09 公式法因式分解
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握平方差公式因式分解
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握完全平方公式因式分解
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系
数为 1 的二次三项式的十字相乘法）
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.14 公式法
4. 学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分
解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习
2
的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法
的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，
而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效
的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，公式法是因式分解的基本而
又重要的一种方法．
【课堂引入】
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3）= ；
（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ；
根据上面式子填空：
（1） = ；
（2） = ；
（3） = ；
（4） = ；。
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观
察能力与逆向思维能力。
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得
出第一组式子与第二组式子之间的对应关系。
第二环节 想一想
活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么
共同特征？
结论： =（a+b）（a–b）
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分
解中平方差公式的特征。
注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两
边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成
3
01
知识点 1——公式法
知识笔记
1、公式法的定义：
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
2、乘法公式复习：
（1）
（2） ；
3、因式分解的平方差公式：____________________________
4、因式分解的完全平方公式：____________________________
【填空答案】
1、 ；
2、 ； ；
3、 ；
4、 ；
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【配题说明】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【常规讲解】
解： 、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
4
、原式 ，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选： ．
例 1-2
（★☆☆☆☆）下列各式能用完全平方公式分解因式的有
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【常规讲解】
解：① ，不能用完全平方公式分解；
② ，可以用完全平方公式分解；
③ ，可以用完全平方公式分解；
④ ，不能用完全平方公式分解；
⑤ ，不能用完全平方公式分解；
故选： ．
巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
【配题说明】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【常规讲解】
解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
5
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式 ，不符合意义，
故选： ．
练 1-2
（★☆☆☆☆）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是
A． B．
C． D．
【配题说明】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【常规讲解】
解： ．
故选： ．
01
知识点 2——平方差公式因式分解
知识笔记
1、因式分解的平方差公式：
_____________________________________________________________________
2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反；
(2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式；
(3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
(4) 公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项
式或多项式.
6
【填空答案】
；二项式；平方
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】考察直接用平方法进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6）
例 2-2
（★★★☆☆）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
7
【配题说明】考察整体运用平方法进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
故答案为：（1） ；（2）
（3） ；（4） ；
（5）
例 2-3
（★★★☆☆）用简便方法计算：
（1） （2）
（3） （4）
【配题说明】考察运用平方差因式分解的简便运算
【常规讲解】
解（1）原式 = =
（2）原式= =
（3）原式= =
（4）原式=
=
=
8
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【配题说明】
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；
（6） ；（7） ；（8）
练 2-2
（★★★☆☆）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
9
（3）
（4）
（5） （m为正整数）
【配题说明】考察整体运用平方法进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
故答案为：（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；（5）
练 2-3
（★★★☆☆）计算
（1） （2）
（3） （4）
【配题说明】考察运用平方差因式分解的简便运算
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）原式
10
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
01
知识点 3——完全平方公式因式分解
知识笔记
1、因式分解的完全平方公式：
____________________________________________
____________________________________________
2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公 式 的 左 边 必 须 是 一 个 __________ ， 且 可 以 看 成 是 一 个
_______________式；
(2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的
_________形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____
倍；
(3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与
左边第三项的符号相同；
(4)公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示
_______________或_______________.
【填空答案】
1、 ;
2、三项式；二次三项；正；平方；2；单项式；多项式
11
【扩展讲解】
公式法的几点注意：
(1)运用公式法进行因式分解时要注意观察，首先观察项数，如果是二项，考虑平方差公式；
如果是三项，考虑用完全平方公式；其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中各项如
何对应，什么是公式中的“ ”，什么是公式中的“ ”，然后才能运用此公式进行因式分解.
(2)分解因式一定要彻底，如例②中不能把 作为最后分解的结果.
(3)公式中的 、 可以表示单独的多项式，使用公式时要注意符号的使用，但分解后的结果
中不能含有中括号.
(4)合理变形，巧妙运用公式是本节的难点.例如分解因式 时，将此多项
式变形为 后，就可以用完全平方公式进行分解.
例题
例 3-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】运用完全平方公式进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） （6）
12
例 3-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
① 该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填序号）．
．提取公因式 ．平方差公式
．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式
② 该同学在第四步将 用所设中的 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．
这个结果是否分解到最后？_____．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
__________________．
③ 请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【配题说明】通过整体法、换元法来运用完全平方公式进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）解：①该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选： ；
②这个结果没有分解到最后，
原式 ；
故答案为：否， ；
③
．
【扩展讲解】
13
【扩展讲解】
例 3-3
（★★★☆☆）计算：
【配题说明】考察运用完全平方公式因式分解进行简便运算
【常规讲解】
巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【配题说明】运用完全平方公式进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6）
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练 3-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3）
【配题说明】通过整体法、换元法来运用完全平方公式进行因式分解
【常规讲解】
（1）
（2）
（3）
练 3-3
（★★★☆☆）计算：
（1） （2）
【配题说明】考察运用完全平方公式因式分解进行简便运算
【常规讲解】
（1）
（2）
故答案为：（1）1；（2）9
15
自主学习
【A 组】
练A-1
（★☆☆☆☆）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能
用平方差公式分解因式的多项式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【配题说明】此题考查了因式分解运用公式法.
