2022-2023学年人教版八年级数学上册 11.2.2 三角形的外角练习(Word版含答案)

11.2.2 三角形的外角
一．选择题
1．任意三角形的外角和是（　　）
A．180° B．270° C．360° D．540°
2．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　）
A．60° B．100° C．90° D．80°
3．如图，∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，则∠C的度数是（　　）
A．46° B．44° C．36° D．26°
4．如图，在△ABC中，∠B＝50°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD＝100°，则∠AEC的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．50°
5．下面说法正确的个数是（　　）
（1）三角形中最小的内角不能大于60°； （2）三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；
（3）三角形任意两个内角的和大于第三个内角；（4）直角三角形只有一条高；
（5）在同圆中任意两条直径都相互平分；
（6）三角形一边上的高小于这个三角形的其他两边．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的三个外角度数的比为4：5：6，则∠A＝（　　）
A．96° B．84° C．48° D．24°
7．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点B落在边EF上，点D落在边AC上，则∠α的大小为（　　）
A．165° B．160° C．150° D．135°
8．如图BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E．若∠A＝30°，∠E＝20°，则∠ACB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．∠B+∠ACB＜180° B．∠B+∠ACB＝180°﹣∠A
C．∠B＞∠ACD D．∠HEC＞∠B
二．填空题
10．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A的大小为 　 　．
11．如图，∠1：∠2：∠3＝1：3：6，则∠4＝　 　．
12．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠ADC＝82°，∠B＝46°，则∠BAD的度数为 　 　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝80°，剪去∠A后得到四边形BCDE，则∠1+∠2＝　 　．
14．如图，∠BDC＝90°，∠B＝20°，∠C＝40°，则∠A的度数是 　 　．
15．在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝20°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数为 　 　．
三．解答题
16．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
17．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝32°，∠C＝64°．求∠CAD和∠AEC的度数．
18．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．
20．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
21．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．
（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝　 　；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝　 　；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
22．数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．
性质初探
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．
①求证：∠A+∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．
23．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
24．AB和AC相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系．
小明是这样做的：
解：如图（2）以点A为端点作射线AD，
∵∠1是△ABD的外角，∴∠1＝∠B+∠BAD，
同理∠2＝∠C+∠CAD，
∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD，
即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，
小英的思路是：如图（3）延长BD交AC于点E．
（1）按小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论．
（2）如图（4），△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明．
25．【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　°；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接写出∠BPC的度数．（用含m、n的代数式表示）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【分析】可设三角形的三个内角的度数分别为a，b，c，则可表示出相应的外角，再相加即可．
【解答】解：设三角形的三个内角的度数分别为a，b，c，
∴a+b+c＝180°，
其相应的外角的度数为：a+b，b+c，a+c，
∴三个外角的度数为：a+b+b+c+a+c＝2（a+b+c）＝360°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟练掌握三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
2．【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝2∠ACE＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠A的度数．
【解答】解：∵CE平分∠ACD，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
3．【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解答】解：∵∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝44°，∠CBD＝80°，
∴∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝36°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
4．【分析】根据三角形外角的性质可得∠BAC的度数，根据角平分线的定义可得∠EAC的度数，再根据三角形的外角性质可得∠AEC的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ACD＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝25°，
∴∠AEC＝∠ACD﹣∠EAC＝100°﹣25°＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
5．【分析】根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线，圆的概念等知识逐项判定可求解．
【解答】解：（1）三角形中最小的内角不能大于60°，若大于了60°，三角形的内角和就大于了180°，故原说法正确，符合题意；
（2）三角形的一个外角大于和它不相邻的两个内角的和，故原说法错误，不符合题意；
（3）三角形任意两个内角的和不一定大于第三个内角，当第三个角为钝角时就不大于，故错误，不合题意；
（4）直角三角形有三条高，故错误，不符合题意；
（5）在同圆中任意两条直径都相互平分，故正确，符合题意；
（6）直角三角形一边上的高可以等于这个三角形的其他边，故财务，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线，圆的概念，掌握相关内容是解题的关键．
6．【分析】根据三角形的外角和等于360°列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠A、∠B、∠C的三个外角度数分别为4x、5x、6x，
