05 整式的乘法
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与单项式相乘法的法则及其运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与多项式相乘法的法则及其运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握多项式与多项式相乘法的法则及其运算
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.3 掌握单项式与单项式相乘法的法则及其运算
2. 主要考察单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式运算。这个部分知识主
要以计算解答题的形式对学生进行考察
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.10 整式的乘法
4. 整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公
式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运
算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验．探索与认识，有利于学生知识的迁移，
2
形成新的知识结构．
【课堂引入】
同学们先想一想(a+b)X=？
【答案】(a+b)X=aX+bX
想一想：当 X=m+n时， (a+b)X=？
由上一题知 (a+b)X=aX+bX
于是，当 X=m+n时
(a+b)X=(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
即 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
“整体换元”思想，“转化”思想：
先把(m+n)看作一个单项式（整体），就可以把多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相
乘。
(m+n)(a+b+c)
=(m+n)a+ (m+n)b+ (m+n)c=ma+na+mb+nb+mc+nc
说明：在放投影片时，进行分组讨论，得出结论。
多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的
积相加。
3
01
知识点 1——用字母表示数
知识笔记
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积
作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按
“______________________________”的顺序进行．例如：
．
【填空答案】
1、系数；同底数幂；先乘方、再乘法
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2）计算： __________．
（3）计算 __________．
（4）计算： __________．
（5）计算 __________．
（6）计算： __________．
【配题说明】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个
式子相乘与两个式子相乘法则相同．
【常规讲解】
（1）解： ．
（2）解：原式 ．
4
（3）解： ，
（4）解： ．
（5）解： ．
（6）解： ，
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
例 1-2
（★★☆☆☆）计算：
（1）计算： __________．
（2）计算： =__________．
（3）计算： __________．
（4）计算： __________．
【配题说明】本题主要考查单项式乘法法则．单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应
按先乘方、再乘法顺序进行计算
【常规讲解】
（1）解： ．
（2）解： ，
（3）解： ．
（4）解：
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
例 1-3
（★★★☆☆）计算：
（1） ；
5
（2） ．
【配题说明】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类
项的运算．
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）原式= ．
故答案为：（1） ；（2） ．
巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1）计算： ___________．
（2）计算： ___________．
（3）计算： ___________．
（4）计算： =___________．
（5）计算： ___________．
【配题说明】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个
式子相乘与两个式子相乘法则相同．
【常规讲解】
（1）解： ，
（2）解： ．
（3）解： ．
（4）解： ．
（5）解：原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
6
练 1-2
（★★☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） __________．
【配题说明】本题主要考查单项式乘法法则．单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应
按先乘方、再乘法顺序进行计算
【常规讲解】
（1）解： ，
（2）解： ，
（3）解：原式 ．
（4）解： ．
（5）解： ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
练 1-3
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
【配题说明】本题主要考查幂的运算和单项式乘法法则，先按法则进行计算，再做合并同类
项的运算．
【常规讲解】
（1）原式=
（2）原式
．
7
01
知识点 2——单项式乘多项式
知识笔记
单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
例如： =______________________．
【填空答案】
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
【配题说明】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式中的每一
项．
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ．
例 2-2
8
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
【配题说明】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并
同类项运算．
【常规讲解】
（1）原式
（2）原式
故答案为：（1） ；（2）
例 2-3
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中 ．
【配题说明】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算，
