07 乘法公式（二）
教学目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握乘法公式“知二求二”题型的解题方法
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 掌握乘法公式“x+1/x”题型的解题方法
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握并灵活运用平方非负性解决问题
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.4 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用
2. 主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计算
的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.11 平方差公式 9.12 完全平方公式
4. 平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的
应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，
2
在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进
而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举
足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依
据，起着承前起后的作用．
【课堂引入】
一.复习引入
(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
那么我们今天要学方差公式又是怎样的特殊的多乘多呢？
二.学习新知
1、计算：
①(y+1)(y-2)
② (m+1)(m-1)
③（3+a)(3-a）
④ (x+2y)(x-2y)
观察结果与各因式关系，猜想(a+b)(a-b) 的结果。实际上结果只有两项，非常简洁，为了方
便计算，将其作为公式。
学生计算结果
①(y+1)(y-2)=y2-y-2
② (m+1)(m-1)=m2-1
③（3+a)(3-a）=9-a2
④ (x+2y)(x-2y)=x2-4y2
教师引导学生观察，关注学生是否能关注到后三个等式就有共同特征，关注进而引导学生先
观察等式左边，再观察等式右边，关注学生能否主动将不是平方项的化为平方项。
要求学生用自己的语言将观察到的规律叙述出来，进而用符号语言表示出来。
要求学生证明公式。
2.平方差公式
即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
3
01
知识点 1——知二求二
知识笔记
1、”知二求二”四种元素：
我们把完全平方公式进行拆解，可以得到_____________、_____________、
_____________、_____________这四个代数式，只要知道其中两个代数式的值，就可
以求出另外两个代数式的值
2、知二求二的四个常用公式：
（1） =_______________________________.
（2） =_______________________________.
（3） =_______________________________.
（4） =_______________________________.
【填空答案】
1、 ； ； ；
2、（1） （2） （3） （4）
例题
例 1-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）若 ， ，则 __________．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握
【常规讲解】
（1）解：
4
，
．
故选 C
（2）解： ，
，
，
，
，
故答案为：（1） ；（2）13
例 1-2
（★★★☆☆）设 ， ，求（1） ；（2） ．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握（要注意 、 可能存在
正负两解情况）．
【常规讲解】
（1） ；
（2）
故答案为：（1）34；（2）±2．
例 1-3
（★★★★☆）已知： ，求 的值．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握（需要学生自己发现题目隐藏的条
件）
【常规讲解】
∵ ，又 ，
∴ ，∴ ．
故答案为：5．
5
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ， ，则 的值等于
A．13 B．12 C．11 D．10
（2）（★★☆☆☆）若 ， ，则 ________．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握
【常规讲解】
（1）解： ， ，
，
故选： ．
（2）解： ， ， ，
．
故答案为：16．
练 1-2
（1）（★★★☆☆）若 ， ，则 的值为__________．
（2）（★★★☆☆）已知 ， ，则 __________．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握（要注意 、 可能存在
正负两解情况）．
【常规讲解】
（1）解： ， ，
，
．
故答案为：
（2）解： ，则 ；
故答案是： ．
6
练 1-3
（★★★★☆）若 满足 ，求 的值．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握（需要学生自己发现题目隐藏的条
件）
【常规讲解】
解：设 ， ，则 ， ，
01
知识点 2—— x+1/x 题型
知识笔记
、 与 之间的关系：
（1） _______________________.
（2） _______________________.
【填空答案】
；
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）已知 ，求 和 的值．
【配题说明】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它
们的平方和．即： 或 ．
7
【常规讲解】
．
故答案为： ；
【变式 1】（★★☆☆☆）已知 ，求 的值．
【配题说明】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它
们的平方和．即： 或 ．
【常规讲解】
．
故答案为：
【变式 2】（★★★☆☆）已知 ，求 的值．
【配题说明】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它
们的平方和．即： 或 ．
【常规讲解】
．
故答案为：
8
【扩展讲解】（★★★★☆）已知 ，则 =___________．
【常规讲解】
故答案为：24．
例 2-2
（★★★★☆）已知 ，求：（1） ；（2） ．
【配题说明】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它
们的平方和．即： 或 ．
【常规讲解】
由 可得
（1） ；
（2） ．
故答案为：（1）7；（2）47．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ，求下列各式的值：
① ；
② ．
（2）（★★★☆☆）已知实数 满足 ．则 的值是__________．
【配题说明】当两个数互为倒数，并且知道它们的和或者差时，可以利用完全平方公式求它
们的平方和．即： 或 ．
【常规讲解】
（1）解：①原式
9
；
② 原式
．
（2）解： ，
，
的值是： ．
故答案为： ．
练 2-2
（★★★★☆）已知： ，求 的值．
【配题说明】利用完全平方公式以及 完全平方的特点进行整体求值．
【常规讲解】
解：∵ ， ∴ ． 即 ．
∴ ．
故答案为 7
01
知识点 3——代数式的值
知识笔记
1. 常见的非负数：
① ___________________.
