课件6张PPT。二项式定理
习题课课堂练习：1. 等于 （ ）
A. B. C. D. 2．在 的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．8003.求的展开式中 项的系数.4．已知
那么 的展开式中含 项的系数是 . 5.求值：课件16张PPT。问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法。
答案：所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
甲已 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
A村B村C村北南中北南 分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有2种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
答案：分类加法计数原理 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
分布乘法计数原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法。
㈢ 例题
1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。
(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？
(2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。
2．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是
1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.
则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
练习则根据加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个) 4. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？
练习练习1
(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ 点评: 加法原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。
乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。
在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。
1.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？
AB㈣ 课堂练习
2 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
所以共有：
2.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
练习㈣ 课堂练习
1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
问: 若用4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180种等。
两个原理的选择 如果完成一件事情有 n 类办法, 这 n 类办法彼此之间是相互独立的, 无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情, 求完成这件事情的方法种数, 就用分类加法计数原理.关于分类 首先要根据问题的特点确定一个分类的标准, 然后再分类;其次分类时要掌握两个原则:(1)完成这件事的任何一种方法都必须属于某一类;
(2)分别属于不同两类的方法是不同的方法.不重不漏(1)确定分步标准; (2)分成的 n 个步骤要连续完成; (3)每步中任何一种方法都可以与下一步中的任何一种方 法连接.注：既可分类又需分步时, 一般先分类后分步.关于分步 如果完成一件事情需要分成 n 个步骤, 各个步骤都是不可缺少的, 需要依次完成所有的步骤, 才能完成这件事情, 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法, 求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理. ㈥ 结束语
两大原理妙无穷,
解题应用各不同；
多思慎密最重要，
茫茫数理此中求。
课件21张PPT。一、特殊元素“优先安排法”例1：某天上午要排语文、数学、体育、计算机共4门课，其中体育不能排第一节，那么课程表的不同排法有多少种？解法一：先排体育A31，再排其他学科A33，共有3A33=18种解法二：先任意排，再排除体育在第一节的情况，共有A44-A33=18种常用方法技巧举例例2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有多少种？解：先排列车a，并对其进行分类讨论：
（1）若列车a停在第二轨道上，则剩下四列车可自由停放，有A44种方法：
（2）若列车a停在第三或第四或第五轨道上，则根据分步计数原理有A31A31A33种停法：
再根据分类计数原理，不同的停放方法共有A44+A31A31A33=78种。二、合理分类与准确分步法例3：7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同的排法？解：甲、乙、丙三人相邻则把三人“捆绑”起来看作一个元素，先排甲、乙、丙三人，有A33种排法，然后甲乙丙三人作为一个元素与其余4人共5个元素作全排列，有A55种排法，故共有A55A33=720不同的排法。三、相邻问题“捆绑法”例4：在例3中，若要求甲、乙、丙三人不相邻，则又有多少种不同的排法？解：先让其余4人排好，有A44种排法，再在这4人之间及两端的5个间隙中选3个位置让甲、乙、丙三人插入，则有A53种方法，故共有A44A53=1440种不同的排法。四、不相邻问题“插空法”六、顺序固定问题用除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。例5：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的六位数有多少个？解：若不考虑附加条件，组成的六位数共有A51A55个，而其中个位数与十位数的A22种排法中只有一种符合条件。故符合条件的六位数共有A51A55/A22=300个七、“小团体”问题“先局部后整体”或“先整体后局部”法
对于“小团体”排列问题，与相邻问题相似，可先排小团体内部，再将小团体看作一个元素与其他元素全排列，或先将小团体看作一个元素与其余元素排列，最后再进行小团体内部的排列。例6：7人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好有2人，有多少种站法？解：甲、乙及其中间的2人组成一个小团体，首先小团体的另外2人可从其余5人中任选出来且要排列，有A52种排法，再排甲、乙，有A22种排法，然后小团体与其余3人共4个元素全排列，有A44种排法，故符合要求的站法共有A52A22A44=960种。八、分排问题直排法
把几个元素排成前后若干排的问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例7：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则不同的坐法有多少种？解：7个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。注：上题，若要求7人中的甲必须坐第一排，则不同的坐法有多少种？答案：A31A66=2160种练习：1、7个人排成一排，以下情形各有多少种不同的排法？
（1）甲必须排在中间或两头
（2）甲、乙、丙必须在一起
（3）甲、乙、丙三人左右顺序一定
（不一定相邻）
（4）甲、乙之间恰有3人
（5）甲、乙不排两端，且他们都与丙相邻
（6）甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻 A31A66=2160A33A55=720A77 / A33=840A53A22A33=720A22A44A31=144A77-2A22A66+A22A55=2400A66+A41A51A55=3120（7）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间2：用0、1、2、3、4、5六个数码
