＝182×2
2．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ B ）
A．50(1＋x)2＝182 B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
3．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.
【答案】74.
4．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为729台，超过700台.
5.某工厂2011年年初投资100万元生产某种新产品，2011年年底将获得的利润与年初的投资之和作为2012年年初的投资，到2012年年底，两年共获利润56万元，已知2012年的年利润率比2011年的年利润率多10个百分点，求2012年的年利润率是多少？
【答案】，设2011年利润率，根据题意得，，解得，2012年年利润率.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第48页习第2, 6,7题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线
第2课时 实际问题与一元二次方程（二）
自主学习案
明确学习内容
教材第47至48页
理清学习目标
1. 会列一元二次方程解决与面积、镶嵌、动点、区域规划等有关的几何类应用题，并从中体会几何图形的性质在寻找等量关系中所起的作用．
清晰重点难点
1. 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题（重点）.
2. 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型（难点）.
自主预习练习
1.自学课本第47至48页.
2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.
激情导入十分
展示图片并提问:
请同学们独立完成下面问题:
使用AppleCut截图软件截图时，会在图片四周生成宽度相等的边框用于设置按钮以及显示图片参数，屏幕的长为80cm，宽为60cm，截图部分可显示的最大面积为1500cm2, 如何求出周围边框的宽度？
设周围边框宽度为，如何列方程求解？
学生思考回答：
归纳导入：根据题意可列方程；一元二次方程也可以解决几何图形的面积问题，回忆三角形的面积公式是什么呢？平行四边形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？本节我们将探究如何利用几何图形的面积公式构建一元二次方程分析解决实际问题.
课堂探究案
聚焦主题合作探究
探究一 与图形面积有关的问题
活动一：阅读教材第47页探究3，相互交流思考下面的问题：
（1）题目中有什么数量关系？怎样设未知数？根据什么列方程？
（2）为什么说上下边衬与左右边衬的宽度之比是9：7？
（3）对于方程(27－18x)(21－14x)＝×27×24，如何求解较为简单？
（4）问题中隐含着什么样的不等关系？
【展示点评】中央的长方形所占面积是封面面积的四分之三为题中存在的等量关系；封面、中央长方形的长宽比均为，根据比例性质上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9：7；方程(27－18x)(21－14x)＝×27×24用公式法解较为简单；问题中隐含不等关系.
【小组讨论1】
（1）除了教材中的解法还有其他解法吗？
【反思小结】教材运用的是面积较好表达的中央长方形的面积占封面面积的列方程求解的，体现了转化的思想，值得同学们注意．另外，直接由中央长方形的长宽比也为9：7列方程求解，如果设中央长方形的长、宽分别为9xcm、7xcm，列方程显得更为简单．
【针对训练】
1.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图所示，某小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AB垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144米2，求甬路的宽度?
思路提示：为了使问题简化，不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考，这样子就使得问题显得轻而易举．
解：设甬路宽为x米，依题意得
．
解得x1＝ ，x2＝ (不合题意，舍去)．
答： ．
总结梳理整合提高
1.列一元二次方程解决几何图形面积有关的数学问题的基本步骤：实际问题数学问题构建模型计算求解.
随堂检测案
针对训练规律总结
请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.
当堂检测反馈矫正
1．有一个三角形的面积为25cm2,其中一边比这一边上的高的3倍多5cm，那么这一边的长是15cm，高是cm.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P以每秒2cm的速度由点C向点A运动，点Q以每秒1cm的速度由点B向点C运动，现已知AC=8cm，BC＝9cm，设运动了t秒时，△PQC的面积等于△ABC面积的一半，则t的值为（ A ）
A．3秒 B．1秒
C．3秒或1秒 D．4秒
3．一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数为6.
4．要用一条铁丝围成一个面积为120cm2的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是12cm.
5．（2012年襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
【答案】1m.
课后评价案
课后作业测评
1.上交作业 教科书第48页3,5,8题.
2.课后作业 见“学生用书”的“课后评价案”部分.
教学反思在线