② ___________________.
2. 非负数的性质：
多个非负数和为 0时，则各部分均为_____.
10
即，当 时，则___________________.
【填空答案】
（1）①绝对值；② 平方
（2）0；
例题
例 3-1
（1）（★★★☆☆）已知 是完全平方式，求 的值．
（2）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
⑤ = ____________
（3）（★★★☆☆）把 加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，写出所有符
号条件的单项式．
（1）【配题说明】本题主要考查完全平方公式的运用，注意一个正数的平方根有两个．
【常规讲解】解：∵
∴可得： ，
∴ ．
故答案为：±16
（2）【配题说明】考察二次项系数为 1时，二次三项式的配方法．
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
11
（4）
（5）
（3）【配题说明】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式，比较复
杂，需要我们全面考虑问题，注意不要漏解．
（3）解： ；
；
加上的单项式可以是 、 ， ， 任意一个．
故答案为： 或 或 或 或 ．
例 3-2
（★★★☆☆）已知： ，求 的值
【配题说明】考察学生对于非负数的性质应用．
【常规讲解】
∵ ，
，
∴ ， 解得： ．
∴ ．
故答案为：
例 3-3
（★★★★☆）已知 ， 、 都是有理数，求 的值．
【配题说明】考察如何配方及非负性的运用．
【常规讲解】
（1）∵ ， ，
∴可得 ， 解得： ．
12
∴ ．
故答案为：-8
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）已知 是一个完全平方式，则 等于（ ）．
A．8 B． C． D．
（2）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
（3）（★★★☆☆）多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那
么加上的单项式是什么？
（1）【配题说明】本题主要考查完全平方公式的运用，注意一个正数的平方根有两个．
【常规讲解】
理由如下： ．
故答案为：C
（2）【配题说明】考察二次项系数为 1时，二次三项式的配方法．
【常规讲解】
①
②
③
④
（3）【配题说明】本题主要考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论并考虑是多项式的平
方和单项式的平方．
【常规讲解】
13
解：①若 是乘积二倍项， ，
加上的单项式为 ，
②若 和平方项， ，
加上的单项式为 ，
③若加上单项式后是单项式的平方，则加上的单项式是 或 ，
综上所述，加上的单项式是 或 或 或 ．
练 3-2
（★★★☆☆）若 ，求 的值．
【配题说明】考察学生对于非负数的性质应用．
【常规讲解】
解： ，
，
， ，
解得 ， ，
所以， ，
，
，
，
，
．
练 3-3
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
【配题说明】考察如何配方及非负性的运用．
【常规讲解】
解：将 ，
化简得 ，
即 ．
， ，且它们的和为 0，
14
， ．
．
自主学习
【A 组】
练A-1
（★★☆☆☆）求值：
（1）已知 ， ，求代数式 的值．
（2）已知 ， ，求代数式 的值．
（3）已知 ， ，求 的值．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
（3） ， ．
故答案为：（1）28；（2）-32；（3）2．
练A-2
（★★☆☆☆）若 ，则 __________； ___________．
【配题说明】利用完全平方公式以及 完全平方的特点进行整体求值．
【常规讲解】
； ．
故答案为：14；194．
练A-3
（★★★☆☆）如果多项式 是一个完全平方式，那么 的值为___________．
【配题说明】本题考查学生对于“知二求二”题型的掌握（要注意 、 可能存在
15
正负两解情况）．
【常规讲解】
．
故答案为： ．
练A-4
（★★★☆☆）已知 是完全平方式，求 的值．
【配题说明】考察如何配方成完全平方式．
【常规讲解】
解：∵ ，
且 是完全平方式，∴ ．
故答案为：
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）试说明不论 取何值，代数式 的值总是正数．
【配题说明】完全平方公式在判定代数式正负中的运用．
【常规讲解】
原式 ．
∵
∴ ，∴得证．
练 B-2
（★★★★☆）已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，请
判断 三角形的形状
【配题说明】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法
将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
【常规讲解】
解： ，
，
，
， ， ，
16
，
为等边三角形．
故答案为等边．
1707 乘法公式（二）
教学目标
目标 1 ★★★★★☆ 迁移 掌握乘法公式“知二求二”题型的解题方法
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 掌握乘法公式“x+1/x”题型的解题方法
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握并灵活运用平方非负性解决问题
教学目标
2
01
知识点 1——知二求二
知识笔记
1、”知二求二”四种元素：
我们把完全平方公式进行拆解，可以得到_____________、_____________、
_____________、_____________这四个代数式，只要知道其中两个代数式的值，就可
以求出另外两个代数式的值
2、知二求二的四个常用公式：
（1） =_______________________________.