（1）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的正整数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
（4）可以组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？（4）A53+A41A42=108解：（1）A51A53=300 或 A64-A53=300（2）A51（1+A51+A52+A53+A54+A55）=1630（3）A31A41A42=144九、分配中的两类不同的问题1、若分配中只有“分堆”，而不指定分到某个位置或某个人，则只与组合有关。
2、若分配中指定分配到某个特定位置或某个人，则与排列组合都有关。一般情况下，先组合再排列。例8：（1）10名篮球队主力队员被平均分成两组进行训练，有多少种不同的分法？
（2）10名篮球队主力队员被平均分到甲乙两个俱乐部，有多少种不同的分法？解：（1）共有C105C55/A22=126种分法。（2）共有C105C55A22/A22=252种分法。思考：上例中，若不是分成人数相同的两组，而是一组4人，另一组6人，又该如何解答呢？解：（1）C104C66=210
（2）C104C66A22=420十、混合应用问题“先选后排法”
对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。例9：从A、B、C、D、E五名运动员中，任选4名排在1、2
、3、4四条跑道上，其中运动员E不能排在1、2跑道上，则
有多少种不同的排法数？十一、构造“隔板”模型法
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。例10：方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？解：建立隔板模型：将12个完全相同的小球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各自的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有C113=165组。若是非负整数解呢？例11：在7名学生中，有3人会下象棋，但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋和围棋比赛（同时进行）共有多少种不同的选法？十二、其他问题12、有8名同学，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，3名既会唱歌也会跳舞，现从中选出3名唱歌，2名跳舞的去参加文艺汇演，有多少种选法？解：2名只会跳舞的全选：C22C63=20
2名只会跳舞的选1人：C21C31C53=60
2名只会跳舞的不选：C32C43=12
所以共有92种选法。13、有6本不同的书，按下列分配方式，分别有多少种不同的分配方法？
（1）分成1本，2本，3本的三组
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本
（3）分成每组都是2本的三组
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本解： （1）C61C52C33=60（2）C61C52C33A33=360（3）C62C42C22/A33=16（4）C62C42C22A33/A33=90例14：从5双不同的袜子中任取4只，至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？注：也可从反面考虑，总的取法有C104=210，4只袜子没有配成一双或两双的取法有C54C21C21C21C21=80，所以共有210-80=130种取法。解：满足要求的取法有两类，
一类是4只中恰有两只配对：
另一类是4只恰好陪成两双：C52=10；所以4只中至少有2只配对的可能取法有130种。15、某小组8人，现从男生中选3人，女生中选2人，参加语文、数学、英语三科单科知识竞赛，每科均不得缺席也不能兼报，已知共有4500种不同的参赛方案，求该小组男女生的人数。解：设有男生x人，则女生8-x人，由题意：
CX3C8-X2（C53A33+C51C42C22A33/A22）=4500
所以 CX3C8-X2=30
解得 x =5
所以 男生5人，女生3人。16、某中学邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选法种数有多少种？答案：C61C52C21C21=24017、90本相同的书分给10个同学，每人至少1本，共有多少种不同的分法？（用式子表示）答案：C899解答排列组合问题的基本思想方法 解答排列组合问题，首先要认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，还是排列组合的混合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。注：（1）一个问题是排列还是组合问题，关键是在区分有序还是无序；
（2）要解决一个问题首先要弄清要完成的事件，对于较复杂的排列组合的混合问题要设计好完成事件的程序。
（3）注意正向思考与逆向思考的灵活运用课堂小结课件18张PPT。引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法； 第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：3×2＝6 种不同的方法．解决这个问题，需分2个步骤：引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ 引例根据分步计数原理，共有：4×3×2＝24种不同的排法． 解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ 引例 由此可以写出所有的排列：
abc abd acb acd
adb adc bac bad
bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd
cda cdb dab dac
dba dbc dca dcb 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列的定义中包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列． 练习1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．练习 （1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？ （ ）
（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？ （ ）
（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？ （ ）
（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？ （ ）
（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？ （ ）
（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？ （ ） 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况．起点站终点站飞机票北京上海广州上海广州北京广州北京上海北京上海北京广州上海北京上海广州广州北京广州上海讨论题 练习2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．练习 解：选举过程可以分为两个步骤．
第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；
第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法．
根据分步计数原理，不同的选法有：
4 ×3＝12（种）．其选举结果是：
AB AC AD BC BD CD
