08 提公因式法因式分解
教学目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握因式分解的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握提公因式法因式分解
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握并灵活运用提公因式法来解决问题
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.5 因式分解的意义
2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系
数为 1 的二次三项式的十字相乘法）
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
2
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.13 提公因式法
4. 学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分
解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习
的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法
的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，
而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效
的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法是因式分解的
基本而又重要的一种方法．
【课堂引入】
思考：如何把 a（m+n）+b（m+n）因式分解。
对于多项式 a（m+n）+b（m+n），如果设 c=m+n，那么这个式子就变为 ac+bc，我们就可以
提取公式法因式分解了。这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式
法进行因式分解了。如果不写出辅助元，只需把（b+c）看作一个整体，作为公因式提出即
可。
01
知识点 1——用字母表示数
知识笔记
1、因式分解：
把一个多项式化成几个__________的__________的形式，叫做把这个多项式因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
_____________________________________________________________
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称
为公因式．
3
【填空答案】
1、整式；乘积
2、
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【配题说明】本题主要考查因式分解的定义．
【常规讲解】
根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式．
故答案为：（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．
例 1-2
（★★☆☆☆）多项式 分解成 ，求 的值．
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
解： ，
所以 ，
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列从左到右的变形是因式分解的是
4
A． B．
C． D．
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；
、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选： ．
（2）解： 、 ，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符
合题意；
、 ，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此
选项不符合题意；
、 ，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
、 ，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选： ．
故答案为：（1）C；（2）C
练 1-2
（★★☆☆☆）已知二次三项式 分解因式 ，则 的值为
A．1 B． C． D．5
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
解： 二次三项式 分解因式 ，
，
，
则 ， ，
故 ．
故选： ．
5
01
知识点 2——因式与公因式
知识笔记
1、因式：
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式.
2、多项式的公因式：
一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
3、确定公因式的方法：
（1）若各项系数是整系数，取系数的_______________；
（2）取相同的字母，字母的指数取__________；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取__________.
（4）所有这些因式的__________即为公因式.
【填空答案】
（1）最大公约数
（2）较低的
（3）较低的
（4）乘积
例题
例 2-1
（★☆☆☆☆）指出下列各式中的公因式：
（1） 、 、 ； （2） 、 、 ；
（3） 、 ；
【配题说明】此题考查了公因式的基本概念．
6
【常规讲解】
（1） ；（2） ；（3）
例 2-2
（★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 ；
【配题说明】此题考查了公因式的基本概念．
【常规讲解】
（1） ； ；（2） ；
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）多项式 的各项公因式是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆） 与 的公因式是
A． B． C． D．
【配题说明】此题考查了公因式的基本概念．
【常规讲解】
（1）解： ，则 是公因式，
故选： ．
（2）解： 与 的公因式是 ．
故选： ．
练 2-2
（★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 ；
【配题说明】此题考查了公因式的基本概念．
【常规讲解】
（1） ； ；（2） ；
7
01
知识点 3——提公因式法因式分解
知识笔记
1、提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有_________，那么可以把该公因式提取出来作为多
项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的
方法叫做提取公因式法.
2、提取公因式的步骤：
“__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
“__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来；
“__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另
一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另
一个因式.
3、提取公因式法注意事项：
（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系
数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
（2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式
项数与原多项式的项数一致。
【填空答案】
1、公因式
2、一找；二提；三去除
3、提干净
8
例题
例 3-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】直接提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例 3-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
【配题说明】整体法提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） （2）
（3） （4）
例 3-3
（★★★★☆）分解因式：
（1） （2） ．
【配题说明】存在分数的提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） （2） ．
9
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6） .