（2） =_______________________________.
（3） =_______________________________.
（4） =_______________________________.
例题
例 1-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
（2）（★★☆☆☆）若 ， ，则 __________．
例 1-2
（★★★☆☆）设 ， ，求（1） ；（2） ．
3
例 1-3
（★★★★☆）已知： ，求 的值．
巩固练习
练 1-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ， ，则 的值等于
A．13 B．12 C．11 D．10
（2）（★★☆☆☆）若 ， ，则 ________．
练 1-2
（1）（★★★☆☆）若 ， ，则 的值为__________．
（2）（★★★☆☆）已知 ， ，则 __________．
练 1-3
（★★★★☆）若 满足 ，求 的值．
01
知识点 2—— x+1/x 题型
知识笔记
、 与 之间的关系：
（1） _______________________.
（2） _______________________.
4
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）已知 ，求 和 的值．
【变式 1】（★★☆☆☆）已知 ，求 的值．
【变式 2】（★★★☆☆）已知 ，求 的值．
例 2-2
（★★★★☆）已知 ，求：（1） ；（2） ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★★☆☆☆）已知 ，求下列各式的值：
① ；
5
② ．
（2）（★★★☆☆）已知实数 满足 ．则 的值是__________．
练 2-2
（★★★★☆）已知： ，求 的值．
01
知识点 3——代数式的值
知识笔记
1. 常见的非负数：
① ___________________.
② ___________________.
2. 非负数的性质：
多个非负数和为 0时，则各部分均为_____.
即，当 时，则___________________.
6
例题
例 3-1
（1）（★★★☆☆）已知 是完全平方式，求 的值．
（2）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
⑤ = ____________
（3）（★★★☆☆）把 加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，写出所有符
号条件的单项式．
例 3-2
（★★★☆☆）已知： ，求 的值
例 3-3
（★★★★☆）已知 ， 、 都是有理数，求 的值．
巩固练习
练 3-1
（1）（★★☆☆☆）已知 是一个完全平方式，则 等于（ ）．
A．8 B． C． D．
7
（2）（★★★☆☆）请在横线处填一个常数，使其成为一个完全平方式，并将完全平方写在
括号中
① = ____________
② = ____________
③ = ____________
④ = ____________
（3）（★★★☆☆）多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，
那么加上的单项式是什么？
练 3-2
（★★★☆☆）若 ，求 的值．
练 3-3
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
自主学习
【A 组】
练A-1
（★★☆☆☆）求值：
（1）已知 ， ，求代数式 的值．
8
（2）已知 ， ，求代数式 的值．
（3）已知 ， ，求 的值．
练A-2
（★★☆☆☆）若 ，则 __________； ___________．
练A-3
（★★★☆☆）如果多项式 是一个完全平方式，那么 的值为___________．
练A-4
（★★★☆☆）已知 是完全平方式，求 的值．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）试说明不论 取何值，代数式 的值总是正数．
练 B-2
（★★★★☆）已知 ， ， 是 的三条边，且满足 ，请
判断 三角形的形状
9
