2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习题 （word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
2．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则△ABE与△CDE的周长比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是线段AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则四边形BCED的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AB＝2，延长BC到点D，使BC＝2CD，若点E是AC的中点，则DE的长为（　　）
A． B．2 C． D．1
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE的长为（　　）
A．6cm B． C． D．8cm
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE交对角线BD于点G，连接BF交AE于点H．则＝　 　．
13．如图，平行四边形ABCD中，点E在CD边上，连接BE，∠ABE＝60°，F在BE上，AF＝CE，∠BAF＝∠CBE，若AD＝7，AB＝6，则BF＝　 　．
14．如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），
（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝　 　．
（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 　 　．
15．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，如果∠DAO＝∠CBO，那么AB：CD的值是 　 　．
16．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？　 　（填“是”或“否”）；
（2）AE＝　 　．
17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是CD边上的一点，连接BP，以BP为一边在正方形内部作∠PBQ＝45°，过点A作AE∥BP，交BQ的延长线于点E，则BP BE＝　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为 　 　cm．
20．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为 　 　．
三．解答题
21．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．
（1）求证：；
（2）如果BE2＝BF BD，求证：DF＝BE．
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交AC、BC于点M、E，连接OE，OE⊥BD．
（1）求证：△ECD∽△DCB；
（2）若AB＝6，AD＝9，求△EOC与△BOE面积的比值．
23．已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：DF2＝AF AD．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，DE平分∠FDC，∠FED＝90°，F是AB上一点，G是FD的中点．
（1）求证：BE＝EC；
（2）求证：DE2＝DF DC；
（3）若CD＝6，DF＝8，求GH的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故选：C．
2．解：如图所示，
由网格图可知：BF＝2，AF＝4，CH＝2，DH＝1，
∴AB＝＝2，
CD＝＝．
∵FA∥CG，
∴∠FAC＝∠ACG．
在Rt△ABF中，
tan∠BAF＝，
在Rt△CDH中，
tan∠HCD＝，
∴tan∠BAF＝tan∠HCD，
∴∠BAF＝∠HCD，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF，∠ACD＝∠DCH+∠GCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴△ABE与△CDE的周长比＝＝＝2．
故选：D．
3．解：∵点D、E分别是线段AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE＝2，
∴S△ABC＝2÷＝8，
∴四边形BCED的面积是8﹣2＝6，
故选：B．
4．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ECD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∵点E是AC的中点，BC＝2CD，
∴，
∴△ACB∽△ECD，
∴，即，
∴DE＝1．
故选：D．
5．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
6．解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵＝，
∴＝，
∵△ADE的面积等于2，
∴△ACB的面积等于8．
故选：B．
7．解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，
∴EF＝AF＝DF＝AD＝4，
∴AD＝8，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴DE＝AD＝4，
∴AE＝＝＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝30°，
∵cos∠AEB＝，
∴BE＝AE cos30°＝4×＝6（cm），
故选：A．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBC，
∵∠ADB＝∠BCE，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵E为AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DCE，∠BEF＝∠DCE，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝，
∴FC＝2EF，
∴FB＝2EF，
设EF＝x，则BF＝FC＝2x，
∴EC＝EF+CF＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCE，
∵∠BEF＝∠BEF，
∴△BEF∽△CEB，
∴，
∴BE2＝EF EC，
∴12＝x 3x，
∴或x＝﹣（舍去），
∴BF＝2x＝，
故选：B．
9．解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴＝，
∵，
∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x，
∴＝，
∴DH＝3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴∠HEA＝45°，
∴EH＝HA，
∴EH2+HA2＝9，
∴EH＝HA＝，
∴DH＝，
∴AD＝3，
∴GC＝，
∴DG＝＝2，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴＝＝，
∴DF＝3GF，
∴DF＝；
故选：D．
10．解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，
∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴+＝＝1，
∴OM＝，
∵EF⊥BC，
∴EG∥AB∥CD，
∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BG＝CG，
∴CF＝AF，
∴EG＝CD＝3，FG＝AB＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝1，
∴OM﹣EF＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：依照题意画出图形，如图所示.
