11 分组分解法与因式分解综合
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握四项式的分组分解法因式分解
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合运用各类方法进行因式分解
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.5 因式分解的意义
2.6 因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为 1 的二次
三项式的十字相乘法）
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而分组分解因式法因式分解则是因式
分解的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.16 分组分解法法
4. 分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因
式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，
把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点
2
等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成
一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．
【课堂引入】
1．把下列多项式因式分解。
（1）2x2+10x； （2）a(m+n)+b(m+n)；
（3）2a(x-5y)+4b(5y-x)； （4）(x+y)2-2(x+y)。
2．新课讲解。
二、引入
1．提问：如何将多项式 am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式 am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于
am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。
这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)。
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：
如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式
就可以用分组分解法来分解因式。
01
知识点 1——四项分组分解法
知识笔记
1、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，
这就是分组分解法．
2、二二分组的特点：
①按__________分组
②按__________分组
③符合__________的两项分组
3、三一分组的特点：
先____________公式后__________公式
3
【填空答案】
2、字母、系数、公式
3、完全平方；平方差
例题
例 1-1
因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） ；
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ．
（3）原式
．
（4）原式
．
（5）原式
．
（6）原式
．
（7）原式
．
故答案为：（1） ；（2） ．（3）
（4） ；（5） ；（6）
（7） ；
例 1-2
4
分解因式：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式 ．
（4）原式 ．
故答案为：（1） ；（2）
（3） ；（4）
巩固练习
练 1-1
因式分解：
（1） ； （2） 、
（3） ； （4）
（5） ； （6）
（7）
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ．
（3）原式 ．
5
（4）原式 ．
（5）原式 ．
（6）原式 ．
（7）原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ．（3）
（4） ；（5） ；（6）
（7）
练 1-2
分解因式：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
【配题说明】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
【常规讲解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
01
知识点 2——因式分解综合
知识笔记
因式分解步骤：
（1）先提公因式
（2）两项考虑__________________因式分解
（3）三项考虑__________________因式分解或__________________因式
分解
（4）四项考虑__________________因式分解.
6
【填空答案】
平方差公式；完全平方公式；十字相乘法；分组分解法
例题
例 2-1
（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A、 B、
C、 D、
（2）已知多项式 分解因式为 ，则 、 的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【配题说明】（1）本题主要考查因式分解的概念．
（2）考查整式的乘法以及待定系数法．
【常规讲解】
（1）把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断 B正确．
故答案为 B
（2） ．
故答案为 D
例 2-2
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（7） ； （6） ；
【配题说明】因式分解综合
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ；
7
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式 ；
（6）原式 ；
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ； （6） ；
巩固练习
练 2-1
（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A、 B、
C、 D、
（2）一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是（ ）
A、 B、 C、 D、
【配题说明】（1）本题主要考查因式分解的概念．
（2）本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系．
【常规讲解】
（1）把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断 C正确．
故答案为 C
（2） ．
故答案为 B
练 2-2
分解因式：
（1） （2） ．
（3） ； （4） ．
（5） ； （6） ．
【配题说明】因式分解综合
8
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ．
（3）原式 ；
（4）原式 ．
（5）原式 ；
（6）原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
综合练习
【A 组】
练A-1
因式分解：
（1） ； （2） ．
（3） ； （4）
（5）
【配题说明】因式分解综合
【常规讲解】
（1）原式 ；
（2）原式 ．
（3）原式 ．
（4）原式 ．
（5）原式
故答案为：（1） ；（2） ．（3）
（4） ；（5）
练A-2
因式分解：
（1）（2020秋 宝山区期末）分解因式： ．
9
（2）（2020秋 奉贤区期末）因式分解： ．
（3）（2020秋 奉贤区期末）因式分解： ．
（4）（2020秋 上海期末）分解因式： ．
（5）（2020秋 浦东新区期末）分解因式： ．
（6）（2020秋 松江区期末）因式分解： ．
【配题说明】因式分解综合
【常规讲解】
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：
．
（4）解：原式
．
（5）解：
．
（6）解：原式
．
【B 组】
练 B-1
已知： ，求： 的值．
【配题说明】主要利用系数乘以 2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性．
【常规讲解】
由 ，可得：
10
把已知代入，可得： = ．
故答案为 3．
练 B-2
已知： ， ，且 ，求 的值．
【配题说明】本题综合性较强，主要考查学生如何通过代数式等式，利用完全平方公式和因
式分解以及非负性求解代数式的值．
【常规讲解】
由 ，
代入
，
再把 ， 代入，可得：
，
∴ ，∴ ，
可得 ．
故答案为 0
1111 分组分解法与因式分解综合
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握四项式的分组分解法因式分解
目标 2 ★★★★★★ 综合 综合运用各类方法进行因式分解
教学目标
2
01
知识点 1——四项分组分解法
知识笔记
1、分组分解法：
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，
这就是分组分解法．
2、二二分组的特点：
①按__________分组
②按__________分组
③符合__________的两项分组
3、三一分组的特点：
先____________公式后__________公式
例题
例 1-1
因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ；
3
（7） ；
例 1-2
分解因式：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
巩固练习
练 1-1
因式分解：
（1） ； （2） 、
（3） ； （4）
（5） ； （6）
4
（7）
练 1-2
分解因式：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
01
知识点 2——因式分解综合
知识笔记
因式分解步骤：
（1）先提公因式
（2）两项考虑__________________因式分解
（3）三项考虑__________________因式分解或__________________因式
分解
（4）四项考虑__________________因式分解.
例题
例 2-1
（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5
（2）已知多项式 分解因式为 ，则 、 的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
例 2-2
分解因式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（7） ； （6） ；
巩固练习
练 2-1
（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A、 B、
C、 D、
（2）一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是（ ）
A、 B、 C、 D、
6
练 2-2
分解因式：
（1） （2） ．
（3） ； （4） ．
（5） ； （6） ．
自主学习
【A 组】
练A-1
因式分解：
（1） ； （2） ．
（3） ； （4）
（5）
7
练A-2
因式分解：
（1）（2020秋 宝山区期末）分解因式： ．
（2）（2020秋 奉贤区期末）因式分解： ．
（3）（2020秋 奉贤区期末）因式分解： ．
（4）（2020秋 上海期末）分解因式： ．
（5）（2020秋 浦东新区期末）分解因式： ．
（6）（2020秋 松江区期末）因式分解： ．
【B 组】
练 B-1
已知： ，求： 的值．
8
练 B-2
已知： ， ，且 ，求 的值．
9