则4x+5x+6x＝360°，
解得，x＝24°，
则∠A的外角为4x＝96°，
∴∠A＝84°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．
7．【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠E＝30°，由三角形的外角性质可求得∠BHE＝15°，再利用平角的定义即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：∠ABC＝45°，∠E＝30°，
∵∠ABC是△BEH的外角，
∴∠ABC＝∠E+∠BHE，
∴∠BHE＝∠ABC﹣∠E＝15°，
∴∠α＝180°﹣∠BHE＝165°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
8．【分析】由角平分线的定义可得∠CBD＝2∠EBD，结合三角形外角的性质可求解∠CBD＝100°，再根据∠CBD＝∠A+∠ACB可求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABD，
∴∠CBD＝2∠EBD，
∵∠EBD＝∠A+∠E＝30°+20°＝50°，
∴∠CBD＝2×50°＝100°，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝100°﹣30°＝70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角，角平分线的定义，求解∠CBD的度数是解题的关键．
9．【分析】根据三角形的外角性质、三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＜180°，本选项说法正确，不符合题意；
B、在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠A，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵∠ACD是△ACB的一个外角，
∴∠B＜∠ACD，本选项说法错误，符合题意；
D、∵∠HEC＞∠ACD，∠ACD＞∠B，
∴∠HEC＞∠B，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
二．填空题
10．【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
又∵∠B＝45°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝150°﹣45°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
11．【分析】由平角的定义可得∠2+∠3＝180°，从而可求得∠1＝20°，则∠3＝120°，利用三角形的外角性质即可求∠4的度数．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝1：3：6，
∴∠2＝3∠1，∠3＝6∠1，
∵∠2+∠3＝180°，
∴3∠1+6∠1＝180°，
解得：∠1＝20°，
∴∠3＝120°，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1+∠4＝∠3，
∴∠4＝∠3﹣∠1＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
12．【分析】根据三角形的外角的性质，可得∠ADC＝∠B+∠BAD，进一步即可求出∠BAD．
【解答】解：根据外角的性质，可得∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADC＝82°，∠B＝46°，
∴∠BAD＝82°﹣46°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
13．【分析】利用∠1、∠2是△ADE的外角，利用外角性质，可得∠1＝∠ADE+∠A，∠2＝∠AED+∠A，利用等式性质可求∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠1、∠2是△ADE的外角，
∴∠1＝∠ADE+∠A①，∠2＝∠AED+∠A②，
∴∠1+∠2＝∠ADE+∠A+∠AED+∠A，
又∵∠ADE+∠A+∠AED＝180°，
∴∠1+∠2＝180°+80°＝260°．
故答案为：260°．
【点评】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．
三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
14．【分析】延长BD交AC于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用∠B、∠A、∠C表示出∠BDC，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，延长BD交AC于E，
由三角形的外角性质，∠A+∠B＝∠CED，
∠C+∠CED＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C，
∵∠BDC＝90°，∠B＝20°，∠C＝40°，
∴∠A+20°+40°＝90°，
解得∠A＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键．
15．【分析】分两种情况进行讨论：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，再利用三角形的内角和定理进行求解即可．
【解答】解：①当∠ADB＝90°时，如图，
∵∠ADB＝90°，∠ABC＝40°，∠ACB＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABC＝50°，
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝120°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°；
②当∠BAD＝90°时，如图，
∵∠ABC＝40°，∠ACB＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝120°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°．
故答案为：30°或70°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是对直角的位置进行讨论．
三．解答题
16．【分析】（1）由三角形的外角性质可得∠ADC＝∠B+∠BAD，从而可求解；
（2）结合（1）利用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，且∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴70°＝∠B+∠B，
解得：∠B＝35°；
（2）∵∠B＝35°，∠BAC＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝65°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
17．【分析】根据题意，得∠ADC＝90°，进一步即可求出∠CAD，根据三角形的内角和可得∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAE，再根据外角的性质即可求出∠AEC．
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝64°，
∴∠CAD＝26°，
∵∠B＝32°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣32°﹣64°＝84°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝42°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝32°+42°＝74°．
【点评】本题考查了三角形的内角和和外角的性质，涉及三角形的角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
18．【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠DCE＝60°，再由角平分线的定义可得∠ACE＝60°，利用三角形的内角和定理即可求∠CAE的度数；
（2）由三角形的外角性质可得∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，再由角平分线的定义得∠ACE＝∠DCE，从而可求解．
【解答】（1）解：∵∠DCE是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACE﹣∠E＝95°；
（2）证明：∵∠DCE是△BCE的外角，∠BAC是△ACE的外角，