BA CA DA CB DB DC排列数：第2位第1位nn-1第2位第1位nn-1第3位n-2第2位第1位nn-1第3位n-2第m位……n-m+1排列数公式解179(r+36)(x-1)练习1714例题与练习例一 某年全国足球甲级(A组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行多少场比赛?例三 某信号兵用红.蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面,三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可表示多少种不同的信号?全排列 n个不同元素全部取出的一个排列排列数公式 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．小结 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 排列数公式课件21张PPT。一、特殊元素“优先安排法”例1：某天上午要排语文、数学、体育、计算机共4门课，其中体育不能排第一节，那么课程表的不同排法有多少种？解法一：先排体育A31，再排其他学科A33，共有3A33=18种解法二：先任意排，再排除体育在第一节的情况，共有A44-A33=18种常用方法技巧举例例2：将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有多少种？解：先排列车a，并对其进行分类讨论：
（1）若列车a停在第二轨道上，则剩下四列车可自由停放，有A44种方法：
（2）若列车a停在第三或第四或第五轨道上，则根据分步计数原理有A31A31A33种停法：
再根据分类计数原理，不同的停放方法共有A44+A31A31A33=78种。二、合理分类与准确分步法例3：7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同的排法？解：甲、乙、丙三人相邻则把三人“捆绑”起来看作一个元素，先排甲、乙、丙三人，有A33种排法，然后甲乙丙三人作为一个元素与其余4人共5个元素作全排列，有A55种排法，故共有A55A33=7200不同的排法。三、相邻问题“捆绑法”例4：在例3中，若要求甲、乙、丙三人不相邻，则又有多少种不同的排法？解：先让其余4人排好，有A44种排法，再在这4人之间及两端的5个间隙中选3个位置让甲、乙、丙三人插入，则有A53种方法，故共有A44A53=1440种不同的排法。四、不相邻问题“插空法”六、顺序固定问题用除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。例5：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的六位数有多少个？解：若不考虑附加条件，组成的六位数共有A51A55个，而其中个位数与十位数的A22种排法中只有一种符合条件。故符合条件的六位数共有A51A55/A22=300个七、“小团体”问题“先局部后整体”或“先整体后局部”法
对于“小团体”排列问题，与相邻问题相似，可先排小团体内部，再将小团体看作一个元素与其他元素全排列，或先将小团体看作一个元素与其余元素排列，最后再进行小团体内部的排列。例6：7人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好有2人，有多少种站法？解：甲、乙及其中间的2人组成一个小团体，首先小团体的另外2人可从其余5人中任选出来且要排列，有A52种排法，再排甲、乙，有A22种排法，然后小团体与其余3人共4个元素全排列，有A44种排法，故符合要求的站法共有A52A22A44=960种。八、分排问题直排法
把几个元素排成前后若干排的问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。例7：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则不同的坐法有多少种？解：7个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。注：上题，若要求7人中的甲必须坐第一排，则不同的坐法有多少种？答案：A31A66=2160种练习：1、7个人排成一排，以下情形各有多少种不同的排法？
（1）甲必须排在中间或两头
（2）甲、乙、丙必须在一起
（3）甲、乙、丙三人左右顺序一定
（不一定相邻）
（4）甲、乙之间恰有3人
（5）甲、乙不排两端，且他们都与丙相邻
（6）甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻 A31A66=2160A33A55=720A77 / A33=840A53A22A33=720A22A44A31=144A77-2A22A66+A22A55=2400A66+A41A51A55=3120（7）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间2：用0、1、2、3、4、5六个数码
（1）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的正整数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位奇数？
（4）可以组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？（4）A53+A41A42=108解：（1）A51A53=300 或 A64-A53=300（2）A51（1+A51+A52+A53+A54+A55）=1630（3）A31A41A42=144九、分配中的两类不同的问题1、若分配中只有“分堆”，而不指定分到某个位置或某个人，则只与组合有关。
2、若分配中指定分配到某个特定位置或某个人，则与排列组合都有关。一般情况下，先组合再排列。例8：（1）10名篮球队主力队员被平均分成两组进行训练，有多少种不同的分法？
（2）10名篮球队主力队员被平均分到甲乙两个俱乐部，有多少种不同的分法？解：（1）共有C105C55/A22=126种分法。（2）共有C105C55A22/A22=252种分法。思考：上例中，若不是分成人数相同的两组，而是一组4人，另一组6人，又该如何解答呢？解：（1）C104C66=210
（2）C104C66A22=420十、混合应用问题“先选后排法”
对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。例9：从A、B、C、D、E五名运动员中，任选4名排在1、2
、3、4四条跑道上，其中运动员E不能排在1、2跑道上，则
有多少种不同的排法数？10、有8名同学，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，3名既会唱歌也会跳舞，现从中选出3名唱歌，2名跳舞的去参加文艺汇演，有多少种选法？解:3名既会唱歌也会跳舞中选3个去唱歌：C33C22=1
3名既会唱歌也会跳舞中选2个去唱歌：C32C31C32=27
3名既会唱歌也会跳舞中选1个去唱歌：C31C32C42=54
3名既会唱歌也会跳舞中选0个去唱歌: C30C33C52=10
所以共有92种选法。十二、其他问题例11：在7名学生中，有3人会下象棋，但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋和围棋比赛（同时进行）共有多少种不同的选法？12、有6本不同的书，按下列分配方式，分别有多少种不同的分配方法？
（1）分成1本，2本，3本的三组
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本
（3）分成每组都是2本的三组
（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本解： （1）C61C52C33=60（2）C61C52C33A33=360（3）C62C42C22/A33=16（4）C62C42C22A33/A33=90例13：从5双不同的袜子中任取4只，至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？注：也可从反面考虑，总的取法有C104=210，4只袜子没有配成一双或两双的取法有C54C21C21C21C21=80，所以共有210-80=130种取法。解：满足要求的取法有两类，
一类是4只中恰有两只配对：
另一类是4只恰好陪成两双：C52=10；所以4只中至少有2只配对的可能取法有130种。14、某小组8人，现从男生中选3人，女生中选2人，参加语文、数学、英语三科单科知识竞赛，每科均不得缺席也不能兼报，已知共有4500种不同的参赛方案，求该小组男女生的人数。解：设有男生x人，则女生8-x人，由题意：
CX3C8-X2（C53A33+C51C42C22A33/A22）=4500
所以 CX3C8-X2=30
解得 x =5
