12 整式的除法
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握同底数幂的除法的运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握单项式除以单项式的运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握多项式除以单项式的运算
教学目标
2
01
知识点 1——同底数幂的除法
知识笔记
1、同底数幂相除：
同 底 数 的 幂 相 除 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 减 ． 用 式 子 表 示 为 ：
_______________________
2、零次幂
规定___________________；___________________（ ， 是正整数）．
例题
例 1-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ；
（3） （4） ．
（5） （6） ．
（7） ．
3
例 1-2
（★★★☆☆）已知： ，求 的值．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
（5） ； （6） ；
（7） ；
练 1-2
（★★★☆☆）若 ， ，求 的值．
4
01
知识点 2——单项式除以单项式
知识笔记
单项式除以单项式：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ；
（3） ．
例 2-2
（★★★☆☆）先化简 ，再计算当 ， ， 的
值 ．
5
例 2-3
（1）（★★★☆☆）已知一个单项式除以 所得的商是 ，求这个单项式．
（2）（★★★☆☆）已知一个多项式减去 后，除以 的商是 ，求这个多项式．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ．
（3）
练 2-2
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中 ， ， ．
6
练 2-3
（1）（★★★☆☆）已知一个单项式乘以 ，所得的积是 ，求这个单项式．
（2）（★★★☆☆）已知长方体的体积为 ，它的长为 ，宽 ，求这个长方体的
高 ．
01
知识点 3——多项式除以单项式
知识笔记
多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商___________．
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ；
（2） ；
7
（3） ；
例 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
例 3-3
（★★★★☆）已知一个多项式与单项式 的积是 ，求这个多项式．
8
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3） ．
练 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
9
练 3-3
（★★★★☆）已知 与一个整式的积是 ，求这个整式．
自主学习
【A 组】
练A-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） __________．
（6） __________．
（7） ；
（8） ；
练A-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
10
练A-3
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
练A-4
（★★★★☆）已知除式为 ，商式为 ，余式为 ，求被除式．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）若 能被 整除，试求 的值．
练 B-2
（★★★★☆）是否存在常数 、 使得 能被 整除？如果存在，求出
、 的值，否则请说明理由．
11
练 B-3
（★★★★★）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低
于除式的次数时为止，被除式 除式 商式 余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一
个多项式整除．
例如：计算 ，可用竖式除法如图：
所以 除以 ，商式为 ，余式为 0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1） 的商是_________________，余式是_________________；
（2） 能被 整除，求 ， 的值．
练 B-4
（★★★★★）已知 为实数，且多项式 能被多项式 整除
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ， ， 为整数，且 ，试确定 ， ， 的值．
1212 整式的除法
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握同底数幂的除法的运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握单项式除以单项式的运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 熟练掌握多项式除以单项式的运算
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.3 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则
2. 因式分解概念主要以填空的形式对概念进行考察，而提公因式法因式分解则是因式分解
的基础，常常会在解答题中，和其余因式分解方法混合进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章：整式
9.17 同底数幂的除法
9.18 单项式除以单项式
9.19 多项式除以单项式
2
4. 整式除法同整式加减法一样，是整式运算的重要内容，是进一步学习因式分解、分式、
方程、函数以及其他数学内容的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工
具．因此，本章内容在学习数学及其他学科方面占有重要的地位和作用．学习整式乘除是学
习整式加减的继续和发展．
【课堂引入】
复习同底数幂的乘法法则。我找个同学来回答一下同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即（板书内容）am·an=am + n（m、n为正整数）
下面我们共同学习一下这几道题：
用你熟悉的方法计算：
（1）23× ＝25；
（2）103× ＝107；
（3）a3× ＝a7（a≠0）。
由上面的计算，我们发现：
25÷23=22＝25-3；
107÷103＝104＝107-3；
a7÷a3＝ a4＝a7-3．
同底数幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
用字母表示：
当 m = n时 ；零指数的意义：
3
01
知识点 1——同底数幂的除法
知识笔记
1、同底数幂相除：
同 底 数 的 幂 相 除 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 减 ． 用 式 子 表 示 为 ：
_______________________
2、零次幂
规定___________________；___________________（ ， 是正整数）．
【填空答案】
1、 （ ， ， 都是正整数）
2、 ;
例题
例 1-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ；
（3） （4） ．
（5） （6） ．
（7） ．
【配题说明】本题考查了同底数幂的乘法与除法，注意负数的偶次幂以及奇次幂的符号．
【常规讲解】
（1）
（2） ；
4
（3） ．
（4） ．
（5） ．
（6） ．
（7）
．
故答案为：
（1） （2） ；（3） ．（4） ．（5） ．（6） ．（7） ．
例 1-2
（★★★☆☆）已知： ，求 的值．
【配题说明】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法．
【常规讲解】
∵ ， ，
∴ ，∴ ，解得 ．
故答案为：4．
巩固练习
练 1-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2）
（3） ； （4）
（5） ； （6） ；
（7） ；
【配题说明】本题考查了同底数幂的乘法与除法，注意负数的偶次幂以及奇次幂的符号．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
5
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7）
；
故答案为：（1） （2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；
练 1-2
