10 十字相乘法因式分解
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握系数为 1的十字相乘法
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握系数不为 1的十字相乘法
教学目标
‘
2
01
知识点 1——系数为 1的十字相乘法
知识笔记
1、十字相乘法：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式 ，若存在 ，则
2、系数为 1的十字相乘法
（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则
________(若 ，则 ________)，然后依据一次项系数 的正负再确
定 的符号
（2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分
解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止.
例题
例 1-1
（★★☆☆☆）对以下两组式子进行分解因式：
第一组：
（1） （2）
（3） （4）
3
（5） （6）
第二组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例 1-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
4
（4） ．
例 1-3
（★★★☆☆）（1）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了 ，分解结果为 ；
乙看错了 ，分解结果为 ，请分析一下 ， 的值及正确的分解过程．
（★★★★☆）（2）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，
求 的值．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）对以下两组式子进行分解因式：
第一组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
5
第二组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
练 1-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ．
（2）
（3） ；
（4） ；
练 1-3
（★★★☆☆）（1）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成
，乙因看错了常数项分解成 ．根据上述信息将原多项式因式分
解．
6
（★★★★☆）（2）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求
的值．
01
知识点 2——系数不为 1的十字相乘法
知识笔记
系数不为 1的式子相乘法
在二次三项式 中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之
积，即 ，常数项 可以分解成两个因数之积，即 ，把 排
列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次 的
一次项系数 ，即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与
之积，即_____________________________.
例题
例 2-1
（ ★★★☆☆）（ 1）已知多项式 ，则 ________，
_________.
（★★★☆☆）（ 2）多项式 ，则 ________，
_________.
7
例 2-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5）
巩固练习
练 2-1
（ ★★★☆☆）（ 1）已知多项式 ，则 ________，
_________.
（★★★☆☆）（ 2）多项式 ，则 ________，
_________.
练 2-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
8
（5） ；
自主学习
【A 组】
练A-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
练A-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
9
练A-3
（★★★☆☆）（2019秋 浦东新区校级期中）在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学
因为看错了一次项系数而将其分解为 ，乙同学因为看错了常数项而将其分解为
，请写出正确的因式分解的结果____________________．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）分解因式： ．
练 B-2
（★★★★★）分解因式：
（1）
（2）
1010 十字相乘法因式分解
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握系数为 1的十字相乘法
目标 2 ★★★★★☆ 迁移 熟练掌握系数不为 1的十字相乘法
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.5 因式分解的意义
2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系
数为 1 的二次三项式的十字相乘法）
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.15 十字相乘法
4. 十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公
因式和运用乘法公式对多项式进行分解因式等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平
方公式进行分解因式之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的分解因式，是从特殊到
一般的认知规律的典型范例．首先，这种分解因式的方法在数学学习中具有较强的实用性，
2
一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的分解因式方法，能直接运用于某些
形如 这类二次三项式的分解因式，其次，还间接运用于解一元二次方程和确定二
次函数解析式上，为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十
字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位．
【课堂引入】
一、复习导入
1．口答计算结果。
（1）(x+3)(x+4)； （2）(x+3)(x－4)；
（3）(x－3)(x+4)； （4）(x－3)(x－4)。
2．问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗？
（在多项式的乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
二、探索新知
1．观察与发现
等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积的形式转化成和
差形式，进行的是乘法计算。
反过来可得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。
等式的左边是二次三项式，右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化成
积的形式，进行的是因式分解。
2．体会与尝试
（1）试一试
因式分解：x2+4x+3；x2-2x-3。
将二次三项式 x2+4x+3 因式分解，就需要将二次项 x2分解为 x·x，常数项 3分解为 3
×1，而且 3+1=4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：
3
x2+4x+3=(x+3)(x+1)。
x +3
x +1
（2）定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘
法。
（3）拆一拆
将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：
6= ； 12= ； 24= ；
-6= ； -12= ； -24= 。
（4）练一练
将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
①x2－7x+12；
②x2－4x－12;
③x2+8x+12；
④x2－11x－12；
⑤x2+13x+12。
（5）探索符号规律，完成填空。
3．思考与归纳
要将二次三项式 x2+px+q 因式分解，就需要找到两个数 A、B，使它们的积等于常数项
q，和等于一次项系数 p，满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2+px+q =x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。
用十字交叉线表示：
x +a
x +b
ax+bx=(a+b)x。
由于把 x2+px+q 中的 q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通
常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解。
‘
4
01
知识点 1——系数为 1的十字相乘法
知识笔记
1、十字相乘法：
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式 ，若存在 ，则
2、系数为 1的十字相乘法
（1）在对 分解因式时，要先从常数项 的正、负入手，若 ，则
________(若 ，则 ________)，然后依据一次项系数 的正负再确
定 的符号
（2）若 中的 为整数时，要先将 分解成两个整数的积(要考虑到分
解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于 ，直到凑对为止.