所以 男生5人，女生3人。15、某中学邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选法种数有多少种？答案：C61C52C21C21=24017、90本相同的书分给10个同学，每人至少1本，共有多少种不同的分法？（用式子表示）答案：C899构造“隔板”模型法
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。例16：方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？解：建立隔板模型：将12个完全相同的小球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各自的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数共有C113=165组。解答排列组合问题的基本思想方法 解答排列组合问题，首先要认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，还是排列组合的混合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。注：（1）一个问题是排列还是组合问题，关键是在区分有序还是无序；
（2）要解决一个问题首先要弄清要完成的事件，对于较复杂的排列组合的混合问题要设计好完成事件的程序。
（3）注意正向思考与逆向思考的灵活运用课堂小结课件6张PPT。排列组合的例题选讲例1、某幢楼从二楼到三楼的楼梯台阶共有10级,上楼
可以一步上一级,也可以一步上二级,规定从二楼
到三楼用8步走完,则上楼梯的方法有多少种?C28=28例2、某城有7条南北街，5条东西街，互相垂直。某人要沿着街从城的西南角走到东北角，问最短线路有几条？C410=210C313 C410C66=600600答案答案变题如右图所示，从A到B最短路线有几条？例3、一家六人坐成一圈，父母相邻有几种坐法？分析：先考虑一家六人排成一行的情况，根据捆绑法，总共有A55A22排法，下面来考虑排成一行与围成一圈的联系，假设六个人围成一圈后，现在从任意两个人之间把他们分开，就变成一行了，所以我们可以理解为两个步骤，先围成一圈，然后从五个空挡之中的任一处把圈剪开，拉成一行，有五种剪法。解：设六人围成一圈有N种方法，则根据乘法原理得 N*5= A55A22。
故 N= （变题）在∠MON的边OM上有5个异于O的点,ON上有4个异于O的点,以这十个点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?
例4、两平行直线 上分别有A1 、A2 、A3 、A4 和B1 、B2 、B3 、B4 、B5；则由这9个点能构成多少个不同的三角形？直接法：C24C15+ C14C25=70 排除法：C39— C34—C35=70 排除法：C310—C36—C35=70 直接法： （含有O的） C15 C14=20
（不含有O的） C15 C24 +C25 C14=70
所以 N=901、把10本不同的书发给6个获奖者，一等奖一名，分得3本；二等奖二名，各分得2本；三等奖三名各分得1本，在发奖前，先把10本不同的书分成6份，共有几种分法？练习：2、把12个插班生分配到5个班级，每班至多3人，至少2人，共有几种方法？3、把5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，共有几种方法？4、一个登山小组有10个人，其中4个是熟悉道路的，将10个人平均分成两个小组，每组有2个熟悉道路的，共有几种方法？课件28张PPT。第1讲 计数原理、二项式定理 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类
加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干
步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原
理将各步的方法种数相乘.2.排列与组合
（1）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中
取出m个元素的排列数公式是 =n（n-1）（n-
2）…（n-m+1）或写成 = .
（2）组合：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个
元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组
合数公式是
或写成
（3）组合数的性质
① = ，
② = + .
3.二项式定理
（1）定理：(a+b)n= an+ an-1b+ an-2b2+…+
an-rbr+…+ bn(r=0,1,2,…,n).
（2）二项展开式的通项
Tr+1= an-rbr，r=0，1，2，…，n，其中 叫做二
项式系数.
（3）二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系
数相等，
即 = ， = ，… ， = ，….②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数
取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项
式系数 ， 相等，且同时取得最大值.
③各二项式系数的和
a. + + +…+ +…+ =2n;
b. + +…+ +…= + +…+ +….
= ·2n=2n-1. 一 、 两个计数原理的应用 例1 某中学拟于下学期在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课程，在计划任教高一年级的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，这三门课程都能任教的只有2人，现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课程的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有 . 答案 16
变式训练1 （1）（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A.85 B.56 C.49 D.28C（2）（2008·全国Ⅰ文，12）将
1，2，3填入3×3的方格中，要
求每行、每列都没有重复数字，
右面是一种填法，则不同的填写
方法共有 ( )
A.6种 B.12种 C.24种 D.48种二、 排列组合 例2 有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数.
（1）选其中5人排成一行；
（2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者在两头
的位置；
（3）全体排成一行，其中甲乙必须在两头；
（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；
（5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；
（6）全体排成一行，其中男生必须排在一起；
（7）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；
（8）全体排成一行，其中男生不能全排在一起；（9）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的
顺序保持不变；
（10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人；
（11）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人.
变式训练2 有六种不同的工作分配给6个人担任，每个人只能担任一种工作，甲只能担任其中某两项工作，而乙不能担任这两项工作，则共有多少种不同的分配方法？三、 求二项展开式的通项、指定项例3 （1-2x）n的展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，则展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项分别为 .
思维启迪 （1）利用通项公式，列方程求n.
（2）利用通项公式表示出项的系数，列不等式组，确定系数绝对值最大的项.
解析 由二项展开式的通项公式，得T5+1= （-2x）5,
T6+1= (-2x)6.
又依题意，知 25= 26，∴n=8.
∴(1-2x)n展开式中二项式系数最大的项为
T5= （-2x）4=1 120x4.设第r+1项系数的绝对值最大，则
解得5≤r≤6.
又∵r∈Z，∴r=5或r=6.