（★★★☆☆）若 ， ，求 的值．
【配题说明】本题考查了同底数幂的乘方与除法．
【常规讲解】
，把 ， 代入得 ．
故答案为： ．
01
知识点 2——单项式除以单项式
知识笔记
单项式除以单项式：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里
含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例题
例 2-1
6
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ；
（3） ．
【配题说明】本题考查了单项式与单项式的除法．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
（3） ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3）
例 2-2
（★★★☆☆）先化简 ，再计算当 ， ， 的
值 ．
【配题说明】本题考查了单项式乘单项式、单项式除以单项式．
【常规讲解】
，
把 ， ， 代入得原式 ．
故答案为：-3
例 2-3
（1）（★★★☆☆）已知一个单项式除以 所得的商是 ，求这个单项式．
（2）（★★★☆☆）已知一个多项式减去 后，除以 的商是 ，求这个多项式．
【配题说明】（1）本题考查了单项式除以单项式．（2）本题考查了多项式乘以多项式及合并
同类项．
【常规讲解】
7
（1） ．
（2）
故答案为：（1） ；（2）
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） （2） ．
（3）
【配题说明】本题考查了单项式与单项式的除法．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ．
（3）
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
练 2-2
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中 ， ， ．
【配题说明】本题考查了单项式乘单项式、单项式除以单项式．
【常规讲解】
解：原式
，
当 ， ， 时，
原式 ；
8
练 2-3
（1）（★★★☆☆）已知一个单项式乘以 ，所得的积是 ，求这个单项式．
（2）（★★★☆☆）已知长方体的体积为 ，它的长为 ，宽 ，求这个长方体的
高 ．
【配题说明】本题考查了单项式除以单项式．
【常规讲解】
（1） ．
（2）解：由长方体的体积，得
高：
．
答：这个长方体的高是 ．
故答案为：（1） ；（2）
01
知识点 3——多项式除以单项式
知识笔记
多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商___________．
【填空答案】
相加
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
9
（1） ；
（2） ；
（3） ；
【配题说明】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
例 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【配题说明】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式．
【常规讲解】
（1）
．
（2）
．
（3）解：
．
（4）解：
10
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
（4）
例 3-3
（★★★★☆）已知一个多项式与单项式 的积是 ，求这个多项式．
【配题说明】本题考查了多项式除以单项式，计算时要准确理解题意．
【常规讲解】
．
故答案为： ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3） ．
【配题说明】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式．
【常规讲解】
（1） ．
（2） ．
（3）
．
故答案为：（1） ．（2） ．（3） ．
练 3-2
（★★★☆☆）计算：
11
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【配题说明】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式．
【常规讲解】
（1）
．
（2）
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式 ，
，
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
练 3-3
（★★★★☆）已知 与一个整式的积是 ，求这个整式．
【配题说明】本题考查了多项式除以单项式，计算时要准确理解题意．
【常规讲解】
故答案为：
自主学习
【A 组】
12
练A-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） __________．
（6） __________．
（7） ；
（8） ；
【配题说明】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
（1）解：原式 ，
（2）解：原式 ．
（3）解：原式 ．
（4）解： ．
（5）解：原式 ．
（6）解： ．
（7） ；
（8） ；
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；
（8） ；
练A-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【配题说明】本题考查了单项式与单项式的除法．
【常规讲解】
（1） ；
13
（2） ；
（3） ；
（4） ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
练A-3
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
【配题说明】本题考查了多项式乘单项式、合并同类项及多项式除以单项式．
【常规讲解】
（1） ．
（ 2 ）
故答案为：（1） ；（2）
练A-4
（★★★★☆）已知除式为 ，商式为 ，余式为 ，求被除式．
【配题说明】本题考查了多项式乘多项式及合并同类项，注意：被除数=除数×商+余数．
【常规讲解】
．
故答案为： ．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）若 能被 整除，试求 的值．
【配题说明】本题考查了整式的除法，做题的关键是理解整除的含义，比如 被 整除，另
14
外一层的意思也就是说， 是 的一个因式，使这个因式 等于 0的值，必是 的一个解．
【常规讲解】
∵ 能被 整除，
∴ ，
当 时，上式变形为 ，∴ ，∴ ．
练 B-2
（★★★★☆）是否存在常数 、 使得 能被 整除？如果存在，求出
、 的值，否则请说明理由．
【配题说明】本题考查的是整式的除法，可利用乘法是除法的逆运算计算，其实就是待定系
数法．
【常规讲解】
假设存在 、 ，则说明 能被 整除，
可设另一个因式是 ，
∴ ，即
，
∴ 且 ，解得 ， ，
∴存在 、 使得 能被 整除．
故答案为：存在， ， ．
练 B-3
（★★★★★）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，井把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低
于除式的次数时为止，被除式 除式 商式 余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一
个多项式整除．
例如：计算 ，可用竖式除法如图：
所以 除以 ，商式为 ，余式为 0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
15
（1） 的商是_________________，余式是_________________；
（2） 能被 整除，求 ， 的值．
【配题说明】考查整式除法的意义和方法，理解除法的竖式计算方法是正确解答的前提．
【常规讲解】
解：（1）
故答案为： ，1．
（2）由题意得：
能被 整除，
， ，
即： ， ．
练 B-4
16
（★★★★★）已知 为实数，且多项式 能被多项式 整除
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ， ， 为整数，且 ，试确定 ， ， 的值．
【配题说明】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如 被 整除，
另外一层意思也就是说， 是 的一个因式，使这个因式 等于 0的值，必是 的一个解．
【常规讲解】
解：（1） 是 的一个因式，
，即 ， 是方程 的解，
，
① ②得 ③；
（2）由③得 ，④
代入①得 ⑤，
；
（3） ，又 ，
，
即 ，
解得 ，
又 、 是大于 1的正整数，
、4、5、6、7，但 ， 也是正整数，
，
，
．
补充方法： 得 ，
， ．然后代入第一、二小题得结果．第三小题解关于 的不等式组得 ．
故 ， ， ．
17