然后合并同类项进行化简，最后代值计算．
【常规讲解】
原式=
将 代入计算得： ．
故答案为：化简结果是 ，代入求值结果是 ．
巩固练习
9
练 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ；
（2） ．
【配题说明】本题主要考查单项式与多项式的乘法法则，用单项式分别去乘多项式的每一项，
计算时注意符号．
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）原式= ．
故答案为：（1） ；（2） ．
练 2-2
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
【配题说明】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并
同类项运算．
【常规讲解】
（1）解：原式
．
（2）解：
．
练 2-3
（★★★☆☆）先化简，后求值： ，其中
．
10
【配题说明】本题主要考查代数式的化简，先利用单项式乘多项式的运算法则进行计算，然
后合 并同类项进行化简，最后代值计算．
【常规讲解】
原式
．
将 代入计算得：原式= ．
故答案为：化简结果是 ，代入求值结果是 1．
01
知识点 3——多项式乘多项式
知识笔记
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积
相加．
用公式表示为： =_______________________________．
【填空答案】
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3） ；
11
（4） ．
【配题说明】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每
一项，再把所得的积相加，在题（4）中可初步认识平方差公式 ．
【常规讲解】
（1）原式 ．
（2）解：
．
（3）原式= ；
（4）原式= ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
例 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ；
（2）
【配题说明】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每
一项，再进行合并同类项运算；
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）解：
．
故答案为：（1） ；（2）
例 3-3
（★★★★☆）已知 的结果中不含 项和 项，求 、 的值．
【配题说明】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，
应让这一项的系数为 0．
12
【常规讲解】
解： ．
结果中不含 的项和 项，
且 ，
解得： ， ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3）
（4）
【配题说明】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每
一项，再把所得的积相加，在题（3）（4）中可初步认识完全平方公式 ．
【常规讲解】
（1）原式
．
（2）
．
（3）原式
（4）原式
练 3-2
13
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2） ．
【配题说明】本题主要考查多项式的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每
一项，再进行合并同类项运算；
【常规讲解】
（1）原式
．
（2）原式=
；
故答案为：（1） ；（2）
练 3-3
（★★★★☆）（2019秋 静安区月考）若 的乘积中不含 和 项，
求 ， 的值．
【配题说明】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，
应让这一项的系数为 0．
【常规讲解】
解：
，
的乘积中不含 和 项，
， ，
解得： ， ．
自主学习
【A 组】
练A-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
14
【配题说明】本题主要考查单项式乘法法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个
式子相乘与两个式子相乘法则相同．
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）原式= ；
故答案为：（1） ；（2） ；
练A-2
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
【配题说明】本题主要考查单项式和多项式的乘法，先对每一个式子单独计算，再进行合并
同类项运算．
【常规讲解】
解：（1）
；
（2） ；
故答案为：（1） ；（2） ；
练A-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ； （2） ．
【配题说明】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，用多项式的每一项分别乘另一
个多项式的每一项，多个多项式的依次相乘即可．
【常规讲解】
（1）原式= ；
（2）原式= ．
故答案为：（1） ；（2） ．
15
练A-3
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中
【配题说明】本题主要考查代数式的化简和求值计算，应用多项式的乘法法则．
【常规讲解】
原式=
将 代入计算得：原式= ．
故答案为：化简结果是 ，代入求值结果是 ．
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）已知 、 、 均为正整数，且 ，则 可能取的
值有多少个？
【配题说明】本题主要考查学生对多项式乘以多项式法则的应用，以及乘积中各项系数与因
式中常数项之间的关系．
【常规讲解】
；待定系数法可得： ，∵ 、 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，即得 或 ．
故答案为：
练 B-2
（★★★★★）（2019秋 闵行区校级期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是 10，该类乘法的速算
方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加 1的和相乘，所得的积作为计算结
果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补
齐）．
比如 ，它们的乘积的前两位是 ，它们乘积的后两位是 ．所以
；
再如 ，它们乘积的前两位是 ，它们乘积的后两位是 ，所以
．
16
又如 ， ，不足两位，就将 6写在百位； ，不足两位，就将 9写
在个位，十位上写零，所以 ．
该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：
设其中一个因数的十位数字为 ，个位数字是 ， ， 表示 1到 9的整数）
则该数可表示为 ，另一因数可表示为 ．
两数相乘可得：
（注：其中 表示计算结果的前两位， 表示计算结果的后两位．
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个
位数字之和是 10．
如 、 、 等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以 为例写出你的计算步骤．