【常规讲解】
解：③ ，符合公式特点；
① ；② ，④ 不符合公式特点．
故选： ．
练A-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【配题说明】本题主要考查利用公式法进行因式分解，综合性较强，注意符号的变化．
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式
．
故答案为（1） ；（2） ；（3）
练A-3
（★★★☆☆）分解因式：
16
（1） ；
（2） ．
（3） ；
（4） ．
【配题说明】本题主要考查利用公式法进行因式分解，综合性较强，注意符号的变化．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ．
（3）原式 ；
（4）原式
．
故答案为：（1） ；（2） ．（3） ；
（4） ．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）若 为 的三边长，且 ，
则 按边分类，应是什么三角形？
【配题说明】本题利用因式分解的思想，判断出 、 、 的关系，提取公因式时注意符号．
【常规讲解】
【解析】∵ ， ∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ，∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
练 B-2
（★★★★★）已知乘法公式：
（1） ；
（2） ．
17
利用或者不利用上述公式分解因式： ．
【配题说明】主要本题主要考查学生对于新的乘法公式在因式分解中的应用．
【常规讲解】
解法一：利用上述公式：
原式
解法二：不利用上述公式：
原式
故答案为： ．
1809 公式法因式分解
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握平方差公式因式分解
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握完全平方公式因式分解
教学目标
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01
知识点 1——公式法
知识笔记
1、公式法的定义：
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.
2、乘法公式复习：
（1）
（2） ；
3、因式分解的平方差公式：____________________________
4、因式分解的完全平方公式：____________________________
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
例 1-2
（★☆☆☆☆）下列各式能用完全平方公式分解因式的有
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）下列各多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是
A． B． C． D．
练 1-2
（★☆☆☆☆）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是
A． B．
C． D．
01
知识点 2——平方差公式因式分解
知识笔记
1、因式分解的平方差公式：
_____________________________________________________________________
2、运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公式左边必须是一个__________，且符号相反；
(2) 两项中的每一项必须是某个数或某个式子的________形式；
(3) 右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
(4) 公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项
式或多项式.
4
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例 2-2
（★★★☆☆）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
5
例 2-3
（★★★☆☆）用简便方法计算：
（1） （2）
（3） （4）
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
6
练 2-2
（★★★☆☆）将下列各式因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （m为正整数）
练 2-3
（★★★☆☆）计算
（1） （2）
（3） （4）
7
01
知识点 3——完全平方公式因式分解
知识笔记
1、因式分解的完全平方公式：
____________________________________________
____________________________________________
2、运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征：
(1) 公 式 的 左 边 必 须 是 一 个 __________ ， 且 可 以 看 成 是 一 个
_______________式；
(2)其中两项的符号必须是_____的，且能写成某两个数或两个十字的
_________形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或式子的乘积的____
倍；
(3)右边分解的结果是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差的符号与
左边第三项的符号相同；
(4)公式中字母“ ”和“ ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示
_______________或_______________.
例题
例 3-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
8
（5） （6）
例 3-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3）下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
① 该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填序号）．
．提取公因式 ．平方差公式
．两数和的完全平方公式 ．两数差的完全平方公式
② 该同学在第四步将 用所设中的 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．
这个结果是否分解到最后？_____．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
__________________．
③ 请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
例 3-3
（★★★☆☆）计算：
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巩固练习
练 3-1
（★★☆☆☆）将下列各式因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
练 3-2
（★★★☆☆）因式分解：
（1） （2）
（3）
练 3-3
（★★★☆☆）计算：
（1） （2）
10
自主学习
【A 组】
练A-1
（★☆☆☆☆）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能
用平方差公式分解因式的多项式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练A-2
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
练A-3
（★★★☆☆）分解因式：
（1） ；
（2） ．
（3） ；
11
（4） ．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）若 为 的三边长，且 ，
则 按边分类，应是什么三角形？
练 B-2
（★★★★★）已知乘法公式：
（1） ；
（2） ．
利用或者不利用上述公式分解因式： ．
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