06 乘法公式（一）
教学目标
目标 1 ★☆☆☆☆☆ 识记 熟记平方差及完全平方公式
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 运用平方差和完全平方公式进行计算
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 综合运用平方差和完全平方公式进行简便计算
教学目标
【考情分析】
1. 考纲要求：
2.4 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用
2. 主要考察一下几个方面平方差和完全平方公式的计算及其应用，常常在期中期末以计算
的形式进行考察。同时也会延伸出知二求二、 、凑完全平方等题型
3. 对应教材：初一上册，第九章节：整式的概念
9.11 平方差公式 9.12 完全平方公式
4. 平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的
2
应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，
在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测，进
而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举
足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依
据，起着承前起后的作用．
【课堂引入】
一.复习引入
(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
那么我们今天要学方差公式又是怎样的特殊的多乘多呢？
二.学习新知
1、计算：
①(y+1)(y-2)
② (m+1)(m-1)
③（3+a)(3-a）
④ (x+2y)(x-2y)
观察结果与各因式关系，猜想(a+b)(a-b) 的结果。实际上结果只有两项，非常简洁，为了方
便计算，将其作为公式。
学生计算结果
①(y+1)(y-2)=y2-y-2
② (m+1)(m-1)=m2-1
③（3+a)(3-a）=9-a2
④ (x+2y)(x-2y)=x2-4y2
教师引导学生观察，关注学生是否能关注到后三个等式就有共同特征，关注进而引导学生先
观察等式左边，再观察等式右边，关注学生能否主动将不是平方项的化为平方项。
要求学生用自己的语言将观察到的规律叙述出来，进而用符号语言表示出来。
要求学生证明公式。
2.平方差公式
即两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。
3
01
知识点 1——平方差公式
知识笔记
1、平方差公式定义：
两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________．
（1） 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项
互为________________．
（2）右边是乘式中两项的_______________．
【填空答案】
1、 ；
2、完全相同；相反数；平方差
例题
例 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列运算中，不能用平方差公式运算的是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
【配题说明】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是
正确解题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 、 符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不
4
符合题意；
、 ，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，
故本选项符合题意；
、 符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
、 符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选
项不符合题意．
故选： ．
（2）解： 、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
、 不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选： ．
例 1-2
（★★☆☆☆）如图，阴影部分是边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后所
得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验
证平方差公式的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【配题说明】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结
论的关键．
【常规讲解】
解：图①中，拼接前阴影部分的面积为 ，拼接后是一个长为 ，宽为 的
长方形，因此面积为 ，
所以有 ，因此可以验证平方差公式；
图②中，拼接前阴影部分的面积为 ，拼接后是一个底为 ，高为 的平行
5
四边形，因此面积为 ，
所以有 ，因此可以验证平方差公式；
图③中，拼接前阴影部分的面积为 ，拼接后是一个长为 ，宽为 的长方
形，因此面积为 ，
所以有 ，因此可以验证平方差公式；
图④中，拼接前阴影部分的面积为 ，拼接后是一个底为 ，高为 的平行
四边形，因此面积为 ，
所以有 ，因此可以验证平方差公式；
故选： ．
例 1-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） （2） （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
第三组：
计算： ．
【配题说明】
第一组：考察平方差的直接计算
第二组：考察平方差连用进行计算
第三组：考察三项平方差的应用【老师可以运用整式乘法来处理完全平方】
【常规讲解】
第一组：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
第二组：
（1）原式 ；
（2）原式 ．
6
第三组;
原式
故第一组答案为：（1） ；（2） ；（3）
故第二组答案为：（1） ； （2） ．
故第三组答案为： ．
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是
正确解题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
、 ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
、 ，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
、 不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选： ．
（2）解： 、原式 ，不符合题意；
7
、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意．
故选： ．
练 1-2
（★★☆☆☆）（2020秋 普陀区期中）如图，边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小
正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结
论的关键．
【常规讲解】
解：左边阴影面积为
右边梯形面积为
所以
故选： ．
练 1-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1）
（2）（2018秋 普陀区期中）
第三组：
8
计算：
【配题说明】
第一组：考察平方差的直接计算
第二组：考察平方差连用进行计算
第三组：考察三项平方差的应用【老师可以运用整式乘法来处理完全平方】
【常规讲解】
第一组：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
第二组：
（1）（1）解：
．
（2）解：
．
第三组;