∴系数绝对值最大的项为T6=-1 792x5,T7=1 792x6.
故填1 120x4;-1 792x5与1 792x6.
答案 1 120x4;-1 792x5与1 792x6
变式训练3 已知（ +3x2）n展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.则二项展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项分别是 .
解析 由题意，得（1+3×1）n-2n=992,∴n=5,
Tr+1= （ ）5-r·（3x2）r =3r .
∴展开式中二项式系数最大的项是T3=32
=90x6,
T4=33 =270 .
又由
解得3.5≤k≤4.5，∴k=4.
∴T5=34 =405 为所求的系数最大的项.
故填90x6与270 ;405 .
答案 90x6与270 ;405四、 二项式定理中的“赋值”问题 例4 （2008·福建）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+
a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= .（用数字作答）
思维启迪 观察结构，令x=1即可求出a0+a1+a2+
a3+a4+a5的值.再考虑求出a0即可.
解析 方法一 令x=0,
得a0=(-2)5=-32,令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,
∴a1+a2+a3+a4+a5=-1+32=31，故填31.
方法二 展开左边得（x-2）5=x5-10x4+40x3-80x2+
80x-32，比较两端的系数得a5=1,a4=-10,a3=40,a2=
-80,a1=80，故a1+a2+a3+a4+a5=31,故填31.
答案 31探究提高 “赋值思想”是学习二项式定理的意外收获——赋值法几乎成为处理组合数问题、系数问题的首选经典方法；将等式两边进行展开后比较左右两端的系数的方法，对于次数不很高的二项式非常适用，优点是不必过于挖空心思，易于操作，缺点是计算量大，容易出错. 变式训练4 （2009·陕西理，6）若（1-2 x）2 009
=a0+a1 x+…+a2 009 x2 009(x∈R),则
的值为 （ ）
A.2 B.0 C.-1 D.-2
解析 （1-2x）2 009=a0+a1x+…+a2 009 x2 009，令x= ,
则 (1-2× )2 009=a0+ + +…+ =0,其中a0=1所以 +…+ =-1. C规律方法总结
1.排列组合应用题的解题策略
（1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么.
（2）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素（特殊位置）优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题缩倍法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法.
2.二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数相等）；二是赋值.这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解.
另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：
① 是第k+1项，而不是第k项;
②运用通项公式Tk+1= 解题，一般都需先转化为方程（组）求出n、k，然后代入通项公式求解.
③求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. 一、选择题
1.(2009·广东理,7)2010年广州亚运会要从小张、
小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四个
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，若
其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人
均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
（ ）
A.36种 B.12种 C.18种 D.48种
A2.12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影
师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相
对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A. B. C. D.
C3.设（1+x）8=a0+a1x…+a8x8，则a0，a1，…,a8中有
奇数的个数为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 ∵a0=a8= =1,a1=a7= =8,a2=a6= =28.
a3=a5= =56,a4= =70.
∴奇数个数为2.A4.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的
五个盒子,现将这五个球投放入这五个盒子内,要求
每个盒子投放一个球,并且恰好有两个球的编号与
盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为( )
A.20种 B.30种
C.60种 D.120种
解析 由题意得投放方法为 ×2=20种.故选A.A5.（2009·江西理，7）（1+ax+by）n展开式中不含
x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数
绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为 （ ）
A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6
C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5
解析 令x=0,y=1得（1+b）n=243,令y=0,x=1得（1+a）n=32,将选项A、B、C、D代入检验知D正
确，其余均不正确.D二、填空题
6.（2009·山东临沂）从4名男生和3名女生中选出3
名代表（分别担任组长、副组长和成员）参加一
个校际交流活动，要求这3名代表中必须既有男生
又有女生，那么不同的选法共有 种（用数
字作答）.
解析 分两类，①两男一女： =108
②一男两女： =72.∴108+72=180（种）.1807.如果 的展开式中各项系数之和为128，
则展开式中 的系数是 .
解析 令x=1，得2n =128，∴n=7.
设展开式中第r+1项为 的项，
∴Tr+1= （3x）7-r· =37-r ·（-1）r ，
∴7- r=-3，解得r=6，
∴T7=3 x-3=21· ，即系数为21.
8.（2008·广东）已知（1+kx2）6 （k是正整数）的展
开式中，x8的系数小于120，则k= . 21解析 (1+kx2)6按二项式定理展开的通项为
Tr+1= (kx2)r= krx2r,故x8的系数为 k4=15k4,
即15k4<120,也即k4<8,而k是正整数,故k只能取1.
答案 1三、解答题
9.有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全
部放入盒内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有一个盒不放球，共有几种放法？
（3）恰有一个盒放两个球，共有几种放法？
（4）恰有两个盒不放球，共有几种放法？ 解 （1）44=256(种).
（2） · =4× ×6=144（种）.
（3） =4×6×6=144（种）.
（4） =84（种）.10.已知（ - ）n(n∈N*)的展开式中第五项的系数
与第三项的系数的比是10∶1.
（1）求展开式中各项系数的和；
（2）求展开式中含 的项；
（3）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.解 由题意得知，第五项系数为 ·（-2）4，第三项的系数为 ·（-2）2，则有 ·（-2）4=10 ·（-2）2，解得n=8.