【填空答案】
1、
2、同号；异号
例题
例 1-1
（★★☆☆☆）对以下两组式子进行分解因式：
第一组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
第二组：
5
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】此题考查了系数为 1的十字相乘法，老师可以通过两组练习加强学生对于常数
项与一次项的关系．
【常规讲解】
第一组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
第二组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例 1-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【配题说明】此题考查了整体法的十字相乘法．
【常规讲解】
（1）原式
（2）原式 ；
6
（3）原式 ；
（4）原式
故答案为：（1） ；；（2） ；
（3） ；（4）
例 1-3
（★★★☆☆）（1）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了 ，分解结果为 ；
乙看错了 ，分解结果为 ，请分析一下 ， 的值及正确的分解过程．
（★★★★☆）（2）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，
求 的值．
【配题说明】本题考查了十字相乘的应用
【常规讲解】
解：（1）原式
；
（2） ，甲看错了 ，
．
，乙看错了 ，
，
．
（2）设 ，可得 ，根据 ab是有理数，
可得
， ； ， ； ， ；
， ； ， ； ， ；
， ； ， ．
故答案为： ．
7
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）对以下两组式子进行分解因式：
第一组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
第二组：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】此题考查了系数为 1的十字相乘法，老师可以通过两组练习加强学生对于常数
项与一次项的关系．
【常规讲解】
第一组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
第二组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
练 1-2
8
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ．
（2）
（3） ；
（4） ；
【配题说明】此题考查了整体法的十字相乘法．
【常规讲解】
（1）原式
（2）原式 ．
（3）原式 ；
（4）原式 ；
故答案为：（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
练 1-3
（★★★☆☆）（1）将一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成
，乙因看错了常数项分解成 ．根据上述信息将原多项式因式分
解．
（★★★★☆）（2）已知：关于 的多项式 可以在有理数范围内分解因式，求
的值．
【配题说明】本题考查了十字相乘的应用
【常规讲解】
解：甲的结果
，
由甲看错一次项系数，得到正确常数项为 18，
乙的结果
，
由乙看错常数项，得到正确一次项为 ，
则多项式为
9
．
（2）设 ，可得 ，根据 ab是有理数，可
得 ， ； ， ； ， ；
， ； ， ； ， ；
， ； ， ．
故答案为： ．
01
知识点 2——系数不为 1的十字相乘法
知识笔记
系数不为 1的式子相乘法
在二次三项式 中，如果二次项系数 可以分解成两个因数之
积，即 ，常数项 可以分解成两个因数之积，即 ，把 排
列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 ，若它正好等于二次 的
一次项系数 ，即 ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 与
之积，即_____________________________.
【填空答案】
10
例题
例 2-1
（ ★★★☆☆）（ 1）已知多项式 ，则 ________，
_________.
（★★★☆☆）（ 2）多项式 ，则 ________，
_________.
【配题说明】本题考查了系数不为 1的十字相乘法基本性质
【常规讲解】
（1）右边
由题意得：
（2）右边=
由题意得：
例 2-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5）
【配题说明】本题考查了系数不为 1的十字相乘法的因式分解
【常规讲解】
（1）
（2） ；
（3）
（4） ；
（5）
11
巩固练习
练 2-1
（ ★★★☆☆）（ 1）已知多项式 ，则 ________，
_________.
（★★★☆☆）（ 2）多项式 ，则 ________，
_________.
【配题说明】本题考查了系数不为 1的十字相乘法基本
【常规讲解】
（1）右边
由题意得：
（2）右边
由题意得：
练 2-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
【配题说明】本题考查了系数不为 1的十字相乘法的因式分解
【常规讲解】
（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
（5） ；
12
自主学习
【A 组】
练A-1
（★★☆☆☆）分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ；
【配题说明】本题考查了十字相乘的应用
【常规讲解】
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4） ．
（5）
练A-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
【配题说明】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式
分解法（十字相乘）是解题的关键．
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式
．
（3）
．
（4）原式 ．
13
故答案为：（1） ； （2） ．
（3） （4）
练A-3
（★★★☆☆）（2019秋 浦东新区校级期中）在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学
因为看错了一次项系数而将其分解为 ，乙同学因为看错了常数项而将其分解为
，请写出正确的因式分解的结果____________________．
【配题说明】本题考查了因式分解和多项式乘法的关系及多项式的因式分解．根据题意，确
定原来的二次三项式是解决本题的关键．
【常规讲解】
解： ，
，
甲同学因为看错了一次项系数，
多项式的二次项和常数项分别是 、18，
乙同学因为看错了常数项，
多项式的二次项和一次项分别是 、 ，
所以该二次三项式为： ．
故答案为：
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）分解因式： ．
【配题说明】本题主要考查了“换元法”的思想，将 看作一个整体，再利用十字相乘
法进行因式分解．
【常规讲解】
原式 ．
故答案为： ．
练 B-2
14
（★★★★★）分解因式：
（1）
（2）
【配题说明】本题主要考查了双十字相乘法因式分解
【常规讲解】
（1） ， ；
（2）分析：虽然缺少 项，但不妨碍使用双十字分解（ 系数看成 0）；
， ；
15