解：原式
．
故第一组答案为：（1） ；（2） ；（3） ．
故第二组答案为：（1） ；（2）
故第三组答案为：
01
知识点 2——完全平方公式
9
知识笔记
1、完全平方公式定义
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
_______________________.
_______________________.
2、完全平方公式的特征
（1）左边是两个__________的__________相乘；
（2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减
去（这两项相减时）这两项__________的_____倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等
代数式．
【填空答案】
1、 ； ．
2、相同；二项式；三项式；平方和；乘积；2
例题
例 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查的是应用完全平方公式进行计算的能力，掌握完全平方公式的结构特
征是正确解题的关键．
【常规讲解】
10
（1）解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意，
故选： ．
（2）解： 、原式 ，本选项不合题意；
、原式 ，本选项符合题意；
、原式 ，本选项不合题意；
、原式 ，本选项不合题意，
故选： ．
例 2-2
（★★☆☆☆）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们
可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是怎样
的？写出得到公式的过程．
【配题说明】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式
的理解能力．
【常规讲解】
解： ．
∵大正方形的面积＝ ，
还可以表示为 ，
∴ ．
例 2-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
11
第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1） ； （2） ； （3） ．
【配题说明】
第一组：考察完全平方的直接计算
第二组：考察完全平方和平方差的混合应用
第三组：考察三项完全平方的应用
【常规讲解】
第一组：
（1） ：
（2） ；
（3） ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
第二组：
（1）原式 ；
（2）原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ．
第三组：
（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ；（3）
．
巩固练习
12
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列公式不能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查的是应用完全平方公式进行计算的能力，掌握完全平方公式的结构特
征是正确解题的关键．
【常规讲解】
（1）解： ． ，两式可以利用平方差公式计算，故此
选项错误；
． ，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
． ，两式可以利用完全平方公式计算，故此选项正确；
． ，两式可以利用平方差公式计算，故此选项错误；
故选： ．
（2）解：（A）原式 ，故 能用完全平方公式，
（B）原式 ，故 不能用完全平方公式，
（C）原式 ，故 能用完全平方公式，
（D）原式 ，故 能用完全平方公式；
故选： ．
练 2-2
（★★☆☆☆）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来
解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释 ．那么通过图乙面积
的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A． B．
C． D．
13
【配题说明】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式
的理解能力．
【常规讲解】
解：空白部分的面积： ，
还可以表示为： ，
所以，此等式是 ．
故选：C．
练 2-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1）（2019秋 宝山区期末）计算： ．
（2）（2019秋 虹口区校级月考）计算： ．
【配题说明】
第一组：考察完全平方的直接计算
第二组：考察完全平方和平方差的混合应用
第三组：考察三项完全平方的应用
【常规讲解】
第一组：
（1）原式
．
（2）
；
（3）解：原式
14
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；
第二组：
（1）原式 ；
（2）原式 ．
故答案为：（1） ；（2） ．
第三组：
（1）解：
．
（2）解：原式
．
故答案为：（1） ；（2） ；
01
知识点 3——平方差、完全平方公式计
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1）（2020秋 上海期末） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【配题说明】考察平方差公式、完全平方公式以及整式乘法的混合应用．
【常规讲解】
15
（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
（3）解：原式
.
（4）解：
．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）
例 3-2
（★★★★☆）简便运算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
【配题说明】
第一组：平方差公式在简便运算中的运用．
第二组：完全平方公式在简便运算中的运用．
【常规讲解】
第一组：
（1）原式 ；
（2）原式
（3）原式
故答案为：（1）9996；（2）899.96；（3）
第二组：
（1） ；
（2） ．
故答案为：（1）9960.04；（2）4020025．
16
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）（2020秋 浦东新区期末） ．
（3）（2020秋 松江区期末） ．
（4）（2020秋 浦东新区期中） ．
【配题说明】考察平方差公式、完全平方公式以及整式乘法的混合应用．
【常规讲解】
（1）解： ．
（2）解： ．
（3）解： ．
（4）解：
．
练 3-2
（★★★★☆）简便运算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
【配题说明】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用．
【常规讲解】
第一组：
（1）原式 ；
（2）原式
（3）原式
故答案为：（1）9999.96；（2）1；（3）
17
第二组：
（1） ；
（2） ．
故答案为：（1）9960.04；（2）4020025．
自主学习
【A 组】
练A-1
（1）（★☆☆☆☆）下列代数式中能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查的是应用完全平方公式进行计算的能力，掌握完全平方公式的结构特
征是正确解题的关键．
【常规讲解】
（1）解： 、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；
、两个括号内的相同数字是 ，相反数字是 与 ，故可用平方差公式计算，该选项
符合题意；
、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；
、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．
故选： ．
（2）解： ；
；
；
．
故选： ．
18
练A-2
（★★☆☆☆）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是
A． B．
C． D．
【配题说明】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等
进行列式是解题的关键．
【常规讲解】
解：大正方形的面积为： ，
四个部分的面积的和为： ，
能说明的乘法公式是： ；
故选： ．
练A-3
（★★★☆☆）计算：
（1）计算： ．
（2）（2020秋 浦东新区期中）计算： ．
（3）（2020秋 浦东新区期中）计算： ．
（4）计算： ．
【配题说明】考察平方差公式、完全平方公式以及整式乘法的混合应用．
【常规讲解】
（1）解：
．
（2）解： ．
19
．
（3）解：原式 ．
（4）解：原式
．
练A-4
（★★★★☆）用简便方法计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【配题说明】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用．