（1）令x=1得各项系数的和为（1-2）8=1.
(2)通项公式
Tr+1= · ·
= ·（-2）r· ,令 -2r=
则r=1，故展开式中含 的项为T2=-16 .
(3)设展开式中的第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为 ·2r-1， ·2r， ·2r+1
若第r+1项的系数绝对值最大，则
·2r-1≤ ·2r， ·2r+1≤ ·2r，解得5≤r≤6
∴系数最大的项为T7=1 792·
由n=8知第5项二项式系数最大，此时T5=1 120· . 返回课件10张PPT。组合之分组问题1、将四个小球分成两组，每组两个，有多少分法？2、将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，有多少分法？3、将四个小球分给两人，每人两个，有多少分法？甲甲乙乙4、将四个小球分给两人，一人三个，一人一个，有多少分法？甲乙分组问题是否均匀有无组别将12个人分成2，2，2，3，3的5个组，则分组的种数是多少？将5个人分成4个组，每组至少1人，则分组的种数是多少？1，“至多或至少”的问题例1：100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽
出4件检查。
（1）都不是次品的抽法有多少种？
（2）至少有一件次品的抽法有多少种？
（3）不都是次品的抽法有多少种？2，“含与不含”的问题例2：有11个划船运动员，其中右舷手4人，左舷手5人，还有
甲，乙二人左右都能划，现要选8人组成一个划船队（左右各
4人），有多少种安排？课件20张PPT。思考交流 2. 从甲、乙、丙3名同学中选出2人做值日,有多少种不同的选法? 1. 从甲、乙、丙3名同学中选出2 人分别担任正副班长,有多少种不同的选法? 3.甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。10.3 组 合 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。排列定义组合定义 一般地说，从 n 个不同元素中，取 m (m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。排列有序，组合无序 什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？
元 素相同，顺序也相同元素相同，与顺序无关 已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合和排列.组合：ab , ac , ad , bc , bd , cd排列： ab , ac , ad , bc , bd , cd练习: 判断下面的问题是排列问题还是组合问题,并简单说明理由.(1)从1,3,5,8中任取两个数相加,有多少个不同的和? (组合问题)
(排列问题) (3)8名同学互通一次信,一共通了多少封
信?
(排列问题)(4) 8名同学互相握一次手,一共握了多少
次手? (组合问题)练习: 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示。 组合数: 探索:写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc ， abd ， acd ， bcd . 写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.探索:所有的排列为： abc bac cab dab
abd bad cad dac
acb bca cba dba
acd bcd cbd dbc
adb bda cda dca
adc bdc cdb dcb组合排列abc bac cab
acb bca cbaabd bad dab
adb bda dbaacd cad dac
adc cda dcabcd cbd dbc
bdc cdb dcb 求 可分两步考虑：根据分步计数原理, 因此 第一步，考虑从4个不同元素中取出三个元素的组合有第二步，对每一个组合中的三个不同
元素作全排列,各有 ( =6 )个 一般地,求从n 个不同元素中取出m个元素的排列数 ,可以分为以下两步: 第一步,先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 ;
第二步,求出每一个组合中m个元素的全排列数 由分步计数原理,得到 得到组合数公式:例1 计算：解：例２ 原等式成立.练习:求证证明:右边==左边小结:1.组合及组合数的意义.2.组合和排列的区别及联系.3.组合数公式及其简单应用.下课课件17张PPT。数学课堂复习问题1：什么叫做排列？排列的主要特征是什么？ 一般地，从 个不同元素中取出 （ ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列．排列的主要特征是：与元素的顺序有关 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列．复习问题2：什么叫做排列数？它的公式是怎样的？ 从 个不同元素中取出 （ ）个元素的所有排列个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数．用符号 表示。全排列数问题（1）从甲、乙、丙三人中选出2人，其中1人做正式主持人，另一名做候补主持人，有多少种不同的方法？这两个问题的主要区别是什么?（2）从甲、乙、丙三人中选出2人共同主持节目，
有多少种不同的选法？问题（2）从甲、乙、丙三人中选出2人共同主持节目，
有多少种不同的选法？从元素的角度看这问题 从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？组合定义 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别． 一般地，从 个不同元素中取出 （ ）个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合 当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合． 如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合．ab和ba是相同的排列吗？是相同的组合吗？ 一般地，从 个不同元素中取出 （ ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（2）从不在同一条直线上的三点 中，每次取出两个点作一条有向线段，可以得到几条不同的有向线段？判断下列各问题是排列问题还是组合问题 （1）从不在同一条直线上的三点 中，每次取出两个点作一条直线，可以得到几条不同的直线？判断下列各问题是排列问题还是组合问题 （3）从10本不同的书中选出3本分别借给
甲、乙、丙三人，有多少种不同的借法？（4）从10本不同的书中选出3本借给某人，
有多少种不同的借法？组合数 从 个不同元素中取出 （ ）个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．记作： 注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来． 练习：在4个不同元素 中，取出2个，共有多少种不同的组合？ 练习：在4个不同元素 中，取出2个，共有多少种不同的组合？请在组合的基础上列出所有不同的排列ab baac caad dabc cbbd dbcd dcab, ac, adbc, bd, cd组合组合排列排列=6这里的排列数与组合数有何关系？1：列举从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的所有不同的组合.a b ca b da c db c dabc bac cab
acb bca cbaabd bad dab
adb bda dba2: 在列出所有组合的基础上列出所有不同的排列。acd cad dac
adc cda dcabcd cbd dbc
bdc cdb dcb这里的排列数与组合数关系有如何？组合数公式根据分步计数原理，得到：因此： 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ． 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ． 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式． 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以分为以下2步：组合数公式组合数公式由于 ,上面的组合数公式还可写成组合数公式例题例1 计算：（1） （2） 例2 求证： 例题例3：用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.