【配题说明】直接提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
练 3-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
【配题说明】整体法提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） （2）
（3）原式
（4）原式
练 3-3
（★★★★☆）分解因式：
（1） （2）
【配题说明】存在分数的提公因式法因式分解
【常规讲解】
10
（1） （2）
01
知识点 4——提公因式法的应用
例题
例 4-1
（★★★☆☆）已知 ， 求 的值。
【配题说明】考察学生先因式分解，再代入求值
【常规讲解】
且 ，
原式
故答案为 5
例 4-2
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
【配题说明】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
原式 ，再把 代入，
得原式=0．
故答案为：0
例 4-3
（★★★★☆）计算： ．
【配题说明】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
解：原式= =
11
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）已知 ， ，求 的值。
【配题说明】考察学生先因式分解，再代入求值
【常规讲解】
且 ，
原式
故答案为 80
练 4-2
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
【配题说明】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
解： ，
．
练 4-3
（★★★★☆）计算：
【配题说明】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
解：原式= =
自主学习
【A 组】
12
练A-1
（1）（★☆☆☆☆）（2020 嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）（2020 浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解
的是
A． B．
C． D．
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、是因式分解，故本选项符合题意；
故选： ．
（2）解： 、不是因式分解，故本选项不符合题意；
、两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意；
、是因式分解，故本选项符合题意；
、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选： ．
练A-2
（★★☆☆☆）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，则 、
的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
解： 关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，
，
， ，
， ．
故选： ．
13
练A-3
（1）（★★☆☆☆）（2019秋 浦东新区期末） 和 的公因式是___________．
（2）（★★☆☆☆）多项式 的公因式是__________．
【配题说明】本题考查了公因式，能熟记找公因式的规律是解此题的关键，注意：①系数找
最大公约数，②相同字母，找最低次幂．
【常规讲解】
（1）解：系数的最大公约数是 4，
相同字母的最低指数次幂是 ，
公因式为 ．
（2）解：多项式 的公因式是 ，
故答案为：（1） ；（2）
练A-4
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ． （4） ；
（5） ； （6） ．
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
【配题说明】考察提公因式法因式分解
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
（3） ．
（4） ；
（5） ；
（6） ．
（7） ；
（8）原式 ；
（9） ；
14
（10）原式 ；
故答案为：
（1） ；（2） ；
（3） ．（4） ；
（5） ；（6） ．
（7） ；（8） ；
（9） （10）
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）已知： ，求
的值．
【配题说明】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
原式
．
因为 ，所以 ，所以原式 ．
故答案为：
练 B-2
（★★★★☆）试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与
原数之差能被 11整除．
【配题说明】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．
【常规讲解】
设这个三位数为 ，其中 为 1-9之间的整数， 为 0-9之间的整数，交换百
位数字与个位数字后可得新三位字为 ，
所以 ，
∵ 是整数，∴ 能被 11整除．
1508 提公因式法因式分解
教学目标
目标 1 ★★☆☆☆☆ 理解 掌握因式分解的概念
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握提公因式法因式分解
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 掌握并灵活运用提公因式法来解决问题
教学目标
2
01
知识点 1——用字母表示数
知识笔记
1、因式分解：
把一个多项式化成几个__________的__________的形式，叫做把这个多项式因
式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
_____________________________________________________________
式中 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称
为公因式．
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
例 1-2
（★★☆☆☆）多项式 分解成 ，求 的值．
3
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
练 1-2
（★★☆☆☆）已知二次三项式 分解因式 ，则 的值为
A．1 B． C． D．5
01
知识点 2——因式与公因式
知识笔记
1、因式：
几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式.
2、多项式的公因式：
一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。
3、确定公因式的方法：
（1）若各项系数是整系数，取系数的_______________；
（2）取相同的字母，字母的指数取__________；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取__________.
（4）所有这些因式的__________即为公因式.
4
例题
例 2-1
（★☆☆☆☆）指出下列各式中的公因式：
（1） 、 、 ； （2） 、 、 ；
（3） 、 ；
例 2-2
（★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 ；
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）多项式 的各项公因式是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆） 与 的公因式是
A． B． C． D．
练 2-2
（★★☆☆☆）将下列各组中的整式写成它们的公因式与另一因式相乘的形式：
（1） 、 ； （2） 、 ；
5
01
知识点 3——提公因式法因式分解
知识笔记
1、提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有_________，那么可以把该公因式提取出来作为多
项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的
方法叫做提取公因式法.
2、提取公因式的步骤：
“__________”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
“__________”：就是第二步将所找出的公因式提出来；
“__________”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另
一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另
一个因式.
3、提取公因式法注意事项：
（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“-”号，使括号内的第一项系
数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
（2）利用提公因式法分解因式时，一定要“___________”。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式
项数与原多项式的项数一致。
例题
例 3-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） （2）
6
（3） （4）
（5） （6）
例 3-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
例 3-3
（★★★★☆）分解因式：
（1） （2） ．
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） （2）
7
（3） （4）
（5） （6） .
练 3-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
练 3-3
（★★★★☆）分解因式：
（1） （2）
01
知识点 4——提公因式法的应用
例题
例 4-1
（★★★☆☆）已知 ， 求 的值。
8
例 4-2
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
例 4-3
（★★★★☆）计算： ．
巩固练习
练 4-1
（★★★☆☆）已知 ， ，求 的值。
练 4-2
（★★★★☆）已知 ，求 的值．
练 4-3
（★★★★☆）计算：
9
自主学习
【A 组】
练A-1
（1）（★☆☆☆☆）（2020 嘉定区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）（2020 浦东新区月考）下列从左边到右边的变形，是正确的因式分解
的是
A． B．
C． D．
练A-2
（★★☆☆☆）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ，则 、
的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
练A-3
（1）（★★☆☆☆）（2019秋 浦东新区期末） 和 的公因式是___________．
（2）（★★☆☆☆）多项式 的公因式是__________．
练A-4
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ． （4） ；
10
（5） ； （6） ．
（7） ； （8） ；
（9） ； （10） ；
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）已知： ，求
的值．
练 B-2
（★★★★☆）试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与
原数之差能被 11整除．
11
