基本不等式

基本不等式
一．基本知识点
1. 重要不等式：，，当且仅当时，等号成立。
2. 基本不等式：，，当且仅当时，等号成立。
练习：已知，
（1）若，则的最小值是 ，此时 ， 。
（2）若，则的最小值是 ，此时 ， 。
（3）若，则的最大值是 ，此时 ， 。
（4）若，则的最大值是 ，此时 ， 。
二．常用方法
1.添项
（1）求函数的最小值。
（2），，求的最大值。
2. 配凑
（1），求的最大值。
（2）设满足，且为正实数，求 的最大值。
3.“1”的妙用
（1）已知，，则的取值范围是 。
（2）已知，且，求的最小值。
4.拆项（分离变量）
（1）求的最值。
（2）求的最小值。
5.构造不等式
（1）若实数满足，则的最大值是 。
（2）已知，且，求的取值范围。
三．综合练习
1. 求函数的最小值。
2.求函数的最小值。
3. 求函数的最大值。
4.求函数的最大值。
5. 求函数的最小值。
6.正数满足。（1）求的最小值；（2）求的最小值。
7.已知都是正实数，且满足，则使恒成立的的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
8.已知，则的最小值是 。
答案
一．基本知识点
练习（1）12,6,6 （2）24,3,12 （3）81,9,9 （4）50,10,5
二．常用方法
1.添项
（1）解：，，当且仅当时，等号成立，
（2）解：
当且仅当时等号成立。
2. 配凑
（1）解：，，当且仅当时等号成立。
（2）解：，，当且仅当时等号成立。
3.“1”的妙用
（1）
解;，当且仅当时等号成立.
（2）解：，当且仅当，又，即时等号成立。
4.拆项（分离变量）
（1）解：将原式换成，，当且仅当时，即时等号成立，舍。最小值为8.
（2）解：，当且仅当，即时等号成立，舍。最小值为9.
5.构造不等式
（1）。由，得，，解得，当且仅当时，取最大值。
（2）解：，，，，，当且仅当时，，由且，得，取值范围。
三．综合练习
1. 解，当且仅当，即时等号成立。
2.解：，当且仅当，即时等号成立。
3. 解：，
4. 解：，
5. 解：，
6.解（1），，
（2），当且仅当，即时等号成立。
7.答：D
,即。，
8.答案：16.
解; ,取等
，当且仅当等号成立
时，最小值16.