2022--2023学年北师大版九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定 同步练习（Word版含答案）

（北师大版）九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 同步练习
一、单选题
1．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1）
C．（ ，0） D．（0，﹣ ）
2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）
A． B． C．5 D．4
3．如图，菱形ABCD的边长为 ，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
4．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=120°，过B作BE⊥AD，则BE的长为（　　）
A． B． C．2 D．1
5．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是
（　　）
A． B． C．5 D．6
7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．32 B．24 C．40 D．20
9．一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（　　）cm2．
A．12 B．96 C．48 D．24
10．边长为1的等边，分别取，边的中点D，E，连接，作得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作照此规律作下去，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝　 　°
12．如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(0， )，B(-1，0)，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为　 　。
13．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是　 　．
14．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=16，点M是对角线AC上的一个动点，过点M作PQ⊥AC交AB于点P，交AD于点Q，将△APQ沿PQ折叠，点A落在点E处，当△BCE是等腰三角形时，AP的长为　 　
16．如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长　 　．
三、解答题
17．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．
18．如图，在 中，过点B作 ，垂足为E，过点C作 ，交 的延长线于点 .求证：四边形 是菱形.
19．如图，矩形 的对角线 垂直平分线与边 、 分别交于点 ，求证：四边形 为菱形.
20．如图，将矩形沿EF折叠，使B1点落在边上的B点处；再将矩形沿BG折叠，使D1点落在D点处且BD过F点．
（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；
（2）当是多少度时，四边形BEFG为菱形 试说明理由．
21．已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．
（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=12，∠A=60°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AB的长是　 　．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．A
5．A
6．C
7．A
8．D
9．D
10．C
11．25
12．
13．
14．
15． 或
16．
17．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，
在△ADE和△CDF中， ，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
18．解：∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ .
又∵ ，
∴ .
在△BEA与△CFB中
∴ （AAS）
∴ .
∴四边形 是菱形.
19．证明：因为四边形 的矩形
，
因为 平分
.
，
所以四边形 是平行四边形
所以四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
20．解；（1）∵A1D1∥B1C1，
∴∠B1FE=∠FEB．
又∵∠B1FE=∠BFE，
∴∠FEB=∠BFE．
∴BE=BF．
同理可得：FG=BF．
∴BE=FG，
又∵BE∥FG，
∴四边形BEFG是平行四边形；
（2）当∠B1FE=60°时，四边形EFGB为菱形．
理由如下：
∵∠B1FE=60°，
∴∠BFE=∠BEF=60°，
∴△BEF为等边三角形，即BE=EF．
∵四边形BEFG是平行四边形，BE=EF．
∴四边形BEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
21．解：（1）EH2+CH2=AE2，
如图1，过E作EM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME与△DHE中，
，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，
∴AE2=EH2+CH2；
故答案为：EH2+CH2=AE2；
（2）如图2，
∵菱形ABCD，∠ADC=60°，
∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，
∵EH⊥CD，
∴∠DEH=60°，
在CH上截取HG，使HG=EH，
∵DH⊥EG，∴ED=DG，
又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDG=60°，
∵∠EDG=∠ADC=60°，
∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△DAE与△DCG中，
，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．
22．（1）6
（2）EF与AD平行且相等．
证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．
∴EF与AD平行且相等．
（3）解：能；
理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵AB=6，∴AC＝12．
∴AD=AC﹣DC=12﹣2t．
若使 AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=12﹣2t，t=4．
即当t=4时，四边形AEFD为菱形．