2.4圆周角（第1课时） 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
苏科版 九年级上册
2.4 圆周角
第1课时 圆周角与圆心角的关系
学习目标
1．结合图形了解圆心角、圆周角的概念和区别；会叙述并且证明圆周角定理；
2．利用圆心角与圆周角的关系解决与圆相关的几何问题；
3．熟练掌握圆周角定理的推论，并学会其证明过程与应用；
当堂检测
知识回顾
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.
　
导入新课
在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
A
B
C
D
E
　
导入新课
各抒己见：图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交.
再思考一下：∠ABC、∠ADC和∠AEC的度数有什么关系呢？
讲授新课
知识点一 圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.(如∠BAC)
注：两个条件，缺一不可！
我们把∠BAC叫作BC所对圆周角，BC叫作圆周角∠BAC所对的弧.
⌒
⌒
讲授新课
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．
E
·
A
O
D
B
C
典型例题
例题1：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
不是
不是
是
不是
不是
图1
图2
图3
图4
图5
练一练
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
讲授新课
知识点二 圆周角定理及其推论
图中的∠ABC、∠ADC和∠AEC都是AC所对的圆周角，我们知道在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，那么图中的三个圆周角有什么关系？
⌒
A
B
C
D
E
讲授新课
为了弄清楚这三个角的关系，我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系.
我们猜测也相等
A
B
C
D
E
讲授新课
测量：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
测量与猜测
猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半.
等于
讲授新课
问题 变动点A的位置，看看上述结论是否依然成立？
A
A
A
变动点A的位置，圆周角的度数没有变化，它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
讲授新课
圆心O在∠BAC的内部
圆心O在
∠BAC的一边上
圆心O在
∠BAC的外部
圆心O与圆周角的位置有以下三种情况，我们一一讨论.
讲授新课
与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角
与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？
·
A
O
C
B
情形一 圆周角的一边通过圆心．
如图 圆O中，∠BAC的一边AB通过圆心．
从而∠BOC=∠C+∠BAC
=2∠BAC，
由于OA=OC，因此∠C=∠BAC，
即∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
讲授新课
·
D
A
O
C
B
情形二 圆心在圆心角的内部
如图，圆O在∠BAC的内部．作直径AD，
根据情形一的结果得
∠BAD = —————，
∠DAC = —————．
= ——————
从而∠BAC=∠BAD+∠DAC
= ——————
讲授新课
情形三 圆心在圆周角的外部．
A
·
O
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
综上所述，我们证明了下述定理：
你能证明∠BAC= ∠BOC吗？
如图，圆心O在∠BAC的外部．
证明:
∵∠BAD= ∠BOD
∠CAD= ∠COD
∴∠BAD－CAD= (∠BOD-∠COD)
∴∠BAC= ∠BOC
作直径AD
讲授新课
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理及其推论
A1
A2
A3
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
要点归纳
典型例题
B
C
O
.
70°
A
例题2、如图OA，OB，OC都是⊙O的半径，已知∠AOB=50°
∠BOC=70°求∠ACB和∠BAC度数.
∴∠ACB= ∠AOB=25°
同理∠BAC= ∠BOC=35°
解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB
所对的弧为 弧AB
练一练
1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，已知∠AOC=45°，则∠B=_______， ∠A=_________； ∠ACB=_______
B
A
C
O.
22.5°
67.5°
90°
讲授新课
2、如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
练一练
解析：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°，
故选：B．
当堂检测
答：（1）、（2）是圆周角，（3）、（4）不是圆周角，
因（3）、（4）不满足圆周角定义，角顶点没在圆上.
1.下图中各角是不是圆周角？请说明理由.
（1）
（2）
（3）
（4）
当堂检测
解：∵点A、B、C、D在
⊙O上，∠BAC=35°，
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC=35°.求∠BDC、∠BOC的度数.
∴∠BDC=∠BAC=35°.
（同弧所对圆周角相等）
∴∠BOC=2∠BAC=70°.
（同弧所对的圆周角等
于圆心角的一半）
当堂检测
3. 如图，在圆O中，弦AB与CD相交于点M. 若∠CAB = 25°， ∠ABD=95°， 试求∠CDB 和∠ACD 的度数.
圆周角∠ACD与圆周角∠ABD所对的
弧均为 ，
∵
解：
∠ACD= ∠ABD= 95°.
∴
同理 ∠CDB = ∠CAB= 25°.
当堂检测
4. 如图， 点A，B，C 在⊙O 上， AC∥OB. 若∠OBA=25°， 求∠BOC的度数.
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC所对的
弧均为 ，
∵
∠BOC = 2∠BAC = 50°.
∴
解
∵ AC∥OB，∠OBA=25°，
∠BAC= ∠OBA=25°.
∴
当堂检测
5. 如图， 在⊙O 中，AB是直径， C，D是圆上两点，
且AC =AD．
求证：BC=BD.
∵ AC=AD，
∴ ∠AOC=∠AOD.
∴ ∠COB=∠DOB.
∴ BC=BD.
证明
连接CO、DO.
当堂检测
C
6、如图，对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形，证明∠APB= ∠AOB.
证明：连接PO并延长交⊙O于点C.
易知PO=BO=CO，
∴ ∠OAP=∠OPA，∠OBP=∠OPB.
由外角和定理易知
∠COA=∠OAP+∠OPA=2∠OPA；
∠COB=∠OBP+∠OPB=2∠OPB.
而∠AOB=∠COB-∠COA=2∠OPB-2∠OPA=2∠APB.
∴ ∠APB= ∠AOB.
当堂检测
7、如图，∠ACB与∠ADB分别为⊙O上同一条弧AB所对的两个圆周角.
（1） ∠ACB与∠ADB之间具有怎样的大小关系？把你猜想和大家进行交流.
（2）试证明你的猜想.
（1） ∠ACB=∠ADB
（2）连接AO，BO，CO，DO.由同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半可知：
∠AOB=2∠ADB=2∠ACB.所以∠ACB=∠ADB.
解：
课堂小结
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义.
2、圆周角定理及其定理应用.
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论1
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等；
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角
谢谢
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