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是 ，则该数可以表示为__________．
设另一因数的十位数字是 ，则该数可以表示为__________． ， 表示 的正整数）
（3）请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．
如： 的运算式．
【配题说明】本题考查了单项式乘以多项式、速算、两位数的确定，解决本题的关键是理解
阅读材料．
【常规讲解】
解：（1） ， ，
．
（2）十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是 ，则该数可以表示为 ，
另一因数的十位数字是 ，则该数可以表示为 ．
故答案为 、 ．
（3）设其中一个因数的十位数字为 ，个位数字也是
则该数可表示为 ，
设另一因数的十位数字是 ，则该数可以表示为 ， 表示 1到 9的整数）．
两数相乘可得：
．
1705 整式的乘法
教学目标
目标 1 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与单项式相乘法的法则及其运算
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 掌握单项式与多项式相乘法的法则及其运算
目标 3 ★★★☆☆☆ 操作 掌握多项式与多项式相乘法的法则及其运算
教学目标
2
01
知识点 1——用字母表示数
知识笔记
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的__________、____________________分别相乘的积
作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按
“______________________________”的顺序进行．例如：
．
例题
例 1-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2）计算： __________．
（3）计算 __________．
（4）计算： __________．
（5）计算 __________．
（6）计算： __________．
例 1-2
（★★☆☆☆）计算：
（1）计算： __________．
（2）计算： =__________．
（3）计算： __________．
3
（4）计算： __________．
例 1-3
（★★★☆☆）计算：
（1） ；
（2） ．
巩固练习
练 1-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1）计算： ___________．
（2）计算： ___________．
（3）计算： ___________．
（4）计算： =___________．
（5）计算： ___________．
练 1-2
（★★☆☆☆）计算：
（1） __________．
（2） __________．
（3） __________．
（4） __________．
（5） __________．
4
练 1-3
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
01
知识点 2——单项式乘多项式
知识笔记
单项式与多项式相乘法则
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
例如： =______________________．
例题
例 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
5
例 2-2
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
例 2-3
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中 ．
巩固练习
练 2-1
（★★☆☆☆）计算：
（1） ；
（2） ．
6
练 2-2
（1）（★★★☆☆）计算： ．
（2）（★★★☆☆）计算： ．
练 2-3
（★★★☆☆）先化简，后求值： ，其中
．
01
知识点 3——多项式乘多项式
知识笔记
多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积
相加．
用公式表示为： =_______________________________．
7
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3） ；
（4） ．
例 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ；
（2）
8
例 3-3
（★★★★☆）已知 的结果中不含 项和 项，求 、 的值．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）
（3）
（4）
练 3-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
9
（2） ．
练 3-3
（★★★★☆）（2019秋 静安区月考）若 的乘积中不含 和 项，
求 ， 的值．
自主学习
【A 组】
练A-1
（★☆☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
练A-2
（★★☆☆☆）计算：
（1） ； （2） ；
10
练A-2
（★★★☆☆）计算：
（1） ； （2） ．
练A-3
（★★★☆☆）先化简，再求值： ，其中
【B 组】
练 B-1
（★★★★☆）已知 、 、 均为正整数，且 ，则 可能取的
值有多少个？
练 B-2
（★★★★★）（2019秋 闵行区校级期中）阅读理解题
阅读材料：
两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是 10，该类乘法的速算
方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加 1的和相乘，所得的积作为计算结
果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补
齐）．
比如 ，它们的乘积的前两位是 ，它们乘积的后两位是 ．所以
；
11
再如 ，它们乘积的前两位是 ，它们乘积的后两位是 ，所以
．
又如 ， ，不足两位，就将 6写在百位； ，不足两位，就将 9写
在个位，十位上写零，所以 ．
该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性：
设其中一个因数的十位数字为 ，个位数字是 ， ， 表示 1到 9的整数）
则该数可表示为 ，另一因数可表示为 ．
两数相乘可得：
（注：其中 表示计算结果的前两位， 表示计算结果的后两位．
问题：
两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个
位数字之和是 10．
如 、 、 等．
（1）探索该类乘法的速算方法，请以 为例写出你的计算步骤．
（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是 ，则该数可以表示为__________．
设另一因数的十位数字是 ，则该数可以表示为__________． ， 表示 的正整数）
（3）请针对问题（1），（2）的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出．
如： 的运算式．
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