【常规讲解】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
故答案为：（1）159991；（2） ；（3）9999999；（4）5105．
【B 组】
练 B-1
（★★★★★）计算： （ 是正整数）．
【配题说明】平方差公式的提高性运用，关键在于如何启发学生添加“（2-1）”这一项．
【常规讲解】
原式
练 B-2
（★★★★★）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如
下图），此图揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
20
，它只有一项，系数为 1；
，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；
，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；
，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8；
根据以上规律，解答下列问题：
（1） 展开式共有_______项，系数分别为_______；
（2） 展开式共有_______项，系数和为_______．
【配题说明】本题考查完全平方式．本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律，
锻炼学生的思维，属于一种开放性题目．
【常规讲解】
【解答】解：（1）展开式共有 5项，展开式的各项系数分别为 1，4，6，4，1，
（2）展开式共有 项，系数和为 ．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2） ， ．
2106 乘法公式（一）
教学目标
目标 1 ★☆☆☆☆☆ 识记 熟记平方差及完全平方公式
目标 2 ★★★☆☆☆ 操作 运用平方差和完全平方公式进行计算
目标 3 ★★★★★☆ 迁移 综合运用平方差和完全平方公式进行简便计算
教学目标
2
01
知识点 1——平方差公式
知识笔记
1、平方差公式定义：
两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．________________________．
（1） 可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）
（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：
2、平方差公式的特征：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项
互为________________．
（2）右边是乘式中两项的_______________．
例题
例 1-1
（1）（★☆☆☆☆）下列运算中，不能用平方差公式运算的是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是
A． B． C． D．
例 1-2
（★★☆☆☆）如图，阴影部分是边长为 的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形后所
得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列四种割拼方法，其中能够验
证平方差公式的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3
例 1-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） （2） （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
第三组：
计算： ．
巩固练习
练 1-1
（1）（★☆☆☆☆）在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
4
练 1-2
（★★☆☆☆）（2020秋 普陀区期中）如图，边长为 的正方形中剪去一个边长为 的小
正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？
A． B．
C． D．
练 1-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1）
（2）（2018秋 普陀区期中）
第三组：
计算：
5
01
知识点 2—完全平方公式
知识笔记
1、完全平方公式定义
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．
_______________________.
_______________________.
2、完全平方公式的特征
（1）左边是两个__________的__________相乘；
（2）右边是__________，是左边两项的__________，加上（这两项相加时）或减
去（这两项相减时）这两项__________的_____倍；
（3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等
代数式．
例题
例 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
例 2-2
（★★☆☆☆）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们
可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是怎样
的？写出得到公式的过程．
6
例 2-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ；
（2） ．
第三组：
（1） ； （2） ； （3） ．
巩固练习
练 2-1
（1）（★☆☆☆☆）下列多项式中，能用完全平方公式计算的是
A． B． C． D．
7
（2）（★☆☆☆☆）下列公式不能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练 2-2
（★★☆☆☆）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来
解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释 ．那么通过图乙面积
的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A． B．
C． D．
练 2-3
（★★★☆☆）完成以下三组计算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ；
（2） ．
8
第三组：
（1）（2019秋 宝山区期末）计算： ．
（2）（2019秋 虹口区校级月考）计算： ．
01
知识点 3——平方差、完全平方公式计
例题
例 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1）（2020秋 上海期末） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
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例 3-2
（★★★★☆）简便运算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
巩固练习
练 3-1
（★★★☆☆）计算：
（1） ．
（2）（2020秋 浦东新区期末） ．
（3）（2020秋 松江区期末） ．
（4）（2020秋 浦东新区期中） ．
10
练 3-2
（★★★★☆）简便运算：
第一组：
（1） ； （2） ； （3） ．
第二组：
（1） ； （2） ．
自主学习
【A 组】
练A-1
（1）（★☆☆☆☆）下列代数式中能用平方差公式计算的是
A． B．
C． D．
（2）（★☆☆☆☆）下列各式中，能用完全平方公式计算的是
A． B．
C． D．
练A-2
（★★☆☆☆）如图，能根据图形中的面积说明的乘法公式是
A． B．
C． D．
11
练A-3
（★★★☆☆）计算：
（1）计算： ．
（2）（2020秋 浦东新区期中）计算： ．
（3）（2020秋 浦东新区期中）计算： ．
（4）计算： ．
练A-4
（★★★★☆）用简便方法计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【B 组】
练 B-1
（★★★★★）计算： （ 是正整数）．
12
练 B-2
（★★★★★）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如
下图），此图揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为 1；
，它有两项，系数分别为 1，1，系数和为 2；
，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4；
，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8；
根据以上规律，解答下列问题：
（1） 展开式共有_______项，系数分别为_______；
（2） 展开式共有_______项，系数和为_______．
13