∴∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵CE平分角ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
19．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
20．【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠ACD＝∠A+∠ABC，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答．
【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2∠ABC，∠4∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2（∠ACD﹣∠ABC）∠A58°＝29°；
（2）∠A与∠E的关系是：∠E∠A，
理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2∠ABC，∠4∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2（∠ACD﹣∠ABC）∠A．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
21．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）与（1）方法相同求解；
（2）与（1）的思路相同解答．
【解答】解：（1）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+45°＝135°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE∠ABN＝67.5°，∠BAC∠BAO＝22.5°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝67.5°﹣22.5°＝45°；
（2）根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO＝90°+60°＝150°，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE∠ABN＝75°，∠BAC∠BAO＝30°，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠C不会随A、B的移动而发生变化．
理由如下：根据三角形的外角性质，∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE∠ABN，∠BAC∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC（∠AOB+∠BAO）∠BAO∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠C＝45°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，此类题目各小题的求解思路都相同．
22．【分析】（1）如图①，延长DC交AB于点E，根据三角形外角的性质得到∠A+∠D＝∠BEC，同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，从而求得∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
（2）①如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，根据四边形的内角和等于360°，以及等量关系即可求解；
②由（1）可知，在凹四边形ABED中，∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，同理，在凹四边形EBCD中，∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．
【解答】（1）证明：如图①，延长DC交AB于点E，
∵∠BEC是△AED的一个外角，
∴∠A+∠D＝∠BEC，
同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，
∴BCD＝∠A+∠B+∠D．
（2）①证明：如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，
由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，
∵在四边形AFCG中，∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG＝360°，
∴∠A+∠FCG＝180°，
∵∠FCG＝∠BCD，
∴∠A+∠BCD＝180°；
②解：由（1）可知，在凹四边形ABED中，
∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，
同理，在凹四边形EBCD中，
∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
同理，∠ADE＝∠EDC，
①﹣②得∠A+∠BCD＝2∠BED，
由（2）①可知，在凹四边形ABCD中，∠A+∠BCD＝180°，
∴2∠BED＝180°，
∴∠BED＝90°．
【点评】考查了凹四边形，三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
23．【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由题意得：∠DAE＝∠DA′E，可推断出∠1＝2∠DAE．
（2）如图2，连接AA′．由三角形外角的性质，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由题意知：∠EAD＝∠EA′D，进而推断出∠1+∠2＝2∠EAD．
【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
【点评】本题主要三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
24．【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠BDC＝∠C+∠CED，∠CED＝∠BAC+∠B，进而得出∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC；
（2）依据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，即可得出∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝90°∠A．
【解答】解：（1）证明：如图3，延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△CDE的外角，
∴∠BDC＝∠C+∠CED，
同理可得∠CED＝∠BAC+∠B，
∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC；
（2）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°∠A．
证明：∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形外角性质的运用，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25．【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB＝135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A＝m°，∠B＝n°，即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C＝70°+15°＝85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C＝70°+30°＝100°；
故答案为：85或100；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
又∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠ABC∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC∠Am°；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
∴∠BPC∠Am°；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠BPC∠A∠ABCm°n°；
情况四：如图④、⑤，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当m＞n时，∠BPC∠A∠ABCm°n°；
②当m＜n时，∠P∠ABC∠An°m°．
综上所述：∠BPC的度数为：m°或m°或m°n°或m°n°或n°m°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．