2.2圆的对称性（第2课时） 课件 课件（共27张PPT）

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2.2 圆的对称性
第2课时 垂径定理
苏科版 九年级 上册
学习目标
1．理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
2．理解垂径定理并用垂径定理去解决圆相关的长度问题；
3．掌握垂径定理的证明与应用；
当堂检测
例题回顾
1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，
O
A
B
C
（1）若∠B=40 °，则∠AOC=______
（2）若∠AOC=70 °，则∠B=______
2.如图所示：在△ABC中，∠C=90 °，
C
A
B
（1）AB=10，BC=6，则AC=________
（2）AC=6，BC=2，则AB=________
80°
35°
8
　
导入新课
欣赏图片
思考：观察这些图片，你发现了什么？说一说你的发现。
　
导入新课
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m。
根据题目所给的数据，你可以求出赵州桥的半径吗？
提问：赵州桥的半径是多少？
讲授新课
知识点一 垂径定理及其推论
可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
问题1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？
讲授新课
问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
讲授新课
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
归纳总结
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
讲授新课
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
讲授新课
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
讲授新课
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
典型例题
如图所示，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，
CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的
直径CD的长.
例1
解 连接OA.
设OA=rcm，则OE=r-2(cm).
∵ CD⊥AB，
由垂径定理得
=4(cm).
讲授新课
在Rt△AEO中，由勾股定理得
解得 r=5.
∴ CD = 2r = 10 (cm).
即
练一练
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
已知： 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.
求证： =
练习
证明 作直径EF⊥AB，
∴
又 AB∥CD，EF⊥AB，
∴ EF⊥CD.
∴
因此
即
练一练
·
A
B
C
D
O
E
F
相等
证明:作直径EF垂直于弦AB，
由于AB//CD，因此EF⊥CD，
由于EF⊥AB，因此，AE=BE，
由于EF⊥CD，因此，CE=DE，
从而AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
讲授新课
知识点二 垂径定理的实际应用
例1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.
讲授新课
在Rt△OAD中，由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，
即 R2=18.72+(R-7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：桥拱所在圆的半径约为27.9m.
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设
⌒
AB
⌒
AB
⌒
AB
⌒
AB
R
D
37.4
7.2
O
A
B
C
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC-DC=R-7.2.
练一练
∴ AC= =56mm.
1.如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
C
解：过O点作弦AB的平分线，交直线AB于点C，连结OA，OB，则 OC⊥AB.
∵OC=65-32=33mm，
∴AB=2AC=112cm.
讲授新课
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
当堂检测
1.已知：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OA⊥CD于点P.求证： BC=BD.
证明：
O
A
B
C
D
P
∵CD是⊙O的一条弦，
直径AB⊥CD，
由垂径定理，得：
BC=BD.
当堂检测
2.已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长.
解：由半径、弦心距、弦的一半可以围成一个直接三角形.
∵直角三角形的斜边即半径长为13cm，一条直角边即弦心距为5cm，
∴ 另一条直角边长为 =12cm.
∴这条弦的长为24cm.
当堂检测
证明：
∵ AM=BM，∴PQ ⊥AB.
3.已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB ∕∕ CD.求证：DN=CN.
连结OC、OD，
∵OC=OD， ∠OND=∠ONC，
∴DN=CN.
∵ AB ∕∕ CD，∴PQ ⊥CD.
当堂检测
4．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt△AEO中，
∵OE⊥AB，
∴ AE= AB= ×8=4.
AO2=OE2+AE2.
AO= = =5cm.
当堂检测
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明： ∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，AB ⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 矩形ADOE为正方形.
∴∠OEA=90°，∠EAD=90°，∠ODA=90°.
AE= AC，AD= AB.
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
谢谢
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