2022-2023学年北师大版八年级数学上册1.3 勾股定理的应用同步练习（Word版含答案）

北师大版八上 1.3 勾股定理的应用
一、选择题（共10小题）
1. 如图，将一根长为 （）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直地向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长度为
A. B. C. D.
2. 已知，如图长方形 中，，，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
3. 如图所示，正方体的棱长为 ，一只蜘蛛从正方体的一个顶点 爬行到另一个顶点 ，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是
A. B. C. D.
4. 如图是一个四级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ，，， 和 是这个台阶上两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路程为
A. B. C. D.
5. 如图， 是一张纸片，，，，现将其折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为
A. B. C. D.
6. 如图，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 处，则这条丝线的最小长度是
A. B. C. D.
7. 如图，一根长 米的竹竿 斜靠在竖直的墙上，这时 为 米，若竹竿的顶端 沿墙下滑 米至 处，则竹竿底端 外移的距离
A. 小于 米 B. 等于 米 C. 大于 米 D. 以上都不对
8. 如图所示，已知在三角形纸片 中，，，，在 上取一点 ，以 为折痕，折叠 ，使点 与 延长线上的点 重合，则 的长度为
A. B. C. D.
9. 正方体盒子的棱长为 ， 的中点为 ，一只蚂蚁从点 爬行到点 的最短距离为
A. B. C. D.
10. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 ，高是 ，上底面的中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为 ，若直吸管在罐外部分的长度为 ，则吸管的总长度 （罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题）
11. 如图，已知平行四边形 ， 是边 的中点，连接 并延长，与 的延长线交于点 ．设 ，，那么向量 用向量 ， 表示为 ．
12. 如图，在一根长 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为 ，彩色丝带均匀地缠绕了 圈，则彩色丝带的总长度为 ．
13. 如图，在 中，，，点 ， 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，那么 ．
14. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，蚂蚁爬行的最短距离为 ．
三、解答题（共5小题）
15. 如图，某圆柱形水杯的高为 ，底面周长为 ，在外侧杯底的点 处有一只蚂蚁，与它相对的内测距杯口 的 处有一滴蜂蜜，求蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程．
16. 如图，已知某学校 与直线公路 相距 ，且与该公路上一个车站 相距 ．现要在公路边建一个超市 ，使之与学校 及车站 的距离相等，那么该超市与车站 的距离是多少米
17. 如图，在 中，，，，将 折叠，使点 恰好落在边 上，与点 重合， 为折痕，求 的长．
18. 如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ，，， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，问：蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是多少
19. 如图，长方形纸片 沿对角线 折叠，设点 落在 处， 交 于点 ，，，求阴影部分的面积．
答案
1. B
【解析】 中，，；
根据勾股定理，得：；
同理可得 ，
；
故拉长后橡皮筋的长度为 ．
故选：B．
2. C
3. D
【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接 ，如图所示，
爬行的最短路径为线段 ．
由勾股定理得，，
故选D．
4. C
5. C
【解析】 在 中，，
，
．
由折叠可得 ，，，
设 ，则 ，
在 中，，即 ，解得 ．
在 中，，
．
6. D
【解析】如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接 ，
根据勾股定理得 ，
所以 ．
7. A
【解析】在 中， 米， 米，
米，
在 中， 米， 米，
米，
（米）．
8. C
【解析】，，，
，
由翻折的性质得，，，
，，
在 中，，
即 ，
解得 ．
9. A
【解析】将正方体展开，如图所示，连接 ，
因为点 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
蚂蚁从 点爬行到 点的最短距离为 ．
10. D
【解析】如图，设圆柱底面圆的圆心为 ，连接 ，，
当吸管底部在 点时，吸管在罐内部分最短，即 的值最小，此时 ；
当吸管底部在 点时，吸管在罐内部分最长，此时 的值最大，
在 中，，故此时 ，
所以 ，
则吸管的总长度 （罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是 ．
故选D．
11.
【解析】如图，连接 ，．
四边形 是平行四边形，
，．
．
又 是边 的中点，
，
，即点 是 的中点，
四边形 是平行四边形，
，故 ，
．
12.
【解析】如图，
设彩色丝带的总长度为 ，
则 ，
．
13.
14.
【解析】分三种情况进行讨论：
①将四边形 与四边形 展开放在同一平面内．连接 ，如图 所示，
所走的最短路线显然为线段 ，
在 中，由勾股定理得 ；
②将四边形 与四边形 展开放在同一平面内．连接 ，如图 所示，
所走的最短路线显然为线段 ，
在 中，由勾股定理得 ；
③将四边形 与四边形 展开放在同一平面内．连接 ，如图 所示，
所走的最短路线显然为线段 ，
在 中，由勾股定理得 ．
因为 ，
所以情况①的路线最短，故蚂蚁需要爬行的最短路程是 ．
15. 如图为圆柱的侧面展开图，
设点 关于杯口所在直线的对称点为 ，连接 ，
易得 ，，
在 中，
，
．
故蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程是 ．
16. 该超市与车站 的距离是 ．
17. 根据折叠可得 ，，
设 ，则 ，
，，，
在 中，由勾股定理得，，
，
在 中，由勾股定理得，，
解得 ．
18. 经分析，如图，
把台阶看成是由纸片折成的，将其拉平成一张长方形（宽为 ，长为 ）的纸，连接 ，则线段 即为最短路径，因为 ，所以 ，即蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是 ．
19. 在 和 中，
，，，
，
，
设 ，则 ，
在 中，，
即 ，
，
，
．