（1）从1，3，5，7中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？（2）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？（4）10个同学毕业后互通了一次电话，一共打了多少个电话？ 小结1、组合，组合数的概念，组合的特点。
2、组合与排列的区别与联系。
3、组合数公式的推导。
4、应用组合数公式解决一些简单的组合 问题。课件9张PPT。组合数的两个性质教师：刘胡礼1.计算有什么发现吗？ 2.若从a、b、c、d、e五个不同的元素中每次取出3个元素并成一组，有多少种不同的取法？
3.若从a、b、c、d、e五个不同的元素中每次取出2个
元素并成一组，有多少种不同的取法？
2、3的组合数有什么关系，组合有什么内在联系？尝试猜想组合数的性质。公式特征:两边下标同,上标之和等于下标. 例1：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。
（1）从口袋中取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋中取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少中不同的取法？
（3）从口袋中取出3个球，使其中不含黑球，有多少中不同的取法？
解：
例1：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。
（1）从口袋中取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋中取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少中不同的取法？
（3）从口袋中取出3个球，使其中不含黑球，有多少中不同的取法？
解：
性质2 猜想组合数的性质2。公式特征:下标相同,而上标差1的两个组合数之和等于下 标比原下标多1上标与高的相同的一个组合数 小结：性质2课堂训练:例5： 已知 ,求 的值.
例6：(1)已知 ,求
(2)已知 ,求 的值.
(3)已知 ,求 的值课件14张PPT。排列组合解题技巧综合复习教学目的教学过程课堂练习课堂小结制作者：艾华勇 1.熟悉解决排列组合问题的基本方法; 2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题.一 复习引入二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.例题1例题6例题5例题4例题3例题2从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排法.结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.结论3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 种取法.结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人；
（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；
（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；
（4）分为甲、乙两组，每组6人；
（5）分为两组，每组6人；
（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；
（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；
（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；
（10）分为三组，每组4人． 互斥分类--分类法
先后有序--位置法
反面明了--排除法
相邻排列--捆绑法
分隔排列--插空法 小结: 本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握.谢谢大家！课件11张PPT。1.3.1二项式定理(一)( a + b ) 2 =思考:(a+b)4的展开式是什么? ( a + b ) 3 =复 习：(1)次数:各项的次数等于二项式的次数(2)项数:次数+1( a + b ) 2 =( a + b ) 3 =复 习：(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0
字母b按升幂排列,次数由0递增到n展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对(a+b)2展开式的分析(a+b)2＝ (a+b) (a+b) =(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？a4 a3b a2b2 ab3 b4每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4( a + b ) n=(a+b)n的展开式是：二项定理二项式定理： n ∈ N *注:(1) 上式右边为二项展开式,
各项次数都等于二项式的次数(2) 展开式的项数为 n+1 项；(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0
字母b按升幂排列,次数由0递增到n(5) 通项:展开式中的第 r + 1 项，
即通项Tr+1 =二项式定理： n ∈ N *(6) 二项式系数为 :项的系数为 :二项式系数与数字系数的积练习:求(1+3x)7的展开式中第5项的二项式系数和该项的系数。例1、展开 2、展开3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。(2)求(x－ )9的展开式中x3的系数。例2(1)求 的展开式常数项；
(2)求 的展开式的中间两项.Thank you！课件19张PPT。 二项式系数的性质复习
1。什么叫二项式定理？通项公式？
2。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？
1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……二项式系数的性质( a + b )1 … … … … … … … … …1 1( a + b )2 … … … … … … … 1 2 1
( a + b )3 … … … … … … 1 3 3 1( a + b )4 … … … … … 1 4 6 4 1( a + b )5 … … … … … 1 5 10 10 5 1( a + b )6 … … … … 1 6 15 20 15 6 1… … … … … … … … …递推法 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。定义域{0,1,2, … ,n} 令当n= 6时,其图象是7个孤立点1、对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等2、增减性与最大值先增后减，最中间的二项式系数最大当 时，二项式系数是逐渐增大的，
由对称性知它的后半部是逐渐减小的，
且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，