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC．
又∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴BC＝6，
经检验，BC＝6是原方程的解，且符合题意．
故答案为：6．
12．解：连接EF，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴△BGH∽△FEH，
∴，
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴，
∴DG＝2BG，
∴BD＝BG+DG＝3BG，
∴BG＝BD，
∴＝＝．
故答案为：．
13．解：过点A作AH⊥BF于点H，如图所示：
∴∠AHB＝90°，
∵∠ABE＝60°，AB＝6，
∴BH＝AB cos60°＝3，AH＝AB sin60°＝，
设BF＝x，
则FH＝x﹣3，
根据勾股定理，得AF2＝，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠ABF＝∠BEC，
∵∠BAF＝∠CBE，
∴△BAF∽△EBC，
∴BF：EC＝AF：BC，
∵AF＝EC，
∴AF2＝BF BC，
∵BC＝AD＝7，
∴＝7x，
解得x＝4或9，
∴BF＝4或9，
故答案为：4或9．
14．解：（1）∵点F为CD边的中点，
∴DC＝2DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠FEC+∠EFC＝90°，
由折叠得：
BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF＝DC＝2DF，
∵∠EFC+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴△AFD∽△FEC，
∴＝＝2，
∴＝2，
∴x＝2，
故答案为：2；
（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，
∵△AFD∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴x＝1+，
∴x＝1+，
∴y＝，
故答案为：y＝．
15．解：∵∠DAO＝∠CBO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵AO＝2，AD＝4，OC＝6，BC＝8，
∴，
∴OB＝4，OD＝3，
∴，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
故答案为：2：3．
16．解：如图1，
在△ACM和△CFD中，
，
∴△ACM≌△CFD（SAS），
∴∠CAM＝∠FCD，
∵∠CAM+∠CMA＝90°，
∴∠FCD+∠CMA＝90°，
∴∠CEM＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：是；
（2）如图2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
∵AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AE＝，
故答案为：．
17．解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．
18．解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M，
∵AE∥PB，
∴S△PBE＝S△ABP＝S正方形ABCD＝8，
∴ PB EM＝8，
∵∠EBM＝45°，∠EMB＝90°，
∴EM＝BE，
∴ PB BE＝8，
∴PB BE＝16．
故答案为：16．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵G是EF的中点，
∴EG＝BG＝EF，
∴∠BEG＝∠ABD，
∴∠BEG＝∠BDC，
∴△EBF∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝6，
∴EF＝＝＝2（cm），
∴BG＝EF＝（cm），
故答案为：．
20．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE＝AB＝3，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图1，当∠DEC＝90°时，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴点E在线段AC上，
设BD＝DE＝x，则CD＝4﹣x，
∴CE＝AB﹣AE＝2，
∴DE2+CE2＝CD2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝．
②如图2，当∠EDC＝90°时，
∴∠BDE＝90°，
∵∠BDA＝∠ADE，
∴∠BDA＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AB＝BD＝6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为或3．
故答案为：或3．
三．解答题
21．证明：（1）∵DA＝DB，EB＝EC，
∴＝，
∵∠ADB＝∠BEC，
∴△DAB∽△EBC，
∴∠DAB＝∠EBC，＝，
∴AD∥EB，
∴∠DAF＝∠AEB，∠ADF＝∠DBE，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∴；
（2）∵BE2＝BF BD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠EBF，
∴△BFE∽△BED，
∴∠BEF＝∠BDE，
∵∠DAF＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠BDE，
∵∠ADF＝∠DBE，AD＝DB，
∴△ADF≌△DBE（ASA），
∴DF＝BE．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠BDE，
∵DE平分∠BDC，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△ECD∽△DCB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，
∵△ECD∽△DCB，
∴，
∴，
∴EC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5，
∴△EOC与△BOE面积的比为．
23．证明：（1）设BF与AE交于O点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∵AE⊥BF．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠ABE，
∴∠DEF＝∠BEC，
∵∠D＝∠C，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
由（1）得，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴CE＝DF，
∴DF2＝AF AD．
24．（1）证明：过点E作EM⊥DF，垂足为M，
∴∠DME＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCE＝∠DME＝90°，
∵DE平分∠FDC，
∴∠EDF＝∠EDC，
∵DE＝DE，
∴△DEM≌△DEC（AAS），
∴ME＝EC，∠DEM＝∠DEC．
∵∠FED＝90°，
∴∠DEM+∠MEF＝∠DEC+∠BEF＝90°，
∴∠MEF＝∠BEF，
又∵∠B＝∠EMF，EF＝EF，
∴△BEF≌△MEF（AAS），
∴BE＝ME，
∴BE＝EC．
（2）由（1）得，∠FDE＝∠CDE，∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴△DEF∽△DEC，
∴，
∴DE2＝DF DC．
（3）解：∵DE2＝DF DC＝6×8＝48，
∴．
∵GF＝GD，
∴，EC2＝DE2﹣CD2＝48﹣36＝12，
∴，
∴CG2＝GE2+CE2＝16+12＝28，
∴．
∵GF＝GD，
∴EG＝GD，
∴∠GED＝∠GDE，
∴∠GED＝∠CDE，
∴GE∥CD，
∴△GHE∽△CHD，
∴，
即，
∴．