3.3圆周角（2）课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
青岛版 数学 九（上） 第3章： 对圆的进一步认识
3.3 圆周角 （2）
复习回顾
1、什么叫做圆周角
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2、圆周角定理：
3、圆周角定理的推论1：
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
定义（1）：顶点在圆上,且角的两边分别与圆相交的角
叫做圆周角.
定义（2）：两条有公共端点的弦所夹的角叫做圆周角.
新知探索一
（1）如图1,在⊙O中,同弧 所对的圆周角∠B,∠D,
∠E的大小有什么关系 为什么
AC
● O
B
A
C
D
E
图 1
结论: 同弧所对的圆周角相等；
AC =
EF
（2）如图2,在⊙O中,若 那么圆周角∠B,∠D
的大小有什么关系 为什么
● O
B
A
C
D
E
F
图 2
新知探索一
AC与
EF
（3）如图2,在⊙O中,若圆周角∠B=∠D,那么 是
等弧吗 为什么
结论:
（1） 等弧所对的圆周角相等；
（2）同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
AC =
EF
（4）如图3,⊙O1与⊙O2是等圆,若 那么圆周角
∠B,∠D的大小有什么关系 为什么
新知探索一
AC与
EF
（5）如图3,⊙O1与⊙O2是等圆,若圆周角∠B=∠D,那么
是 等弧吗 为什么
结论:
（1） 等弧所对的圆周角相等；
（2）等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
● O1
B
A
C
图 3
O2 ●
D
E
F
新授知识小结1
1、圆周角定理的推论2
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
● O
B
A
C
D
E
图 1
● O
B
A
C
D
E
F
图 2
● O1
B
A
C
图 3
O2 ●
D
E
F
求:∠ACB的度数。
已知:如图，AB是⊙O的任意一条直径，并在圆上任取一
点C（不同A、B），连接AC、BC。
●O
C
A
B
新知探索二
解:∵AB是直径
∴半圆AB的度数为180°
∴∠ACB=90°
还有其它解法吗？
A
C
O
B
图1
1
2
解：连接OC.
∴∠A=∠1,∠2=∠B.
∴∠ACB=∠1+∠2
=∠A+∠B
∵∠ACB+∠A+∠B=180°
∴2∠ACB =180 °
∴∠ACB =90 °
A
C
O
B
图2
解：过点O作OD⊥BC于点D.
D
┓
∵AB是⊙O的直径
∴OA=OB=OC
∵O是圆心
∴点D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴OD//AC
∵OD⊥BC
∴AC⊥BC
∴∠ACB =90 °
2、圆周角定理的推论3：
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
新授知识小结2
你能说出该定理的逆命题吗？
这个逆命题是真命题吗？
（2）90°的圆周角所对的弦是直径.
你能证明该逆定理吗？
已知：A,B,C是⊙O上任一点,∠ACB =90°
求证：AB是⊙O的直径.
证明：取AB的中点O，并连接OC.
∵△ABC是直角三角形，
点O是 AB的中点，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外接圆圆心
∵AB是△ABC外接圆的弦，并且过圆心O
∴弦AB是圆的直径
A
B
C
●O
例题讲解
例1、如图，△ABC内接与⊙O,A为劣弧 的中点，∠BAC=
120°,过点B作⊙O的直径BD，连接AD,若AD=6,求AC的长.
BC
A
C
O
B
D
解:点A是劣弧BC的中点
∴AB=
AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠BAC=120°
∴∠ACB=120°
∴∠D=∠ACB=120°
∵BD是⊙O的直径
∴∠DAB=90°
在Rt△ABD中
∵AD=6
例2、如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD并延长到C，使BD=DC,连接AC。
试判断△ABC的形状。
C
D
●O
B
A
温馨提示：
（1）有直径时，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角。
例题讲解
（2）有两个中点时，常常构造三角形的中位线。
C
D
●O
B
A
C
D
●O
B
A
理由：连接AD
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
∵BD=CD
∴AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC
解:△ABC是等腰三角形
∴△ABC是等腰三角形
解:△ABC是等腰三角形
理由：连接OD
∴OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∵O是AB的中点,BD=CD
∴OD是△ABC的中位线
∴OD//AC
∴∠C=∠ODB
∴∠OBD=∠C
∴△ABC是等腰三角形
A
B
C
m
D
O●
例3、如图,已知:△ABC内接于⊙O,AC=5,BC=12,AB=13,
D是AmB的中点。
求：BD的长。
例题讲解
提示：①△ABC是直角三角形吗？
②弦AB是直径吗？
③怎样把弦BD转化到直角三角形中？
解：连接AD
∵AC=5,BC=12,AB=13
∴AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
∴AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵点D是 的中点
AmB
AD
BD
∴ =
∴ AD=BD
∴∠DBA=∠DAB=45°
A
B
C
m
D
O●
在Rt△ABD中
例4、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。
求证：AB·AC = AE·AD
提示：
① AB·AC = AE·AD由什么式子变形得到？
△ABD∽△AEC或△ABE∽△ADC
例题讲解
A
O
B
C
D
E
┓
③若得到两三角形相似，得作什么辅助线呢？
A
O
B
C
D
E
┓
证明：连接CE
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACE=90°
∴∠ADB=90°
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ACE
∵∠ABD=∠AEC
(同弧所对的圆周角相等）
∴△ABD∽△AEC
∴AB·AC = AE·AD
A
O
B
C
D
E
┓
证明：连接BE
∵AE是⊙O的直径
∴∠ABE=90°
∴∠ADC=90°
∵AD⊥BC
∴∠ABE=∠ADC
∵∠AEB=∠ACD
(同弧所对的圆周角相等）
∴△ABE∽△ADC
∴AB·AC = AE·AD
例题讲解
A
O
B
C
D
E
┓
F
例5、如图，AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点,C是AE的中点，
CD⊥AB垂足为D,AE交CD于F,连接AC。
求证：AF=CF.
提示：
① 因为AF,CF是△ACF的两边，若
证AF=CF，得证哪两个角相等？
∠FAC=∠FCA
②∠FAC是圆周角，它所对的弧是CE，
而AC所对的圆周角是哪一个呢？
③怎样添加辅助线？
④又怎样证∠ABC=∠FCA
A
O
B
C
D
E
┓
F
证明：连接BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=90°
∵CD⊥AB
∴∠FCA=∠ABC
∴∠ABC+∠DAC=90°
∴∠FCA+∠DAC=90°
∴AC=
CE
∵C是AE的中点
∴∠FAC=∠ABC
∴∠FCA=∠FAC
∴AF=CF
练 习
P87 练习 第1、2题
3、如图，已知：OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D。
求：AD与BD的关系，并说明理由。
A
●O
●
C
D
B
温馨提示：有直径时，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角。
练 习
AD=BD
课堂小结
1、圆周角定理的推论2：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2、圆周角定理的推论3：
（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
（2）90°的圆周角所对的弦是直径.
P89-90习题3.3 第4、5、7题
作 业
结束寄语
不学自知,不问自晓,
古今行事,未之有也.
再见