且同时取得最大值。3,各个二项式系数的和:1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).2、在(a＋b)10展开式中，系数最大的项是( ).A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项CA1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).2、在(a－b)10展开式中，系数最大的项是( ).A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项CD1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).2、在(a＋b)11展开式中，系数最大的项是( ).A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项CC1、在(a＋b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是( ).2、在(a－b)11展开式中，系数最大的项是( ).A 第6项 B 第7项 C 第6项和第7项 D 第5项和第7项A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项CB例1 证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+------ +a9x+ a10,(2)求a0+ a1+ a2+------ +a9+ a10的值(3)求a0+ a2+ a4+------ + a10的值练习：1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ）
(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 － 1CD4或5-2-109410935:已知 的展开式中只有第10项系数
最大，求第五项。 解：依题意， 为偶数，且变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解：（1） 中间项有两项：（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：6、已知二项式 ( a + b )15
（1）求二项展开式中的中间项；
（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。小结
（1） 二项式系数的三个性质。 （2） 数学思想：函数思想。
a 单调性； b 图象；c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法赋值法:一般用1,0,-1课件7张PPT。应用二项式定理求指定项系数
1.（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是（ ）
A. 4032 B. -4032
C. 126 D. -126 C2.若 的展开式中的第三项系 数等于6，则n等于（ ）
A.4 B.4或-3 C.12 D.3C3.多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是（ ）
A.120 B.-120 C.100 D.-100 B4.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数-205.二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.1651.在 的展开式中，x的系数为（ ）
A.160 B.240 C.360 D.800 练习:2.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50展开式中x3的系数是（ ）
A. B. C. D. BC3. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10的展开式中，含x8的系数是 （ ）
A.10 B.45 C.54 D.554.(1-x)5(1+x+x2)4的展开式中，含x7项的系数是 .D-65.已知(1+ )n展开式中含x -2的项的系数为12，求n.6.x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3+(1-3x)7的展开式中，x4项的系数是 .3课件8张PPT。应用二项式定理求指定项 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式，其中
（r=0,1,2,……,n）叫做二项式系数，
叫做二项展开式的通项，通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项. 复习填空： 应用举例：
1. 的展开式中，第五项是（ ）
A. B.
C. D.D 的展开式中，不含a的项是第
（ ）项
A.7 B.8
C.9 D.6A3.求二项式 的展开
式中的有理项.4. 的展开式中的整数项是（ ）
A.第12项 B. 第13项
C. 第14项 D. 第15项D5. 展开式的常数项是 .-206.若（1-2x）5展开式中的第2项小于第1项，且不小于第3项，求实数x的取值范围.课件9张PPT。应用二项式定理解有关整除的问题例题选讲
1.求4713被5除所得的余数.2.求x10-3除以(x-1)2所得的余式.3.求证34n+2+52n+1能被14整除. 2)5n+13n(n)除以3的余数是（ ）A. 0 B. 0或1 C. 0或2 D. 2 4.求5555除以8所得的余数.5.用二项式定理证明：
6363+17能被16整除.6.求9192除以100的余数.再见课件9张PPT。事件的概率1.如何求事件A的概率？ 答: 事件A的概率P（A）等于事件A所含的基本事件
数m与所有基本事件总数n的比值.即P（A）=一.复习提问:2.计算事件A的概率的步骤？答：（2）计算所有基本事件的总结果数n.（3）计算事件A所包含的结果数m.（4）计算P（A）=（1）审清题意，判断本试验是否为等可能性.3.如何求事件中的n、m？（1）列举法把等可能性事件的基本事件一一列举出来，然后再求出其中n、m的值 例1 100件产品中,有95件合格品,5件次品.从中任取2件,计算： （1）2件都是合格品的概率； （2）2件都是次品的概率； （3）1件是合格品、1件是次品的概率.解：从100件产品中任取2件可能出现的总结果数是 ，由于是任意抽取,这些结果的出现的可能性都相等. (3)由于取到1件是合格品、1件是次品的结果有 记“任取2件，1件是合格品、1件是次品”为事件A3，那么事件A3的概率 P(A3) 答：…...答：…...答：…... (1)由于取到2件合格品的结果数是 记“任取2件，都是合格
品”为事件A1，那么事件A1的概率 P(A1) (2)由于取到2件次品的结果数是 记“任取2件，都是次品”
为事件A2，那么事件A2的概率 P(A2) 二.范例:变式练习1： 100件产品中,有95件合格品,5件次品.从中任取2件,计算:
（1）至少有一件是次品的概率.
(2)至多有一件次品的概率.至少有一件是次品的结果数是:？例2：从0、1、2、3、4、5、6这七个数中，任取4个组成
没有重复数字的四位数求：（1）这个四位数是偶数的概率；（2）这个四位数能被5整除的概率.
解：组成四位数的总结果数为(1)组成四位偶数的结果数为
所以这个四位数是偶数的概率为（2）组成能被5整除的四位数的结果数为
所以这个四位数能被5整除的概率为例3：分配5个人担任5种不同的工作，求甲不担任第一种
工作，乙不担任第二种工作的概率。
解：5个人担任5种不同的工作的结果数为甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的结果数为故满足条件的概率是排列组合问题概率问题转化排列、组合知识是概率的基础概率是排列、组合知识的又一应用三.课堂小结:2.8个同学随机坐成一排，求其中甲、乙坐在一起的概率.1.某企业一个班组有男工7人,女工4人.现要从中选出4个代表,求4个代表中至少有一个女工的概率.四.课堂练习:⑴第一个盒 没有球的概率；3.将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一
个盒来说，所放的球数K满足0≤K≤4，在各种放法的可能性相等的条件下，求：⑵第一个盒恰有1个球的概率;⑶第一个盒恰有2个球的概率;
⑷第一个盒 恰有一个球，
第二个盒恰有二个球的概率.
